馬思聰

【摘 要】基于實(shí)現(xiàn)科學(xué)的教學(xué)方法的目的，對與“平行”相關(guān)的史料進(jìn)行了梳理，并結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)、知識的邏輯順序重構(gòu)了“平行”教學(xué)的路徑。學(xué)生在教師的“誘導(dǎo)”下，經(jīng)歷了知識發(fā)生、發(fā)展的過程，獲得了探究的樂趣，感受到了角度型、距離型平行判定的美妙，體驗(yàn)了多元文化的魅力，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史；科學(xué)的教學(xué)；誘導(dǎo)；知識重構(gòu)

一、 引言

“科學(xué)的教學(xué)方法只是誘導(dǎo)學(xué)生去作科學(xué)的思考，并不是一開頭就教人去碰冷漠的、經(jīng)過科學(xué)洗練的系統(tǒng)。推廣這種自然的真正科學(xué)的教學(xué)的主要障礙是缺乏歷史知識”[1]，F(xiàn). 克萊因的話道出了科學(xué)的教學(xué)方法的真諦，也道出了實(shí)現(xiàn)科學(xué)的教學(xué)方法的路徑。然而，囿于條件的限制，一些主題教材的編寫系統(tǒng)性較強(qiáng)，比如滬教版四年級第二學(xué)期“平行”的教材編排“呈現(xiàn)城區(qū)地圖引導(dǎo)學(xué)生尋找垂直于同一道路的兩條路，在長方形中尋找垂直于同一條線段的兩條線段，以此得出‘垂直于同一條邊的兩條邊互相平行的概念”，如若按照教材的思路進(jìn)行授課，難免演變成“指導(dǎo)”而非“誘導(dǎo)”。那么，數(shù)學(xué)史知識能否促進(jìn)科學(xué)的教學(xué)方法的實(shí)現(xiàn)？本文將結(jié)合“平行”的課例進(jìn)行說明。

二、歷史材料及其運(yùn)用

有關(guān)平行的定義和判定在歷史上有一些記載，可概括為四類：①直觀型，如歐幾里得（Euclid，公元前3世紀(jì)左右）在《幾何原本》中對平行的定義：“平行直線是在同一平面內(nèi)的直線，向兩個(gè)方向無限延伸，在兩個(gè)方向都不相交” [2]；②角度型，比如歐幾里得用內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角等證明兩直線平行，并用此性質(zhì)做出平行直線[3]；③距離型，如《墨經(jīng)》中的“平，同高也” [4]，辛普利丘斯（Simplicius，490-560）的定義“當(dāng)兩條直線向兩端無限延伸時(shí)，如果它們之間的距離相等，那么它們平行”[5]；④混合型，如波賽唐紐斯（Poseidonius，公元前135-公元前51）的定義“平行就是兩條線既不相交，也不重合，而且兩條線間的距離處處相等”[6]。本節(jié)課試圖將前三種類型的相關(guān)史料以及歷史上平行的符號（如圖1）融入教學(xué)，以實(shí)現(xiàn)如下的教學(xué)目標(biāo)。

（1）借助歐氏定義，通過直觀想象初步建立“平行”的概念。

（2）能利用有關(guān)平行的經(jīng)驗(yàn)來判定兩條直線是否平行，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)、求真的態(tài)度。

（3）經(jīng)歷探究畫和折兩條平行線的過程，進(jìn)一步建立平行的表象。嘗試創(chuàng)造平行符號，在歷史比較中增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，感受知識的發(fā)生、發(fā)展過程。

（4）結(jié)合生活實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)空間中抽象出平行線的過程，發(fā)展空間觀念，感受學(xué)習(xí)“平行”的價(jià)值。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

（一）復(fù)習(xí)引入，引出平行概念（略）

（二） 引導(dǎo)想象，初建平行概念

學(xué)生通過想象，將不平行的直線轉(zhuǎn)化為平行直線，從這一過程中初步建立平行的概念。

師：難道同一個(gè)平面上的兩條直線都會相交嗎？有沒有辦法讓這兩條直線延長后也不相交呢？

生：將上面的那條直線轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)。（生上臺手勢表示）

師：怎樣才能說明現(xiàn)在這兩條直線不相交呢？

生：延長。

師：（媒體演示直至超出屏幕）可惜我們的屏幕太小，看不到全部。如果直線繼續(xù)延長，超出屏幕，到達(dá)教室門口，兩條直線相交了嗎？繼續(xù)往外延長，沖出學(xué)校，相交了嗎？如果繼續(xù)往外呢？

……

生：它們永遠(yuǎn)也不會相交。

接著給出平行的定義，出示歐氏定義，加深學(xué)生的理解，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自信。

師：數(shù)學(xué)上，我們把像這樣永遠(yuǎn)都不相交的兩條直線的關(guān)系叫作互相平行。你們知道嗎？早在2000多年前，兩條直線互相平行的這個(gè)概念就已經(jīng)出現(xiàn)了！它是由古希臘的一個(gè)很偉大的數(shù)學(xué)家歐幾里得提出的。請你們自己閱讀。

平行線是在同一個(gè)平面內(nèi)的直線，向兩端無限延長，無論哪個(gè)方向它們都不相交。

師：看了他的定義，你有什么想說的？

生：平行線是兩條直線。

生：他和我們剛剛說的意思應(yīng)該差不多。

然后通過鞏固練習(xí)，找出下圖中的平行線（略），接下來讓學(xué)生聯(lián)系生活，找出生活中的平行線，鞏固“平行”概念。

師：我們周圍的世界就是圖形和線條的世界。回想一下，生活中你見過哪些延長后也不相交的線？

生：黑板的上下兩條邊和左右兩條邊。

生：桌子相對的兩條邊。

生：教室外面的欄桿。

生：操場的跑道。

師：看來生活中類似的例子非常多。老師也搜集了一些圖片（斑馬線、鐵軌等），你能從中找出互相平行的線段嗎？

師：剛剛你們是怎樣判斷它們是平行的？

生：看出來的。

（三）視錯(cuò)覺圖形，得出平行判定

教師提供視錯(cuò)覺圖形（如圖2），讓學(xué)生感受到直覺的不可靠性，從而引出平行判定定理的探究活動。

師：看來，眼睛有時(shí)候會看錯(cuò)，那我們該怎么驗(yàn)證兩條直線是否平行呢？

生：去延長它們。

師：如果紙張不夠大怎么辦？去無止境地延長它們現(xiàn)實(shí)嗎？

生：不現(xiàn)實(shí)。

師：那怎么辦？我們還可以怎樣判斷兩條直線互相平行？別說你們有困惑了，這個(gè)問題連古代數(shù)學(xué)家都困擾了很久很久。我們一起來想想辦法。

師：剛剛同學(xué)們舉的很多例子都是長方形的。我們就以黑板為例（如圖3），請你們再仔細(xì)觀察，能用什么更好的方法來判斷上下兩條邊所在的直線互相平行呢？請大家小組討論。

一段時(shí)間后，交流討論結(jié)果。

生：我想量左右兩條邊的長度。

師：你想量長度的目的是什么？

生：如果左右兩條邊相等，那么我認(rèn)為上下兩條邊就是互相平行的。

師：你的想法很好。還有其他想法嗎？

生：我想用三角尺測量是否有直角。（生上臺測量）

師：他找到了兩個(gè)直角，說明上下兩條直線和左邊這條直線有什么關(guān)系呢？

生：上下兩條直線都垂直于左邊這條直線。

師：誰能完整說說，怎樣的直線互相平行？

生：垂直于同一條直線的兩條直線互相平行。

師：通過剛剛的學(xué)習(xí)，我們知道了原來在同一個(gè)平面上，兩條直線除了相交，還有一種特殊的關(guān)系：平行，即兩條直線永不相交。我們可以看這兩條直線是否同時(shí)垂直于一條直線來判斷這兩條直線是否互相平行。

（四） 探索畫法，感悟平行特征

接著讓學(xué)生獨(dú)立嘗試創(chuàng)作平行線，小組交流方法。

師：學(xué)到這里，大家對同一平面上兩條直線之間的關(guān)系理解得很透徹了。如果還能動手做，那就更出色了。你們能創(chuàng)作一組平行線嗎？

要求：

（1）工具：方格紙、直尺、不規(guī)則紙、三角尺。

（2）選擇這些材料，自己動手畫一畫，或折一折，創(chuàng)造出一組平行線。

（3） 4人一組，組內(nèi)討論創(chuàng)造平行線的方法，比一比哪一組的方法多。

學(xué)生完成后進(jìn)行匯報(bào)交流。

師：你們用了什么方法？

生：我們在點(diǎn)圖上描的。

生：我們用紙折出兩個(gè)直角。

生：我們先畫一條直線，再畫這條直線的兩條垂線，這兩條垂線互相平行。

生：我們是通過找兩個(gè)點(diǎn)，然后連起來。

師：你們可真厲害，在這么短的時(shí)間里找到了這么多的創(chuàng)造平行線的方法?？墒抢蠋煬F(xiàn)在只有一把三角尺，也沒有點(diǎn)圖，我想在黑板上畫一組平行線，哪種方法比較合適？

學(xué)生掌握了更好的方法之后，再次畫平行線。

師：現(xiàn)在請你們用這個(gè)方法再畫一組更漂亮的平行線。

（五）創(chuàng)造符號，表示平行關(guān)系

首先依托學(xué)習(xí)垂直的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生嘗試描述平行線之間的關(guān)系。

師：如果給黑板上的這兩條直線取名為a和b，那么我們可以怎樣描述它們之間的關(guān)系呢？

生：a平行于b；b平行于a。

接著讓學(xué)生嘗試創(chuàng)作平行符號，培養(yǎng)創(chuàng)新思維。

師：用文字表示有點(diǎn)麻煩，如果像垂直一樣，平行也有符號就好了。現(xiàn)在請你當(dāng)小小數(shù)學(xué)家，你會創(chuàng)作怎樣的平行符號？

師：如果圖4左邊這個(gè)符號作為平行符號，你們認(rèn)為怎么樣？

生：我認(rèn)為不太好，感覺和等于號太像了！

師：也就是說數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)語言，我們需要“唯一性”，獨(dú)一無二才不容易混淆。右邊這個(gè)呢？

生：我認(rèn)為這個(gè)挺好，沒有其他符號和它一樣，而且上面兩條直線同時(shí)垂直于下面那條直線。

然后介紹平行符號的歷史，在比較中產(chǎn)生共鳴，感受平行符號是發(fā)生發(fā)展的，增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心。

師：數(shù)學(xué)家們當(dāng)時(shí)也陸續(xù)創(chuàng)造了很多平行符號。有沒有和你們相似的？（如圖1）

師：你們可真厲害，創(chuàng)造出來的符號和數(shù)學(xué)家們差不多了！數(shù)學(xué)家們經(jīng)歷了很多次的創(chuàng)造和修改，才形成了現(xiàn)在的樣子。

規(guī)范符號表示：a//b，b//a

師：請你們將自己創(chuàng)作的平行線用這個(gè)平行符號表示出來，并寫在旁邊。

接著介紹了中國古代畫平行性的方法與工具以及與成語“沒有規(guī)矩，不成方圓”的聯(lián)系。

（六）深入思考，體會平行之“用”

1.體會平行的幾何之“用”。

師：今天我們學(xué)習(xí)了“平行”，如果從平行的角度去看我們以前學(xué)過的四邊形，你有什么體會？這些四邊形中有平行線嗎？有幾組？（用規(guī)范語言說清哪幾組直線互相平行）

2.體會平行的生活之“用”。

師：運(yùn)動場的跑道為什么要設(shè)計(jì)成互相平行的？

生：如果跑道不是相互平行的，那運(yùn)動的時(shí)候運(yùn)動員會撞在一起。

師：鐵軌如果不設(shè)計(jì)成互相平行會有怎樣的情況發(fā)生？

生：火車就會脫軌。

（七）總結(jié)全課，延伸平行定義

師：這節(jié)課中同學(xué)們學(xué)習(xí)了兩條直線平行的位置關(guān)系。通過想象，理解了歐幾里得關(guān)于平行的定義，還通過觀察，找到了判定平行的一個(gè)方法“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”。其實(shí)關(guān)于平行的定義還有很多，比如我國《墨經(jīng)》中提到：平，同高也。你知道是什么意思嗎？請同學(xué)們作為課后作業(yè)自行查閱資料進(jìn)行了解。

四、結(jié)語

本節(jié)課通過追溯歷史，對原有的教學(xué)路徑進(jìn)行了重構(gòu)，體現(xiàn)了以下教育價(jià)值：將直觀型、角度型、距離型三類數(shù)學(xué)史料融入平行的教學(xué)，讓學(xué)生感受知識之諧，即平行概念的學(xué)習(xí)是從直觀概念開始的，但鑒于視錯(cuò)覺圖形引發(fā)的認(rèn)知沖突，出現(xiàn)了平行的其他定義、判定準(zhǔn)則；學(xué)生在探索平行的判定準(zhǔn)則和嘗試平行線的畫法中，獲得了發(fā)現(xiàn)的樂趣，積累了活動的經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)探究之樂；學(xué)生在嘗試平行線的畫法中，在教師布置的任務(wù)的指引下，畫法逐漸減少，在方法的多樣性中，在符號條件的方法的減少中，體驗(yàn)到了角度型、距離型的優(yōu)勢，從而感悟方法之美；在符號的創(chuàng)造過程中，學(xué)生不僅領(lǐng)略了數(shù)學(xué)符號的特性，還知悉了今天的數(shù)學(xué)符號是很多數(shù)學(xué)家努力的結(jié)果，體驗(yàn)文化之魅；教師通過融入數(shù)學(xué)史的平行判定準(zhǔn)則和數(shù)學(xué)符號的探究活動，培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、求真的態(tài)度，增強(qiáng)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心，獲得了德育的發(fā)展。正是有了數(shù)學(xué)史的指引，授課教師才能鋪設(shè)臺階，誘導(dǎo)學(xué)生對平行的定義、判定準(zhǔn)則、平行線的畫法、平行線的符號等作出科學(xué)的思考，從而充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)史對科學(xué)教學(xué)方法的價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

[1]Kline，F(xiàn).Elementary mathmatics from advanced standpoint[M]. London： Macmillan & Company，1932：268.

[2][3] 歐幾里得. 幾何原本[M].西安： 陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2003： 2， 25-28.

[4]墨子.墨子閑詁[M].北京： 中華書局，2001：309.

[5][6] Smith， D.E. History of mathematics（vol.2）[M].Boston：Ginn&Company;，1925： 279.

[7]Cajori， F. A history of mathematical notations[M]. New York， Dover Publication，1993：411-412.

（上海市靜安區(qū)科技學(xué)校 200040）