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(武漢大學土木建筑工程學院，湖北 武漢 430072)

0 引 言

隨著建筑美學與建筑力學的融合，復雜曲面在建筑行業(yè)的應用越來越廣泛。曲面不再局限于傳統(tǒng)的能用函數(shù)表達的解析曲面，出現(xiàn)造型多變、富有動感的自由曲面，網(wǎng)格劃分美觀流暢，具有強大的視覺效果。而AutoCAD是目前國內(nèi)外廣泛使用的計算機輔助設(shè)計圖形處理軟件，具有開放的結(jié)構(gòu)體系，用戶可以結(jié)合AutoCAD二次開發(fā)的特點和自身需求，開發(fā)屬于自己的CAD系統(tǒng)[1]。ObjectARX是基于C++語言為基礎(chǔ)，支持面向?qū)ο筮M行編程，是使用最為廣泛一項AutoCAD二次開發(fā)工具。袁文輝[2]在AutoCAD中實現(xiàn)對實體邊界曲面數(shù)據(jù)的訪問，用于在數(shù)控加工中生成和驗證刀具路徑。許俊等[3]基于以AutoCAD2007開發(fā)平臺的鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計軟件USSCAD，實現(xiàn)了空間復雜曲面結(jié)構(gòu)的參數(shù)化建模。

本文基于AutoCAD2007進行二次開發(fā)，使用ObjectARX技術(shù)，對自由曲面進行數(shù)據(jù)訪問，針對獲取曲面上的曲線和由點生成曲面兩個方面進行研究，實現(xiàn)了對自由曲面的邊界曲線的提取、曲面分解成曲線、曲線投影到曲面上和通過三維點陣擬合自由曲面等功能。

1 NURBS曲面

用NURBS方法來表示曲線和曲面具有顯著的優(yōu)越性[4]，在形狀定義方面有很強大的功能，同時能為自由曲線、曲面的精確表達提供統(tǒng)一的數(shù)學形式。AutoCAD系統(tǒng)中的自由曲面就是采用三次NURBS方法表示的[5]。NURBS通過控制點、權(quán)因子、基函數(shù)三個因素，就可精確表示任意自由曲面和曲線，控制著曲線曲面的形狀[6]。

NURBS曲面的有理分式表達如下：

式中，pi,j為呈拓撲行陣列的m×n雙向網(wǎng)格中的第i行第j個點；i為控制點u方向的編號及u向B樣條的基函數(shù)編號，i=0,1,……m；j為控制點v方向的編號及v向B樣條的基函數(shù)編號，j=0,1,……n；wi,j為與點pi,j對應的權(quán)數(shù)，控制各點對構(gòu)型的影響程度；Ni,3(u)為u向三次B樣條基函數(shù)；Nj,3(v)為v向三次B樣條基函數(shù)。Ni,3(u)和Nj,3(v)分別是由u向和v向的節(jié)點矢量按三次德布爾遞推公式計算得到。

AutoCAD已經(jīng)將用NURBS方法創(chuàng)建自由曲面的函數(shù)封裝在ObjectARX函數(shù)包中，用B-rep方法儲存供用戶讀取和編輯操作。

2 曲面定向生成曲線

2.1 提取邊界曲線

對于由AutoCAD自生成的曲面或者從外部導入的可識別的曲面，通過函數(shù)判定是否為AcDbSuface類，判定成功后即可通過調(diào)用thicken()函數(shù)加厚形成實體并添加至模型空間。利用實體類的getSubentPathsAtGSMaker函數(shù)獲得該實體的子實體(曲面)。通過AcBrFace類對象創(chuàng)建與實體相關(guān)的AcGeSurface曲面對象，調(diào)用getEnvelope函數(shù)獲得該曲面拓撲矩形參數(shù)區(qū)間范圍[7]。相關(guān)操作函數(shù)如下：

對于四邊形邊界的自由曲面，其四條邊界分別對應的是u=0、u=1，v=0、v=1。將這四種情況下對應的相關(guān)參數(shù)(param值)通過evalPoint函數(shù)反射到曲面得到一系列的點，利用這一系列的點可生成三次樣條曲線，即為自由曲面的邊界。

對于圓形邊界類曲面，在某條邊界上所有參數(shù)點映射得到均為同一點，即第四條邊界曲線為一個點。對于圓環(huán)類曲面，當u或v中只有一向閉合時，只有三條邊界曲線(存在兩條邊界曲線重合)；當u、v向均閉合時，只存在兩條邊界曲線(邊界曲線兩兩重合)。

//getSubentPathsAtGSMaker: 獲得實體對象的子實體函數(shù)

//lowerBound: 獲得曲面參數(shù)域的下邊界函數(shù)

//upBound: 獲得曲面參數(shù)域的上邊界函數(shù)

//isClosedInU: 判斷曲面是否在u向閉合

//isClosedInV: 判斷曲面是否在v向閉合

//evalPoint: 根據(jù)拓撲參數(shù)反射得到曲面上對應點的函數(shù)

2.2 曲面生成等分線

2.2.1 曲線等分

如圖1所示，將曲線按弦長進行等分，曲線等分后各段的弧長基本一致。按等弦長劃分曲線，其基本流程如圖2所示。

以一條曲線等分成10份為例，其基本步驟如下：

1)通過將曲線等分成一定數(shù)量的點，求出相鄰兩點的距離值，將所有距離值相加即可得到曲線的近似長度。將曲線的近似長度除以10，即可得到初始桿件長L?？紤]到后期修改桿件長度，同時求出將曲線分為9段和11段的初始桿件長，分別記做Lmax與Lmin。

2)將參數(shù)域值等分成10份，作為△u=0.1，用以調(diào)整參數(shù)值。初始點Pt1為參數(shù)值等于0的點，Pt2點的參數(shù)值初始設(shè)為0.1，并將其參數(shù)域范圍設(shè)置為(umin，umax)，umin=0，umax=0.1。

3)求出Pt2與Pt1之間桿件的長度l。若l>L，則保證umin=0，umax=0.1；若l

4)求出Pt2的正確坐標后，將Pt2作為初始點，尋找Pt3，使其滿足兩點的距離等于L。

圖1 曲線弦等分

圖2 曲線弦等分流程

5)當?shù)戤吅?，求出最后一個節(jié)點與曲線的終點的距離。若若共有n+1個等分點，且最后一段的長度小于允許的長度誤差?，則將最后一個等分點替換成曲線終點，曲線等分完成。若是等分點數(shù)目小于n+1，則說明L取大了，需要減小，L的新范圍為(L，Lmin)；若是等分點數(shù)目大于n+1或者等分點數(shù)目等于n+1但最后一段的長度超出誤差范圍，則說明L取小了，L的新范圍為(Lmax，L)。同樣采用二分法不斷的確定新的L，直至滿足判斷2。

按等弦長劃分可以將曲線均勻的等分，每段的弦長均相等。但是按弦長等分時，若是曲線的曲率變化太大，所有等分點連接形成的新曲線與原有的曲線存在一定的偏差，可按等分u向值來劃分曲線，但每段的弦長長度有差異。

2.2.2 曲面分解成曲線

將曲面分解形成一系列的等分曲線，通過操作曲線組可以達到將曲面劃分網(wǎng)格的目的?？蓪崿F(xiàn)沿曲面的u或v向生成等分曲線，以生成u向曲線為例，假設(shè)生成n條曲線：

1)將AcDbSurface轉(zhuǎn)換成AcGeSurface，獲得該曲面拓撲矩形參數(shù)區(qū)間范圍。

2)根據(jù)曲面參數(shù)域的上下邊界，分別生成v=0,v=1/(n-1)…v=1所對應的n條曲線。

3)將所有曲線按弦長等分成n-1段，將每條曲線對應的n個等分點存入相應的數(shù)組之中。

4)按順序提取每個數(shù)組之中的第k個值，存入一個新的數(shù)組之中，構(gòu)成第k條NURBS曲線。

為生成u向的曲線，首先在程序內(nèi)部生成v向的曲線，然后按弦等分獲得等分點，通過等分點構(gòu)造新的曲線。通過這一過程可使得生成的曲線在v向的間隔相對比較均勻，若是將u向的曲線也按弦長等分，即可形成比較均勻的網(wǎng)格。圖3為一自由曲面生成曲線的實例。

圖3 自由曲面分解實例

2.3 曲線投影

ObjectARX提供的AcGeCurveSurfInt類是用來存儲一條3d曲線與曲面表面交集的數(shù)據(jù)。利用AcGeCurveSurfInt類的intPoint函數(shù)可以方便的返回AcGeSurface曲面與曲線的交點。將曲線分解成一系列的點，構(gòu)造新的曲線與曲面相交，得到一系列的交點構(gòu)造新的曲線，即可實現(xiàn)曲線投影至曲面。曲線投影的基本流程如下：

1)選擇相應的目標曲線與曲面。將曲面轉(zhuǎn)換成可操作的AcGeSurface曲面。

2)指定投影方向的向量a。

3)將目標曲線按u值等分成300個點。構(gòu)造通過等分點且方向向量為a的直線(AcGeLine3d類)。

4)求出每條構(gòu)造直線與曲面的交點，將這些點按順序存入數(shù)組之中，生成一條樣條曲線，即為曲線在曲面上的投影曲線。

當需要的投影的目標曲線相對較短時，在曲面上的投影曲線無法與曲面邊界相交。在進行投影過程中，可選擇延長目標曲線，保證投影的曲線與曲面邊界有交點。曲線延長的算法如下：

1)將曲線等分成100點，并按順序存入數(shù)組ptarry。

2)獲取曲線首尾兩點的切線斜率。曲線兩端沿切向方向往外延伸L/20(L為曲線的長度)，生成新點pt1、pt2，分別存入數(shù)組ptarry1、ptarry2。

3)將pt1、pt2投影至曲面。如果存在投影點則繼續(xù)(2)步驟。如果不存在投影點則停止延伸。

4)假設(shè)最后停止延伸時的pt1= ptarry1[n]，則上一點為ptarry1[n-1]。采用二分法不斷縮小兩點之間的區(qū)間，即可得到邊界交點pt1。同理可得到末端與邊界的交點pt2。

5)通過曲線點的順序，將數(shù)組ptarry、ptarry1、ptarry2合并，構(gòu)造新的曲線投影至曲面。

將投影至曲面上的第一條曲線分解為100個點，沿平移方向平移指定距離(平移方向為該點的切線方向與投影方向的叉積)，構(gòu)成新的目標曲線，投影至曲面。以新生成的曲線為目標曲線，重復上述平移投影操作，可生成覆蓋整個曲面的一系列曲線。以一條直線為投影曲線，投影至一封閉曲面，將得到如圖4所示的曲線組。

圖4 曲線投影至曲面

3 網(wǎng)格劃分應用

一般自由曲面的網(wǎng)格劃分都是采用映射法。映射法原理簡單，將參數(shù)域的網(wǎng)格映射回物理空間，在曲面上生成網(wǎng)格。映射法雖然運算速度快，但易出現(xiàn)網(wǎng)格失真[8]，如圖4所示。而獲得曲面上的曲線，將曲線按弦長等分，將所有的等分點按一定順序連接形成網(wǎng)格，包括形成三角形網(wǎng)格和四邊形網(wǎng)格，如圖5～圖7所示。

圖6 曲線按弦等分生成三角形網(wǎng)格

當曲面尺寸發(fā)生較大的變化時，可以將曲線分成幾組，生成網(wǎng)格。各組曲線之間通過更改網(wǎng)格形式和拓撲關(guān)系進行過渡，使網(wǎng)格劃分更均勻，如圖8所示。

4 點陣形成曲面

4.1 生成機制

AutoCAD中只要提供一系列的控制元素，包括邊界曲線、邊界點、中部控制曲線和點，就可以通過旋轉(zhuǎn)、掃掠或放樣的方式生成自由曲面。其中放樣曲面的控制元素是經(jīng)向曲線和緯向曲線。通過合理的點陣即可形成一系列的曲線作為放樣曲面的控制元素，生成自由曲面?；玖鞒倘缦拢?/p>

1)讀入控制點坐標，每行的控制點形成曲面經(jīng)線。將每條曲面經(jīng)線的首尾控制點分別存儲在對象標識符容器。利用曲面經(jīng)線的首尾點，形成兩條曲面緯線并存入對象標識符容器中。

圖7 球面沿兩正交投影線投影形成網(wǎng)格

圖8 曲面分段劃分網(wǎng)格

2)聲明AcDbLoftedSurface類(放樣曲面類)對象。根據(jù)給定的經(jīng)向曲線與緯向曲線調(diào)用createLoftedSurface()函數(shù)形成空間放樣曲面。

3)加厚曲面形成三維實體AcDb3dSolid，用getSubentPathsAtGsMarker()函數(shù)獲得子實體路徑。

4)聲明AcBrFace類對象，調(diào)用set()函數(shù)指向子實體所代表的曲面。實體的第一個曲面即為用于擬合的曲面。

5)調(diào)用getSurface()函數(shù)獲得實體相關(guān)的曲面對象，并對其進行操作。

通過三維點陣生成曲面，可以通過修改點陣中的具體點的數(shù)值來修改曲面的形狀。與手動繪制多條樣條曲線然后放樣形成曲面相比，要更加快捷，便于修改。

4.2 風荷載擬合

在工程中，異形屋面的風壓無法按荷載規(guī)范計算，需要進行風洞試驗。但風洞試驗無法得到屋面所有節(jié)點的風壓，一般假設(shè)風壓測點處周圍節(jié)點的風壓數(shù)值與該測點一致，或者使用三維插值[10]來擬合風壓分布。

自由曲面是通過三次樣條曲線擬合而成，三次樣條曲線又是通過一系列的點擬合而成。使用三維點陣生成自由曲面，利用其三次樣條插值的特性，可以用來模擬風壓分布。以風洞試驗的結(jié)果形成三維點陣(點的X、Y坐標表示位置，Z坐標表示風壓大小)，生成覆蓋整個屋面結(jié)構(gòu)自由曲面來擬合風壓分布，得到所有節(jié)點的風壓值。

5 結(jié) 論

基于AutoCAD2007開發(fā)平臺，使用ObjectARX技術(shù)對NURBS曲面進行了二次開發(fā)，主要結(jié)論如下：

1)實現(xiàn)了提取自由曲面邊界線、生成自由曲面等分線、曲線投影至曲面等功能。

2)實現(xiàn)了曲線按弦長等分功能，通過操作生成的覆蓋自由曲面的曲線組，可劃分出較好的網(wǎng)格。

3)通過三維點陣生成自由曲面，不僅提高了自由曲面建模和修改的效率，也可用于處理風洞試驗數(shù)據(jù)。

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