李 茹，翟書穎，李 波

（西北工業(yè)大學(xué)明德學(xué)院，西安710024）

1 引言

歸一化最小均方（NLMS）算法由于其低運(yùn)算量和易于實(shí)現(xiàn)而成為最流行的自適應(yīng)算法之一。而且此算法針對(duì)有限字長(zhǎng)的效果是健壯的。但高度相關(guān)的輸入信號(hào)在一定程度上降低了它的收斂速度[1-3]。在過(guò)去幾十年里，有一類等效算法如仿射投影算法（APA）、部分排名算法（PRA）、廣義最佳塊算法（GOBA）、帶有正交校正因子的NLMS算法（NLMSOCF）等已經(jīng)被用來(lái)處理這一問(wèn)題[4-5]。這些算法的明顯特征就是它們更新權(quán)重基于多樣的、延遲的輸入信號(hào)向量；而NLMS算法更新權(quán)重則是基于一個(gè)單一的輸入向量。這整個(gè)算法類別可被稱為仿射投影算法，是因?yàn)锳PA在這些算法中是最早出現(xiàn)的，并且APA這個(gè)名字比其它的名字更廣泛地使用在現(xiàn)有文獻(xiàn)中[6-7]。當(dāng)延遲D設(shè)置為1時(shí)，按文獻(xiàn)[8]中的解釋，APA算法就是NLMS-OCF算法的一個(gè)特例。

然而，對(duì)于NLMS-OCF算法來(lái)說(shuō)，迭代方向，也稱為自適應(yīng)權(quán)重更新方向，是方向向量；而自適應(yīng)濾波器的迭代誤差是由輸入向量和自適應(yīng)濾波器的估計(jì)參數(shù)引起的。這兩個(gè)方向是不一致的，從而對(duì)于迭代誤差導(dǎo)致了更多的偏差。在本研究中，嘗試用NLMS-OCF-IE算法解決這一問(wèn)題。此算法是在無(wú)測(cè)量噪聲的條件下首次提出；迭代誤差是直接由方向向量引起，方向向量也是自適應(yīng)濾波器的迭代方向。相應(yīng)的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果將驗(yàn)證推導(dǎo)的準(zhǔn)確性。

2 NLMS-OCF算法

圖1顯示了一個(gè)用在系統(tǒng)辨識(shí)模型中的自適應(yīng)濾波器。如圖，系統(tǒng)的輸入xn和相應(yīng)的測(cè)量輸出dn很可能產(chǎn)生于測(cè)量噪聲εn污染之后，是已知的。測(cè)量噪聲εn是零均值復(fù)雜白噪聲。目標(biāo)是估計(jì)一個(gè)N維的權(quán)重向量這樣當(dāng)xn=(xn,xn-1,...,xn-N+1)T是在第n個(gè)時(shí)刻輸入的向量時(shí)，估計(jì)輸出在均方誤差意義上，盡可能地接近測(cè)量輸出dn。

圖1 自適應(yīng)濾波器的辨識(shí)模型

在[8]中NLMS-OCF算法總結(jié)如下：任意選取一個(gè)正交校正因子的數(shù)量對(duì)于每一個(gè)n重復(fù)下面的步驟：

對(duì)于 k=1,2,...M，重復(fù)步驟(6)～(9)

對(duì)于NLMS-OCF算法，從步驟(7)和(9)中可以看出，NLMS-OCF算法權(quán)值向量更新的方向是彼此相互正交的，而當(dāng)D=1時(shí)，輸入向量xn,xn-D,...,xn-MD幾乎是平行的，從而延緩了自適應(yīng)濾波器的收斂速度。權(quán)值向量更新的方向分別是向量xn,但是估計(jì)誤差分別是由輸入向量xn,xn-D,...,xn-MD引起的，除了向量xn，權(quán)值向量更新方向和引起估計(jì)誤差的方向是不一致的，即為了解決這個(gè)問(wèn)題，NLMS-OCF-IE算法需要被提出。

3 NLMS-OCF-IE算法

通過(guò)分析在權(quán)值向量更新方向上的估計(jì)誤差，建立了一種NLMS-OCF-IE算法，其估計(jì)誤差重新定義為：

權(quán)值向量更新方程式為：

其中

和

由此，式(1)、(2)、(3)和(4)組成了 NLMS-OCF-IE算法。在下面分析中將證明，在無(wú)系統(tǒng)測(cè)量噪聲的條件下，估計(jì)誤差僅僅是由向量引起的。

假設(shè)存在一個(gè)真實(shí)的自適應(yīng)濾波器的N維的權(quán)值向量ω0，那么理想的輸出應(yīng)該滿足以下表達(dá)式

系統(tǒng)測(cè)量噪聲是均值等于0、方差是的白噪聲，其獨(dú)立于輸入向量xn，那么相應(yīng)的估計(jì)誤差為

其中

從式(6)中可以知道，在無(wú)系統(tǒng)測(cè)量噪聲的條件下，估計(jì)誤差en僅僅是由輸入向量xn引起的，也就是說(shuō)它和自適應(yīng)濾波器的權(quán)值向量更新方向是相同的。

從式(1)、(4)、(5)和(6)中，我們可以得到以下的表達(dá)形式

和

從式(8)和式(9)中可以看出，在無(wú)系統(tǒng)測(cè)量噪聲的條件下，估計(jì)誤差僅僅是由向量引起的，估計(jì)誤差僅僅是由向量引起的。下面可以定義：

以此類推，可以得到以下表達(dá)式

其中

因此，從式(2)、式(3)和式(13)中，可以得出結(jié)論:在無(wú)測(cè)量噪聲的條件下，估計(jì)誤差僅僅是由向量引起的，也就是說(shuō)當(dāng)k=0,1,...,M時(shí)，它也是NLMSOCF-IE算法的權(quán)值向量更新方向。

4 仿真示例

以下分別就NLMS-OCF算法和NLMS-OCF-IE算法在MATLAB中進(jìn)行了仿真，并對(duì)兩者的仿真結(jié)果做了分析比較。分析包括不同的迭代步長(zhǎng)對(duì)算法收斂速度產(chǎn)生的影響。仿真結(jié)果的MSE學(xué)習(xí)曲線是通過(guò)對(duì)100個(gè)相互獨(dú)立的學(xué)習(xí)曲線求平均值而得到的。參數(shù)迭代步長(zhǎng)分別選取為0.1和0.5，參數(shù)正交校正因子M=3，維數(shù)N=32，測(cè)量噪聲是方差等于0-4的高斯白噪聲。當(dāng)延遲因子D=1時(shí)，NLMS-OCF算法與APA算法的特征完全相同，可見(jiàn)APA算法是NLMS-OCF算法的一個(gè)特例。因此本文中設(shè)置D=1。仿真示例如下。

圖2 示例1中迭代步長(zhǎng)為0.1時(shí)的均方誤差學(xué)習(xí)曲線

圖3 示例1中迭代步長(zhǎng)為0.5時(shí)的均方誤差學(xué)習(xí)曲線

圖4 示例2中迭代步長(zhǎng)為0.1時(shí)的均方誤差學(xué)習(xí)曲線

圖5 示例2中迭代步長(zhǎng)為0.5時(shí)的均方誤差學(xué)習(xí)曲線

示例1：

考慮表達(dá)式為xn=-0.5xn-1-0.3xn-2-0.2xn-3+zn的適度相關(guān)的輸入信號(hào)模型，其中zn為均值等于0的高斯白噪聲。在此種條件下，對(duì)于兩種不同的迭代步長(zhǎng)值，NLMS-OCF算法和NLMS-OCF-IE算法的權(quán)值向量均方誤差學(xué)習(xí)曲線如圖2、圖3(見(jiàn)前頁(yè))所示，從對(duì)它們的比較中可以看出，NLMS-OCF-IE算法相比于傳統(tǒng)的NLMS-OCF算法得到了比較快的收斂速度，當(dāng)?shù)介L(zhǎng)為0.1時(shí)效果尤為明顯。

示例2：

考慮表達(dá)式為xn=-0.95xn-1-0.6xn-2-0.4xn-3+zn的高度相關(guān)的輸入信號(hào)模型，其中zn為均值等于0的高斯白噪聲。從圖4和圖5中可以清楚地看出，相比于傳統(tǒng)的NLMS-OCF算法，NLMS-OCF-IE算法表現(xiàn)出了比較快的收斂速度，尤其是迭代步長(zhǎng)為0.1時(shí)效果比較明顯。通過(guò)與示例1的比較，可從中發(fā)現(xiàn)NLMS-OCF-IE算法對(duì)于高度相關(guān)輸入信號(hào)的效果比較顯著。

5 結(jié)束語(yǔ)

為了修正NLMS-OCF算法迭代方向上的誤差，我們提出了NLMS-OCF-IE算法，使得迭代方向和引起估計(jì)迭代誤差方向相同，從而減小迭代誤差，并將改進(jìn)的算法在MATLAB中進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果表明，NLMS-OCF-IE算法相對(duì)于傳統(tǒng)的NLMSOCF算法，不僅減小了誤差，而且還加快了收斂速度，提高了自適應(yīng)濾波器的性能。

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