馮晶

【摘 要】數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的價(jià)值。以融入數(shù)學(xué)史的“大數(shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)為例，教師通過對(duì)教學(xué)過程中重要節(jié)點(diǎn)處設(shè)計(jì)發(fā)生的改變及發(fā)生改變?cè)虻目坍?，呈現(xiàn)了HPM的具體實(shí)施策略，不僅有助于一線教師教學(xué)參考所用，而且，這一案例的形成過程，也可為小學(xué)HPM課例的開發(fā)提供借鑒，以供更廣泛和深入的研究所用。

【關(guān)鍵詞】HPM；課例開發(fā)；合作

一、引言

近些年來，隨著HPM（History and Pedagogy of Mathematics，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)）領(lǐng)域研究的不斷深入與HPM教育價(jià)值研究的相對(duì)成熟[1]，HPM研究逐漸向教學(xué)實(shí)踐延拓，中小學(xué)數(shù)學(xué)教師也試圖將數(shù)學(xué)史應(yīng)用于課堂教學(xué)，但受困于數(shù)學(xué)史料的匱乏、數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與相應(yīng)評(píng)價(jià)體系的缺失等[2]，數(shù)學(xué)教師并沒有開發(fā)出數(shù)量可觀的優(yōu)秀HPM課例，特別是小學(xué)階段，好的HPM課例更是鳳毛麟角。就當(dāng)下現(xiàn)實(shí)而言，開發(fā)出一節(jié)精彩的HPM的課例顯得尤為重要。好的課例可以為一線教師學(xué)習(xí)和逐步掌握數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的策略提供范例作用。本文將以滬教版四年級(jí)上冊(cè)“大數(shù)的認(rèn)識(shí)”為例，來研磨小學(xué)HPM的實(shí)施策略，以期對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教師掌握策略提供啟示，同時(shí)，本研究也力圖將此課例打造成HPM的經(jīng)典課例，以為更多的同行研究之用。

二、教學(xué)磨課與課例生成過程

（一）教學(xué)磨課與課例形成的大致過程

按照教學(xué)進(jìn)度，在“大數(shù)的認(rèn)識(shí)”授課前兩周，授課教師F與W團(tuán)隊(duì)（W是國(guó)內(nèi)知名的HPM專家，團(tuán)隊(duì)中負(fù)責(zé)小學(xué)階段的是Y）取得了聯(lián)系，雙方就教師F的第一次教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了研討；研討后教師F進(jìn)行了第二次教學(xué)設(shè)計(jì)，并與Y討論后對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了修改；借助已修改的教學(xué)設(shè)計(jì)，教師F進(jìn)行了磨課，W團(tuán)隊(duì)中的部分成員參與磨課，課后對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)提出了新的改進(jìn)建議，同時(shí)，W與參與磨課的成員就課例作了進(jìn)一步研討；教師F根據(jù)Y提供的反饋，進(jìn)行了再設(shè)計(jì)，并與Y討論后作了調(diào)整；教師F依據(jù)調(diào)整后的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行授課，W團(tuán)隊(duì)參與了聽課活動(dòng)，并與教師F就教學(xué)情況進(jìn)行了討論。

（二）教學(xué)內(nèi)容的具體變化及背后的原因

盡管在課例的開發(fā)過程中，教師F進(jìn)行了7次教學(xué)設(shè)計(jì)及修改，但按照?qǐng)D1顯示的過程，主要的設(shè)計(jì)有3個(gè)，第一次教學(xué)設(shè)計(jì)（以下簡(jiǎn)稱OD），它代表了W團(tuán)隊(duì)參與前，教師F的原始想法，磨課時(shí)用的教學(xué)設(shè)計(jì)（以下簡(jiǎn)稱TD），正式上課時(shí)用的教學(xué)設(shè)計(jì)（以下簡(jiǎn)稱FD）。

（1） 從OD到TD

在OD中，教師F欲從學(xué)生是否知道阿基米德來引入數(shù)沙的故事，“他就是阿基米德，出生在希臘西西里島敘拉古附近的一個(gè)小村莊，是一位貴族，與敘拉古國(guó)的赫農(nóng)王有親戚關(guān)系，家庭十分富有。國(guó)王的兒子蓋倫和阿基米德是好朋友，這位蓋倫王子不相信有人能數(shù)出沙子的數(shù)量，并曾和阿基米德談?wù)撨^此事。后來阿基米德就寫了《數(shù)沙者》的書獻(xiàn)給王子。阿基米德認(rèn)為不僅西西里島沙灘上的沙子可以數(shù)出來，就連全世界的沙子也能數(shù)出來”，并通過“你心中的大數(shù)是什么樣的？”“你現(xiàn)在所知最大的數(shù)夠不夠用？”兩個(gè)問題引發(fā)學(xué)生的興趣與思考，鼓勵(lì)他們表達(dá)心中的想法。隨后的設(shè)計(jì)按照教科書思路將大數(shù)的認(rèn)識(shí)與中國(guó)（包括各省、市、自治區(qū)、特別行政區(qū)）的人口聯(lián)系起來進(jìn)行學(xué)習(xí)，不再有數(shù)學(xué)史內(nèi)容的出現(xiàn)。

在針對(duì)OD的研討中，W團(tuán)隊(duì)的成員認(rèn)為F使用數(shù)學(xué)史的方式比較粗淺，僅利用附加式在引入部分加入了一點(diǎn)數(shù)學(xué)史來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，而且故事中對(duì)阿基米德出身的介紹與教學(xué)內(nèi)容匹配度較低，去掉這部分設(shè)計(jì)對(duì)學(xué)生知識(shí)理解無影響，教師F也認(rèn)同這一點(diǎn)，而要發(fā)揮出數(shù)學(xué)史的作用，可以用阿基米德的故事串聯(lián)整個(gè)教學(xué)活動(dòng)。因此在TD中，教師F首先設(shè)計(jì)了問題“你心目中的大數(shù)是什么樣的，比如？”“你所知道最大的數(shù)夠用嗎？”來引出主題，然后進(jìn)一步設(shè)計(jì)了問題“你覺得有沒有人能數(shù)出宇宙中的沙粒數(shù)量”，從而引出阿基米德數(shù)沙的故事“（出示阿基米德像）小朋友，你知道他是誰嗎？他是阿基米德，公元前287年出生在西西里島敘拉古附近的一個(gè)小村莊”，播放音頻，“《數(shù)沙者》這本書是阿基米德寫給好朋友蓋倫王子的，因?yàn)槟莻€(gè)時(shí)代，有些人認(rèn)為宇宙中沙子的數(shù)量是無限的。另外一些人，雖然并不認(rèn)為沙子的數(shù)量是無限的，但是，他們不能寫出一個(gè)足夠大的數(shù)，使它在數(shù)量上超過宇宙里全部沙子的數(shù)量。于是，通過閱讀前人的著作，做了一系列準(zhǔn)備工作后，阿基米德創(chuàng)造出了一套完整的計(jì)數(shù)理論，并表達(dá)出了‘宇宙所包含的沙粒數(shù)小于1后面51個(gè)零”，隨后創(chuàng)設(shè)了阿基米德“人口統(tǒng)計(jì)”故事的情境。

①作為王子，蓋倫想要了解歐洲的人口數(shù)量。但他事務(wù)繁忙，所以委派連宇宙的沙子都能數(shù)出的阿基米德負(fù)責(zé)這件事。阿基米德從故鄉(xiāng)敘拉古著手這一工作，島上現(xiàn)在有9999（九千九百九十九）人，這一天，島上的一位婦人生下一個(gè)嬰兒，請(qǐng)問現(xiàn)在這個(gè)島上的總?cè)藬?shù)是多少？

②阿基米德派出去做人口調(diào)查的10個(gè)官員已有9人回來，人口總計(jì)90000（九萬）人，還有一個(gè)前去較遠(yuǎn)的地方的官員尚未返回，阿基米德在著急地等待中。傍晚時(shí)分，最后一人姍姍來遲，帶回的數(shù)字是10000（一萬）人。假如你是阿基米德，你會(huì)向蓋倫王子匯報(bào)多少人？

借此引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)位表，并認(rèn)識(shí)相鄰計(jì)數(shù)單位間的進(jìn)率是十，滿十進(jìn)一；隨后，通過“這位偉大的數(shù)學(xué)家死于公元前212年敘拉古戰(zhàn)役中，在他生活的那個(gè)年代，全世界的人口不過五百萬，如果阿基米德還活著，一定會(huì)感嘆：中國(guó)真是一個(gè)大國(guó)??！單我們上海在2010年第六次全國(guó)人口普查中就有那么多（23019148）人”，借此幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)級(jí)數(shù)，學(xué)會(huì)讀數(shù)，通過問題“我們中國(guó)究竟是一個(gè)怎樣的大國(guó)呢？如果阿基米德知道了中國(guó)的人口數(shù)，我想他一定很驚訝，到底是多大的人口數(shù)呢？”幫助學(xué)生鞏固新知，理解不同數(shù)位上的相同數(shù)字表示的含義不同。在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，除了知識(shí)的總結(jié)外，F(xiàn)還總結(jié)道：“今天，記錄大數(shù)看起來是非常微不足道的事情， 在阿基米德時(shí)代， 能找到一種記錄大數(shù)的方法的確是一個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)。其實(shí)這也是數(shù)學(xué)這門科學(xué)向前邁出的重要一步。在我國(guó)古代也有比較完整的大數(shù)進(jìn)制（如圖2）。無論是古希臘還是我國(guó)古代先人都有對(duì)大數(shù)的表達(dá)，正因?yàn)橛辛怂麄兊呢暙I(xiàn)，我們的物理學(xué)、天文學(xué)等學(xué)科才能得以順利發(fā)展?！弊詈螅谕卣箲?yīng)用部分，除了提供相應(yīng)的題目外，還呼應(yīng)第一部分，設(shè)計(jì)了問題“你能讀出阿基米德數(shù)出的沙粒數(shù)嗎？即1后面51個(gè)零”，試圖為科學(xué)計(jì)數(shù)法做鋪墊。

（2） 最終教學(xué)設(shè)計(jì)的形成

在磨課后的研討中，參與者結(jié)合課上出現(xiàn)的一些問題，提出了既然語文課中已經(jīng)有了阿基米德的故事，不妨在介紹他時(shí)，從語文教材中的片段入手，將數(shù)學(xué)與語文結(jié)合起來，讓學(xué)生感受文化的魅力；即使告訴學(xué)生宇宙中所含的沙粒小于1后面51個(gè)零，學(xué)生也沒有什么概念，所以干脆將TD中的“并表達(dá)出了‘宇宙所包含的沙粒數(shù)小于1后面51個(gè)零”改成“當(dāng)時(shí)由于沒有先進(jìn)的計(jì)數(shù)單位，稍微大的數(shù)古人很難讀出來。但是數(shù)學(xué)發(fā)展到了今天，我們有了先進(jìn)的計(jì)數(shù)單位，我們有能力讀出一些較大的數(shù)，今天我們就來學(xué)習(xí)這些內(nèi)容”，一方面激發(fā)學(xué)生的求知欲，給學(xué)生一種隨著時(shí)代的進(jìn)步，數(shù)學(xué)也在不斷發(fā)展的印象，另一方面以“但是由于沒有先進(jìn)的計(jì)數(shù)單位，稍微大的數(shù)古人很難讀出來”為后面的故事串聯(lián)埋好伏筆；圖2中呈現(xiàn)的中國(guó)古代的大數(shù)單位太多，學(xué)生理解不了，1后面的51個(gè)0，盡管教師F說了讀作“10的51次方”，但學(xué)生也理解不了，而且這些內(nèi)容不是本節(jié)課所要求理解的，把這些內(nèi)容放進(jìn)來的目的是讓學(xué)生感受中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就，激發(fā)他們探究未知的興趣，因此可以作為課后活動(dòng)供學(xué)有余力的學(xué)生探究；學(xué)生在讀數(shù)時(shí)存在一定的困難，應(yīng)該通過分級(jí)的探究活動(dòng)幫助他們克服這一難點(diǎn)。在W團(tuán)隊(duì)的研討過程中，W認(rèn)為這節(jié)課的故事串聯(lián)不夠自然，特別是如果阿基米德還活著這一假設(shè)十分突兀，所以建議運(yùn)用古今對(duì)照的方式。

③很久以前，做人口普查需要像阿基米德這樣的大數(shù)學(xué)家，而且雖然他們能用一些方式表示歐洲人口的數(shù)目，但是卻讀不出這些數(shù)字，而今天的我們不一樣，即使是像你們一樣的小朋友也能讀出很大很大的數(shù)，比如上海在2010年第六次全國(guó)人口普查中就有那么多（23019148）人。（認(rèn)識(shí)數(shù)級(jí)環(huán)節(jié)）

④在阿基米德生活的年代，全世界的人口不過五百萬，如果阿基米德要讀出中國(guó)的人口數(shù)，我想他先昏過去再說。但我想小朋友們肯定能讀出來，不信你們讀一下？（鞏固新知環(huán)節(jié)）在使故事順暢自然的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，將圖2改為了“在我國(guó)古代也有比較完整的大數(shù)進(jìn)制，如億往后的京、兆、垓等。小朋友們可以在課后查一下這些詞的具體含義”，并將其后“數(shù)學(xué)對(duì)物理學(xué)、天文學(xué)等學(xué)科的推動(dòng)作用”改為“社會(huì)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)與天文學(xué)等之間的相互推動(dòng)作用”，增加了“事實(shí)上，無論是古希臘還是我國(guó)古代先人對(duì)大數(shù)都有自己的表達(dá)形式，但是古人不一定有先進(jìn)的計(jì)數(shù)方法并能夠順利地讀出這些大數(shù)。正因?yàn)樯鐣?huì)的需要，數(shù)學(xué)才能不斷發(fā)展，我們才能讀出物理學(xué)、天文學(xué)等學(xué)科的大數(shù)據(jù)”。

最終，教師F設(shè)計(jì)了如圖1的教學(xué)流程進(jìn)行正式的授課。

三、反思與結(jié)論

通過三次研討、兩次主要的教學(xué)設(shè)計(jì)改動(dòng)、一次磨課，通過從選取素材到教師反思等多個(gè)環(huán)節(jié)的螺旋推進(jìn)，教師F最終的授課取得了相當(dāng)不錯(cuò)的效果。但通過上述的分析發(fā)現(xiàn)，HPM課例的生成并不是一件容易的事情：一方面，需要多方人員的積極參與和配合，除了W的團(tuán)隊(duì)外，教師F所在學(xué)校的學(xué)科組也從知識(shí)掌握的角度給予了幫助；另一方面，任何設(shè)計(jì)上的改動(dòng)都要有所依據(jù)，比如從故事的完整性上看，與OD相比，TD增加了阿基米德作為人口普查員的故事，阿基米德來到今天的故事，但考慮到故事串聯(lián)的自然性，與TD相比，F(xiàn)D遵照史實(shí)將阿基米德來到今天改成了盡管他能表示出很大的數(shù)，但是他也讀不出這些數(shù)，而今天連小朋友都能讀出很大的數(shù)，起到了激發(fā)學(xué)生積極性與提升信心的目的，比如從具體細(xì)節(jié)來看，無論是在故事引入環(huán)節(jié)還是在拓展應(yīng)用環(huán)節(jié)讀出1后面51個(gè)0都是不可取的，所以干脆在引入中不出現(xiàn)1后面51個(gè)0，只是在拓展應(yīng)用環(huán)節(jié)點(diǎn)出這是以后要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，這也是數(shù)學(xué)發(fā)展帶給我們的挑戰(zhàn)，為后續(xù)的學(xué)習(xí)做好鋪墊，將圖2改成億、京、兆、垓等的查閱也是考慮到學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，同時(shí)讓學(xué)生感受不同的數(shù)學(xué)文化。但數(shù)學(xué)史在學(xué)生身上體現(xiàn)出的知識(shí)之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效等教育價(jià)值又指引著我們積極嘗試融入數(shù)學(xué)史的設(shè)計(jì)。因此，正如“大數(shù)的認(rèn)識(shí)”課例的生成過程一樣，在課例開發(fā)的過程中，我們應(yīng)該加強(qiáng)高校研究團(tuán)隊(duì)與一線教師團(tuán)隊(duì)的溝通、合作，通過研討來加強(qiáng)教育取向的數(shù)學(xué)史研究的深度，通過磨課來試驗(yàn)與加強(qiáng)數(shù)學(xué)史與教學(xué)內(nèi)容的契合程度。

參考文獻(xiàn)：

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[2]Fauvel，J.，& Van Maanen，J. History in Mathematics Education- the ICMI Study. Dordrecht，Kluwer Academic Publishers[M]，2000：203.

（上海市楊浦區(qū)內(nèi)江路第二小學(xué) 200082）