王 軒 孫權(quán)森 劉佶鑫

(1. 南京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，南京, 210094；2. 南京郵電大學(xué)寬帶無(wú)線(xiàn)通信技術(shù)教育部工程研究中心，南京, 210003)

引 言

遙感圖像數(shù)據(jù)發(fā)展具有高分辨率、高光譜和多時(shí)相的趨勢(shì)，導(dǎo)致信息量的與日俱增，大大增加了存儲(chǔ)和傳輸?shù)拇鷥r(jià)。因而與普通成像相比，遙感成像對(duì)數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)提出了更高的要求。為此，壓縮感知作為一種新理論被引入相關(guān)領(lǐng)域。壓縮感知理論[1]指出，只要信號(hào)是稀疏的或者在某一變換空間是稀疏的、可壓縮的，就可以以遠(yuǎn)低于奈奎斯特頻率進(jìn)行采樣，并能夠精確地重構(gòu)原始信號(hào)。因此，對(duì)遙感圖像采用壓縮感知理論進(jìn)行圖像壓縮與重構(gòu)具有節(jié)約工作時(shí)間、節(jié)省存儲(chǔ)和傳輸代價(jià)的優(yōu)勢(shì)，僅需少量數(shù)據(jù)即可重構(gòu)原始的高分辨率遙感圖像。

根據(jù)Donoho和Candes等的理論[2]，信號(hào)在字典下的表示系數(shù)越稀疏，則重構(gòu)質(zhì)量越高。因此，設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、高效、通用性強(qiáng)和重構(gòu)圖像質(zhì)量高的字典學(xué)習(xí)算法十分重要，是目前主要研究方向之一。近年來(lái)稀疏編碼在信號(hào)和圖像處理領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。文獻(xiàn)[3]給出了關(guān)于求稀疏解的方法，該方法試圖從一個(gè)典型的較大的過(guò)完備字典中找到一小部分最能表示一個(gè)特定信號(hào)的向量[4，5]。這些算法假設(shè)存在一個(gè)合適的字典矩陣具有一定的性質(zhì)，以保證信號(hào)表示的稀疏性。確切地說(shuō)，選擇一個(gè)字典矩陣對(duì)于解的稀疏性和信號(hào)表示的準(zhǔn)確性有重要影響。

字典學(xué)習(xí)可提取樣本數(shù)據(jù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征，已被廣泛應(yīng)用于去噪[6]、特征提取[7]、模式識(shí)別與分類(lèi)[8]以及壓縮感知等領(lǐng)域。Elad等采取了K-SVD(K-singular value decomposition)[9]的字典學(xué)習(xí)算法，采用超完備的冗余函數(shù)系統(tǒng)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的正交基函數(shù)，為信號(hào)自適應(yīng)地稀疏擴(kuò)展提供了極大的靈活性。在重構(gòu)過(guò)程中采取正交匹配追蹤(Orthogonal matching pursuit，OMP)的方法[5]，信號(hào)稀疏表示的重構(gòu)質(zhì)量上略有提升。在文獻(xiàn)[9]中，作者把K-SVD與包括MOD[10]在內(nèi)的其他字典學(xué)習(xí)算法在圖像壓縮和重建方面大量作對(duì)比。人臉識(shí)別是這種字典學(xué)習(xí)方法的另一應(yīng)用[11]。文獻(xiàn)[12-14]針對(duì)視頻壓縮、視頻編碼和聲吶圖像數(shù)據(jù)提出了字典學(xué)習(xí)和相應(yīng)的快速重構(gòu)方法。

本文針對(duì)不同地物的高分辨率遙感圖像，提出一種基于稀疏表示和典型地物字典學(xué)習(xí)的遙感圖像分塊壓縮重構(gòu)算法，使用K-SVD字典學(xué)習(xí)算法訓(xùn)練典型地物的字典。重構(gòu)過(guò)程首先對(duì)部分觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)迭代求解出稀疏表示原圖像的原子，然后優(yōu)先使用相鄰塊的部分原子求表示殘差，以減少迭代次數(shù)。該算法與其他字典如離散余弦變換(Discrete Cosine transform,DCT)、離散小波變換(Discrete wavelet transform, DWT)等壓縮重構(gòu)算法相比，保留了圖像的結(jié)構(gòu)信息，高效地重構(gòu)出遙感圖像。

1 壓縮感知及其在遙感圖像重構(gòu)中的應(yīng)用

1.1 壓縮感知基本模型

壓縮感知理論要求，壓縮信號(hào)f必須在某個(gè)變換域是稀疏的，自然信號(hào)可以通過(guò)某種變換進(jìn)行稀疏表示，即f=Dx，x為信號(hào)f在某種變換的稀疏表示，并有

y=Φf=ΦDx=Ψx

(1)

式中：Φ為觀(guān)測(cè)矩陣；y是稀疏信號(hào)x關(guān)于觀(guān)測(cè)矩陣的測(cè)量值。如果Φ滿(mǎn)足約束等距條件可以通過(guò)求解

(2)

的最優(yōu)范數(shù)問(wèn)題來(lái)重構(gòu)稀疏信號(hào)x。接著通過(guò)下式恢復(fù)原始信號(hào)

(3)

通過(guò)對(duì)遙感圖像進(jìn)行有效的隨機(jī)觀(guān)測(cè)，可將信息匯聚到少量的采樣數(shù)據(jù)中；同時(shí)，優(yōu)良的字典設(shè)計(jì)和重構(gòu)方法的選擇和能夠保證由少量的采樣數(shù)據(jù)恢復(fù)出原始的高分辨率遙感圖像。

1.2 K-SVD字典學(xué)習(xí)

目前，字典構(gòu)造方法一般分為兩種：解析方法和學(xué)習(xí)方法[15]?；诮馕龇椒?gòu)造的字典通過(guò)事先定義好的某種數(shù)學(xué)變換或調(diào)和分析方法來(lái)構(gòu)造, 字典中的每個(gè)原子可用數(shù)學(xué)函數(shù)或少量的參數(shù)來(lái)刻畫(huà), 如離散余弦變換、小波變換等。該方法雖然構(gòu)造相對(duì)簡(jiǎn)單, 計(jì)算復(fù)雜度低, 但原子的基本形狀固定, 原子的形態(tài)不夠豐富, 不能與圖像本身的復(fù)雜結(jié)構(gòu)最佳匹配。

近年來(lái)人們開(kāi)始根據(jù)數(shù)據(jù)或信號(hào)本身來(lái)學(xué)習(xí)過(guò)完備字典, 這類(lèi)字典中的原子與訓(xùn)練集中的信號(hào)本身相適應(yīng)。與基于解析方法的字典相比, 通過(guò)學(xué)習(xí)獲得的字典原子數(shù)量更多, 形態(tài)更豐富, 能更好地與信號(hào)或圖像本身的結(jié)構(gòu)匹配, 具有更稀疏的表示。

字典學(xué)習(xí)可提取樣本數(shù)據(jù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征。其學(xué)習(xí)方法一般可以通過(guò)優(yōu)化下式獲取，即

(4)

通過(guò)對(duì)某一類(lèi)的圖像進(jìn)行訓(xùn)練以獲得字典的方法，最典型的方法是K-SVD算法。K-SVD算法用來(lái)學(xué)習(xí)一個(gè)專(zhuān)用字典矩陣，最好地適應(yīng)一組訓(xùn)練集。K-SVD在現(xiàn)有的稀疏編碼追蹤方法中適應(yīng)性較強(qiáng)，可以用于表示數(shù)據(jù)。

該方法針對(duì)目標(biāo)函數(shù)式(4)，首先進(jìn)行稀疏表示，即對(duì)固定字典D，計(jì)算的表示系數(shù)αi,有

(5)

(6)

(7)

1.3 重構(gòu)算法

壓縮感知信號(hào)重構(gòu)指的是由M次測(cè)量向量x重構(gòu)長(zhǎng)度為N的稀疏信號(hào)y的過(guò)程[16]。可以通過(guò)求解最小范數(shù)問(wèn)題加以解決，但最小范數(shù)是一個(gè)NP-hard問(wèn)題，需要窮舉x中非零值所有的種排列可能。OMP[5]是一種貪婪迭代算法，其基本思想是在每一次的迭代過(guò)程中，從過(guò)完備原子庫(kù)里選擇與信號(hào)最匹配的原子來(lái)構(gòu)建稀疏逼近，并求出信號(hào)表示殘差，然后繼續(xù)選擇與信號(hào)殘差最為匹配的原子，通過(guò)遞歸地對(duì)已選擇原子集合進(jìn)行正交化以保證迭代的最優(yōu)性，經(jīng)過(guò)一定次數(shù)的迭代，信號(hào)可以由一些原子線(xiàn)性表示。正交匹配追蹤算法以極大概率準(zhǔn)確重構(gòu)信號(hào)，而且比最小范數(shù)法更快，在圖像重構(gòu)中應(yīng)用廣泛。

2 基于字典學(xué)習(xí)與鄰域優(yōu)化的遙感圖像分塊重構(gòu)

遙感圖像是傳感器所獲得信息的產(chǎn)物，是遙感探測(cè)目標(biāo)的信息載體。針對(duì)不同類(lèi)型地物的遙感圖像選擇最優(yōu)的稀疏表示方法，可以有效地提高遙感圖像重構(gòu)質(zhì)量，便于后期的信息提取工作。圖1是本文方法的流程圖，其中實(shí)線(xiàn)框內(nèi)部分為本方法主要內(nèi)容。

圖1 字典訓(xùn)練與圖像分塊重構(gòu)流程圖Fig.1 Picture of dictionary training and image block reconstruction

2.1 不同地物遙感圖像的特性分析

地球表面不同類(lèi)型的地物在遙感影像上具有不同的影像特征，因而能夠在遙感影像上區(qū)分和識(shí)別不同的地物類(lèi)型。其中，水域、農(nóng)田、山脈和城市等是陸地表面典型的地物類(lèi)型，既有自然地物，也有人工改造形成的地物。水域?qū)μ?yáng)光吸收、反射和透射隨波長(zhǎng)的變化而變化，總體上吸收大于反射和透射，灰度直方圖見(jiàn)圖2(a)。同時(shí)，由于水體表面總體上是平的，不同入射角的光線(xiàn)有不同的反射能力，遙感圖像上水體也會(huì)有不同的影像特征。農(nóng)田及植被在地表分布較廣，是地球生態(tài)系統(tǒng)的重要組成部分。農(nóng)田具有典型的波譜選擇性反射特性，在可見(jiàn)光反射率都比較低，灰度直方圖見(jiàn)圖2(b)。在遙感影像上，農(nóng)田的影像特征主要體現(xiàn)在色調(diào)、形狀和圖案等方面。農(nóng)田影像有人為造成的塊狀、條帶狀等幾何形態(tài)。不同質(zhì)地的山脈，其波譜特性不同。遙感圖像色調(diào)的深淺與山脈土壤有機(jī)質(zhì)含量、濕度大小和質(zhì)地粗細(xì)有關(guān)。有機(jī)質(zhì)含量高、濕度大且質(zhì)地細(xì)的色調(diào)較深。圖2(c)為一幅山脈圖像的灰度直方圖。城市既是人類(lèi)最為集中的地域，又是一定地域的政治、經(jīng)濟(jì)和文化活動(dòng)的中心。城市的影像特征表現(xiàn)在灰度、形狀及空間布局等方面，灰度直方圖見(jiàn)圖2(d)。城市構(gòu)成以房屋為主，兼有道路、植被和水體等，具有這些地物的全部波譜、形態(tài)、布局和圖形結(jié)構(gòu)等特征。房屋不同質(zhì)地的屋頂具有不同的波譜特征。石棉屋頂和塑料屋頂?shù)姆瓷渎瘦^高。

2.2 基于典型地物的字典學(xué)習(xí)

信號(hào)的最佳稀疏表示是壓縮感知理論應(yīng)用的基礎(chǔ)和前提，只有選擇合適的字典表示信號(hào)才能保證信號(hào)的稀疏度，從而保證信號(hào)的重構(gòu)精度。而遙感圖像內(nèi)容豐富、數(shù)據(jù)類(lèi)型多且目標(biāo)小，且包含了豐富的紋理信息，不同地物通常呈現(xiàn)獨(dú)特的多尺度特征。

針對(duì)2.1節(jié)中提到的水域、農(nóng)田、山脈和城市4種陸地上典型的地物類(lèi)型，對(duì)訓(xùn)練集中的遙感圖像進(jìn)行分類(lèi)，構(gòu)建4組訓(xùn)練集，參考圖像如圖3所示。在每組訓(xùn)練集上使用K-SVD的字典學(xué)習(xí)方法，訓(xùn)練得到分類(lèi)聯(lián)合字典，其中ω為字典類(lèi)別數(shù)。

圖3 4類(lèi)典型地物遙感圖像

圖4 分塊處理示意圖 Fig.4 Block processing schematic

2.3 基于鄰域優(yōu)化的分塊重構(gòu)方法

由于對(duì)同一遙感圖像的局部區(qū)域的進(jìn)行稀疏表示時(shí)，使用的過(guò)完備字典中的部分原子存在重復(fù)或相似?？紤]將圖像分塊，首先對(duì)分塊圖像的部分塊的觀(guān)測(cè)值(圖4中灰色塊)，從過(guò)完備字典中使用OMP貪婪迭代算法迭代求解出一組能稀疏表示的原子；對(duì)于其鄰域內(nèi)的觀(guān)測(cè)值(圖4中白色塊)，先用這些原子中的一部分求稀疏表示殘差，再對(duì)殘差進(jìn)行迭代求解得到剩余的稀疏表示原子。本文采用的是每3×3的9個(gè)塊中，先對(duì)中心的1塊求解，再根據(jù)其求解使用的原子優(yōu)先對(duì)其周?chē)徲虻?個(gè)塊求表示殘差，進(jìn)一步求解，大大提升了鄰域塊的重構(gòu)效率。如果擴(kuò)大鄰域范圍，例如對(duì)5×5的25個(gè)塊為一組進(jìn)行處理，效率將更高，但對(duì)重構(gòu)質(zhì)量有一定損失。

具體步驟如下：

(1) 遙感圖像壓縮感知觀(guān)測(cè)過(guò)程。

對(duì)原圖像f及觀(guān)測(cè)矩陣Φ進(jìn)行分塊觀(guān)測(cè)，得到觀(guān)測(cè)值y(i，j為圖像塊的行、列號(hào))，即

yi,j=Φi,jfi,ji,j=1,2,…

(8)

(2) 遙感圖像塊重構(gòu)過(guò)程。

輸入：觀(guān)測(cè)矩陣Φ，典型地物的學(xué)習(xí)字典，稀疏度k，觀(guān)測(cè)值y，信號(hào)表示殘差最小值，圖像總塊數(shù)N，保留原子個(gè)數(shù)s(s

輸出：可以稀疏表示原圖像的原子索引集Λ。

步驟1：初始化殘差r=yi,j，索引集Λ0=?

步驟2：對(duì)行列號(hào)為y(i=3n+2，j=3n+2)的觀(guān)測(cè)值塊(圖5中灰色塊)，找出殘差r和字典Dβ積中最大值所對(duì)應(yīng)的腳標(biāo)λ

(9)

更新索引集

Λt=Λt-1∪{λt}

(10)

記錄下字典中找到的稀疏表示原圖像的原子集合

Φt=[Φt-1,dj]

(11)

由最小二乘得到

(12)

更新殘差

(13)

t=t+1，判斷是否滿(mǎn)足t≥k或r

步驟3： 處理步驟2中的觀(guān)測(cè)值塊(圖4中白色塊)：y(i=3n+2，j=3n+2)的8個(gè)鄰域塊：y(i=3n+1，j=3n+1)，y(i=3n+2，j=3n+1)，y(i=3n+3，j=3n+1)，y(i=3n+1，j=3n+2)，y(i=3n+3，j=3n+2)，y(i=3n+1，j=3n+3)，(i=3n+2，j=3n+3)，y(i=3n+3，j=3n+3)，初始化稀疏表示原子集合Φ0和索引集Λ0，保留y(i=3n+2，j=3n+2)的s個(gè)原子及其索引

Φ0=Φs

(14)

Λ0=Λs

(15)

計(jì)算殘差

(16)

(17)

繼續(xù)查找原子，同步驟2。

若n

步驟4：由步驟2和步驟3中找到的索引集恢復(fù)原圖像塊,即

(18)

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文方法針對(duì)典型地物的遙感圖像的重構(gòu)效果以及時(shí)間效率，分別用3種方法進(jìn)行對(duì)比：使用固定的DCT字典與OMP重構(gòu)方法；未分類(lèi)的遙感圖像訓(xùn)練的通用學(xué)習(xí)字典與OMP重構(gòu)方法；以及本文提出的4種典型地物的學(xué)習(xí)字典與鄰域分塊優(yōu)化重構(gòu)方法。對(duì)4類(lèi)典型地物的遙感圖像構(gòu)建樣本集，包括水域、農(nóng)田、山脈和城市等4種陸地典型地物，并從中選出部分圖像進(jìn)行測(cè)試。

首先從每類(lèi)典型地物圖像中選取100幅像素為512×512的圖像作為訓(xùn)練集，分別進(jìn)行K-SVD字典學(xué)習(xí)，迭代次數(shù)30次，學(xué)習(xí)字典參數(shù)為：塊大小8×8，原子個(gè)數(shù)256，稀疏度10，得到4種典型地物的學(xué)習(xí)字典。用3種方法的字典對(duì)壓縮后的4類(lèi)典型地物各10組測(cè)試數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)，測(cè)試圖像大小1 024×1 024像素，相鄰塊取8個(gè)，重構(gòu)時(shí)保留的原子個(gè)數(shù)取9個(gè)。為了直觀(guān)地比較試驗(yàn)結(jié)果，本文從測(cè)試集中選取了一幅山脈圖像展示了試驗(yàn)效果。圖5(a)為輸入的測(cè)試圖像，圖5(b)為本方法重構(gòu)后的圖像?？梢钥闯鲋庇^(guān)效果差別不大。

本文采用了峰值信噪比(Peak signal to noise ratio，PSNR)和結(jié)構(gòu)相似度索引(Structural similarity index measurement，SSIM)為遙感圖像重構(gòu)結(jié)果的圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo)。PSNR 值越大，SSIM 值越大，則重構(gòu)圖像與參考圖像就越接近，說(shuō)明算法效果越好。用部分測(cè)試圖像運(yùn)行結(jié)果繪制了兩項(xiàng)指標(biāo)的曲線(xiàn)圖如圖6所示。

圖5 測(cè)試圖像與重構(gòu)圖像

圖6 DCT字典、通用學(xué)習(xí)字典及本文方法重構(gòu)效果曲線(xiàn)圖

圖7 DCT字典、通用學(xué)習(xí)字典及本文方法重構(gòu)時(shí)間曲線(xiàn)圖 Fig.7 Reconstruction time graph of DCT diction-ary, general dictionary and proposed method

可以看出本文方法采用典型地物的字典(紅色“*-”線(xiàn))在重構(gòu)質(zhì)量上，PSNR與SSIM兩項(xiàng)指標(biāo)較通用學(xué)習(xí)字典(藍(lán)色“—”線(xiàn))有明顯提升。除樣本3，4(水域圖像)的重構(gòu)結(jié)果略低于DCT字典，其余樣本(農(nóng)田、山脈、城市圖像)與DCT字典(綠色“+-”線(xiàn))相比略有提高。且PSNR均穩(wěn)定在28 dB以上。

圖7是3種方法的重構(gòu)時(shí)間，可以看出無(wú)論是DCT字典或通用學(xué)習(xí)字典，重構(gòu)時(shí)間在45 s以上。而本文方法(圖中紅色“*-”線(xiàn))大大縮短了重構(gòu)時(shí)間，均在35 s以?xún)?nèi)，平均占DCT字典重構(gòu)時(shí)間的54.5%，效率較高。因此，本文的基于典型地物字典學(xué)習(xí)及鄰域分塊優(yōu)化的重構(gòu)方法較DCT字典和訓(xùn)練的K-SVD學(xué)習(xí)字典在重構(gòu)質(zhì)量上稍有提升，在重構(gòu)時(shí)間上優(yōu)勢(shì)較明顯。

4 結(jié)束語(yǔ)

基于遙感圖像的壓縮感知模型，本文針對(duì)現(xiàn)有的字典構(gòu)造方法及重構(gòu)方法中存在不同地物圖像重構(gòu)效果差別大，重構(gòu)時(shí)間有待提升等問(wèn)題，提出了一種新的字典學(xué)習(xí)及分塊重構(gòu)方法。該方法在聯(lián)合字典學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上引入了分類(lèi)字典的概念。依據(jù)4類(lèi)典型地物的遙感圖像訓(xùn)練冗余字典。在重構(gòu)過(guò)程中，對(duì)鄰域圖像塊保留部分字典原子以提升重構(gòu)效率。實(shí)驗(yàn)表明，本方法在保證重構(gòu)效果的同時(shí)，在重構(gòu)時(shí)間上有大幅提升。此外，本方法還可以通過(guò)調(diào)整相鄰塊數(shù)和保留原子個(gè)數(shù)來(lái)調(diào)整重構(gòu)時(shí)間或重構(gòu)圖像質(zhì)量，在通過(guò)觀(guān)測(cè)值選擇相應(yīng)字典方面是下一步研究的重點(diǎn)。

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