李 拓， 白鴻柏， 路純紅， 曹鳳利

(陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū) 車輛與電氣工程系，石家莊 050003)

金屬橡膠是一種由金屬絲以螺旋卷的形式纏繞在一起的非線性彈性阻尼材料[1]，具有橡膠般的優(yōu)良彈性和大阻尼特性以及金屬的物理機(jī)械性能(如在真空中不揮發(fā)、不怕輻射，能夠承受空間的高溫和低溫，疲勞壽命長等)，因此金屬橡膠成為了極端環(huán)境下橡膠的替代品，在極端環(huán)境下的隔振、密封及噪聲控制等方面有著廣泛的應(yīng)用。

隨著技術(shù)的發(fā)展，大量精密儀器的使用要求隔振器具有更寬的隔振頻帶，以實(shí)現(xiàn)超低頻隔振，這就要求大幅降低金屬橡膠的剛度。但是經(jīng)過大量試驗(yàn)研究和應(yīng)用實(shí)踐，科研人員發(fā)現(xiàn)，由于金屬橡膠材料的機(jī)械性能受成型壓力影響較大，低剛度金屬橡膠在實(shí)際使用中仍存在一些不足：①由于成型壓力小，低剛度構(gòu)件內(nèi)部金屬絲的勾連程度較低，成型質(zhì)量較差；②低剛度構(gòu)件內(nèi)部結(jié)構(gòu)松散，在使用過程中容易發(fā)生二次成型，導(dǎo)致產(chǎn)生較大的殘余變形，機(jī)械性能不穩(wěn)定，壽命大幅度縮短。為了解決低剛度金屬橡膠構(gòu)件在實(shí)際使用中存在的問題，軍械工程學(xué)院金屬橡膠工程中心設(shè)計(jì)并制備了編織-嵌槽型金屬橡膠構(gòu)件。編織-嵌槽工藝較好地解決了低剛度金屬橡膠構(gòu)件成型壓力小、成型較差、殘余變形大以及構(gòu)件結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性較差等問題。為了揭示編織-嵌槽型金屬橡膠的壓縮變形機(jī)理并為產(chǎn)品的設(shè)計(jì)提供理論支持，有必要建立恰當(dāng)?shù)谋緲?gòu)模型對編織-嵌槽型金屬橡膠力學(xué)特性的物理本質(zhì)進(jìn)行分析。

近年來，學(xué)者們對金屬橡膠進(jìn)行了大量理論研究。這些理論主要可以分為宏觀力學(xué)模型[2-5]和細(xì)觀模型力學(xué)模型兩大類。比較而言，包含有材料的基本工藝參數(shù)的細(xì)觀力學(xué)模型更能夠有效地揭示力學(xué)特性機(jī)理、指導(dǎo)材料設(shè)計(jì)。Jiang等[6]采用疊層懸臂梁模型對金屬橡膠內(nèi)部接觸作用進(jìn)行描述；李宇燕等[7-10]基于多孔材料理論和曲梁模型建立了金屬橡膠遲滯曲線的數(shù)學(xué)模型，并研究了相對密度、形狀因子、制品結(jié)構(gòu)參數(shù)對材料力學(xué)性能的影響；曹鳳利等[11-12]以變長度曲梁組成的單匝螺旋卷為基本單元，建立了材料加載-卸載力學(xué)特性的數(shù)學(xué)模型，并將模型的修正參數(shù)減少到兩個；李拓等[13]利用曲梁等效剛度模型的組合結(jié)構(gòu)，描述了編織-嵌槽型金屬橡膠的剛度特性，但是這一模型并未考慮材料變形過程中曲梁傾角、數(shù)目及幾何參數(shù)的變化，對材料非線性階段剛度特性的擬合仍存在一些偏差。本文從編織-嵌槽型金屬橡膠的細(xì)觀結(jié)構(gòu)出發(fā)，分析了由構(gòu)件內(nèi)部線圈接觸導(dǎo)致的細(xì)觀結(jié)構(gòu)變化，并據(jù)此建立了編織-嵌槽型金屬橡膠的本構(gòu)模型。

1 細(xì)觀結(jié)構(gòu)分析

編織-嵌槽型金屬橡膠由平針組織金屬絲網(wǎng)套經(jīng)整形輥壓、冷彎、剪裁(依據(jù)制備構(gòu)件的質(zhì)量)、卷纏毛坯、冷壓成型、后期處理等工序制備的工藝流程，如圖1(a)所示。工藝流程中的冷彎工序使得金屬絲網(wǎng)上出現(xiàn)了與金屬絲網(wǎng)長度方向(平針組織的縱列方向)呈一定角度的截面為三角形的溝槽結(jié)構(gòu)，卷纏過程中需要保證三角形溝槽能夠很好地嵌合在一起，卷纏使得溝槽結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出螺旋形態(tài)，構(gòu)件外部呈現(xiàn)大量螺旋結(jié)構(gòu)，如圖1(b)所示。在實(shí)際應(yīng)用中，編織-嵌槽型金屬橡膠多填裝于隔振器中，因此其構(gòu)型多為圓環(huán)形，本文研究以圓環(huán)形構(gòu)件為例。以下從網(wǎng)層組織結(jié)構(gòu)和網(wǎng)層構(gòu)型兩個方面對構(gòu)件的細(xì)觀結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化和分析。

圖1 編織-嵌槽工藝流程及實(shí)物圖Fig.1 Knitted-dapped technics flow and the physical picture

1.1 網(wǎng)層組織結(jié)構(gòu)

編織-嵌槽型金屬橡膠是由平針組織金屬絲網(wǎng)套制成的。據(jù)文獻(xiàn)[14]可知，平針組織的基本單元是線圈，可以把線圈看作由兩段半圓弧和兩段圈柱以相接的形式構(gòu)成，線圈之間相互勾連，如圖2所示。由于金屬絲的直徑ds遠(yuǎn)小于半圓弧的直徑D，因此可以認(rèn)為線圈之間的勾連接觸點(diǎn)位于半圓弧部分與圈柱部分的連接處，如圖2(a)中虛線部分所示。

圖2 金屬絲網(wǎng)的細(xì)觀結(jié)構(gòu)Fig.2 Mesostructure of the metal net

平針組織在縱列方向相鄰兩個對稱軸之間的距離a等于針筒上相鄰舌針距離的一半。根據(jù)圖2(a)中的結(jié)構(gòu)關(guān)系，橫列方向有如下幾何關(guān)系成立

a=D+ds-lsinδ1

(1)

故可求得圈柱部分與縱列方向的夾角δ1為

(2)

依據(jù)結(jié)構(gòu)的幾何關(guān)系，可求得圈柱所處平面與半圓弧所處平面的夾角δ2為

(3)

圖3 平針組織的等效結(jié)構(gòu)Fig.3 Equivalent structure of the plain stitch

對于輥壓形成的金屬絲網(wǎng)片，其縱列密度(縱列方向單位長度的質(zhì)量)ρl為

(4)

式中：na為金屬絲網(wǎng)片在橫列方向上線圈的數(shù)目，該值由針織設(shè)備確定，通常為偶數(shù)；ρs為絲材密度。

1.2 網(wǎng)層構(gòu)型

經(jīng)過冷彎處理，金屬絲網(wǎng)片經(jīng)過冷彎成型轉(zhuǎn)化為波形網(wǎng)片，如圖4(a)所示。其成型斷面N-N′(成型斷面與輥壓形成的溝槽方向垂直)，如圖4(b)所示。

圖4 波形網(wǎng)片的形態(tài)示意圖Fig.4 Morphological diagram of the net piece with wave shape

(5)

式中：αw為波形網(wǎng)片上溝槽與縱列方向的夾角；βw為冷彎截面中三角形溝槽側(cè)壁夾角的一半。

為簡化網(wǎng)片在構(gòu)件內(nèi)部網(wǎng)層的構(gòu)型及結(jié)構(gòu)關(guān)系，特提出以下兩點(diǎn)假設(shè)：

假設(shè)1編織-嵌槽型金屬橡膠的內(nèi)徑和外徑在數(shù)值上均遠(yuǎn)大于金屬絲網(wǎng)片的厚度，故不考慮卷纏后同層相鄰金屬絲網(wǎng)卷纏半徑的變化，即認(rèn)為整個構(gòu)件是由若干層環(huán)形溝槽結(jié)構(gòu)嵌套而成。

假設(shè)2網(wǎng)層沿構(gòu)件的徑向均勻分布。

制備毛坯過程中，波形網(wǎng)片通過卷纏形成了很多螺旋結(jié)構(gòu)(設(shè)螺旋角為α)，在卷纏過程中需要保證相鄰網(wǎng)片層間的三角形溝槽相互嵌合。波形網(wǎng)片的成型斷面N-N′經(jīng)過卷纏轉(zhuǎn)化為了螺旋曲面K-K′(該曲面的螺旋角與角互余)。結(jié)合假設(shè)1、假設(shè)2以及圖4(b)進(jìn)行考慮，可知截面K-K′的局部結(jié)構(gòu)，如圖5(b)所示。為明確螺旋結(jié)構(gòu)的幾何結(jié)構(gòu)關(guān)系，繪制螺旋結(jié)構(gòu)螺旋線的展開示意圖，如圖6所示。

圖5 編織-嵌槽結(jié)構(gòu)Fig.5 The knitted-dapped structure

圖6 螺旋線展開示意圖Fig.6 Diagram for unwrapped cylindrical spiral

由圖5(b)知，螺旋結(jié)構(gòu)可視作由兩部分構(gòu)成——嵌槽部分和疊層部分，其中嵌槽部分由極少的金屬絲構(gòu)成(故在之后的計(jì)算中對此部分忽略不計(jì))，疊層部分由若干層距離相等的網(wǎng)片構(gòu)成。結(jié)合圖5(b)及圓柱螺旋彈簧理論[15]，易知有如下幾何關(guān)系成立

n1Lsinβcosα=H

(6)

式中：n1為截面上單層網(wǎng)片所包含的三角形溝槽側(cè)壁的數(shù)目；L為三角形溝槽側(cè)壁的長度；β為截面上三角形溝槽側(cè)壁夾角的一半；H為構(gòu)件的高度(或厚度)。類比于文獻(xiàn)[15]對圓柱螺旋彈簧的分析，有關(guān)系式sinα=H/L′成立，L′為冷彎后網(wǎng)片上溝槽的長度，如圖6所示?？蓪D5(b)中的β角表示為

(7)

2 線圈的等效剛度

構(gòu)件內(nèi)的每個線圈均可以看作由若干段懸臂梁(圈柱結(jié)構(gòu))及若干段懸臂曲梁(圓弧結(jié)構(gòu))在接觸點(diǎn)處相連而成，同一線圈上的懸臂梁及懸臂曲梁呈并聯(lián)關(guān)系。另外，所有線圈與構(gòu)件徑向截面的夾角均相等，設(shè)為γ。考慮到構(gòu)件內(nèi)部結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，分析中不考慮懸臂梁上摩擦力的影響，僅考慮懸臂梁及懸臂曲梁的彈性力。

2.1 懸臂梁

對懸臂梁進(jìn)行受力分析，如圖7所示。 設(shè)懸臂梁的長度為L1， 根據(jù)卡氏定理[16]， 懸臂梁在網(wǎng)片平面法向n的變形量Δn1為

(8)

(9)

圖7 懸臂梁受力分析圖Fig.7 Force analysis diagram for cantilever beam

懸臂梁軸向的等效剛度kz1為

(10)

2.2 懸臂曲梁

對懸臂曲梁進(jìn)行受力分析，如圖8所示。參照“2.1”中的方法對懸臂曲梁的軸向等效剛度進(jìn)行求解。懸臂曲梁所在圓的直徑為D′=D+ds， 設(shè)其圓弧角為θ(顯然0<θ<π/2)。 采用卡氏定理， 可求得懸臂曲梁在網(wǎng)片平面法向n的變形量Δn2為

(11)

(12)

下面對角γ進(jìn)行分析并求解。由于線圈的尺寸遠(yuǎn)小于構(gòu)件的外形幾何參數(shù)，因此可將組成同一線圈的懸臂梁視作處在同一平面上，將該平面稱為線圈平面，線圈平面與徑向截面的夾角即為γ。結(jié)合構(gòu)件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可將問題進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化(見圖9)：任取一線圈平面M，其與距離線圈最近的外部螺旋線的交點(diǎn)為o，在o點(diǎn)處作螺旋線的垂直平面A，平面A與M交于直線l1，平面M上的直線l2與l1垂直于o點(diǎn)，建立坐標(biāo)系oxyz，坐標(biāo)系以o為原點(diǎn)，分別以l1，l2及平面M的法線作為x軸、y軸和z軸。將平面M繞x軸旋轉(zhuǎn)β角，得到平面M′，此時y軸、z軸分別旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)′軸、z′軸位置； 再將平面M′繞y′軸旋轉(zhuǎn)α角， 得到平面M″， 此時x軸、z′軸分別旋轉(zhuǎn)到x″軸、z″軸位置。此時，平面M″即為徑向截面，而平面M″與M的夾角即為γ。

圖8 懸臂曲梁的受力分析圖Fig.8 Force analysis diagram for cantilever curved beam

圖9 平面旋轉(zhuǎn)示意圖Fig.9 Diagram for rotation planes

從平面M到平面M″的變換矩陣C為

(13)

(14)

整理后可以得到

(15)

進(jìn)而可求得

(16)

3 壓縮變形分析及各階段剛度模型的建立

3.1 壓縮變形歷程的劃分

圖10(a)、圖10(b)分別是典型的編織-嵌槽型金屬橡膠的載荷-變形曲線及其對應(yīng)的剛度-變形曲線。結(jié)合兩條曲線的走勢情況可知，編織-嵌槽型金屬橡膠的壓縮變形歷程可以分為三個階段：線性階段(圖中對應(yīng)A段，剛度近似恒定)、非線性階段(圖中對應(yīng)B段，剛度的增長呈線性，增長的速度較為緩慢)以及高次非線性階段(圖中對應(yīng)C段，剛度的增長呈非線性，增長速度較為迅速)。

圖10 編織-嵌槽金屬橡膠的力學(xué)特性曲線Fig.10 Mechanical characteristic curves of knitted-dapped metal rubber

3.2 本構(gòu)模型的建立

(17)

式中：N0為構(gòu)件中包含線圈的數(shù)目；m為構(gòu)件的質(zhì)量。對于確定的構(gòu)件，系統(tǒng)中線圈的串并聯(lián)關(guān)系是確定的，因此構(gòu)件壓縮變形過程中出現(xiàn)的剛度變化源于線圈剛度變化?？赡軐€圈整體剛度產(chǎn)生影響的因素主要有兩個：①線圈平面與徑向截面的夾角； ②線圈上接觸點(diǎn)的分布情況。

圖11 等效串并聯(lián)系統(tǒng)示意圖Fig.11 Diagram for equivalent series-parallel system

設(shè)構(gòu)件的變形量為x， 構(gòu)件在各個壓縮變形時期的變形量的取值范圍分別為0

(18)

以下結(jié)合圖5(b)中的簡化結(jié)構(gòu)及圖10中的曲線對構(gòu)件的壓縮變形機(jī)理進(jìn)行分析，并建立相應(yīng)的本構(gòu)模型。

3.2.1 壓縮變形初期

壓縮變形初期(見圖7(a)、圖7(b)中對應(yīng)A段)，隨著構(gòu)件變形量x的逐漸增大，構(gòu)件螺旋結(jié)構(gòu)的螺距及螺旋角逐漸減小，內(nèi)部網(wǎng)片之間并未發(fā)生接觸。由此可知，該階段線圈上接觸點(diǎn)的分布情況不變(不考慮線圈間的相對滑移，故組成線圈的懸臂梁及懸臂曲梁的數(shù)目與幾何尺寸均不變)， 僅夾角γ發(fā)生變化。

(19)

式中： 系數(shù)分別為

綜上所述，作為編織-嵌槽型金屬橡膠承受壓縮載荷初期的本構(gòu)模型，式(19)可反映金屬絲彈性模量E、 金屬絲絲徑ds、 橫列方向上線圈的數(shù)目na、 構(gòu)件質(zhì)量m等基本工藝參數(shù)的影響。

根據(jù)圖10(b)中剛度曲線A段的變化趨勢可知，構(gòu)件在該階段的剛度很小。另外，式(19)在變形量x為橫坐標(biāo)、 以剛度K為縱坐標(biāo)的平面坐標(biāo)系中處在以x=H0為對稱軸并且開口向下的拋物線的左半段上，如圖12所示。剛度-變形曲線的斜率隨變形量的增大而減小。式(19)所表征的A段處在剛度-變形曲線的最左側(cè)，其斜率變化幾乎為0，故可得出結(jié)論： 夾角γ的變化對線圈軸向剛度的影響極小，可以認(rèn)為壓縮變形過程中構(gòu)件軸向剛度變化的唯一原因是線圈上接觸點(diǎn)的增加。

圖12 拋物線Fig.12 Para-curve

3.2.2 壓縮變形中期

壓縮變形中期(見圖10(a)、圖10(b)中B段)，螺旋結(jié)構(gòu)之間的空隙逐漸消失，由于金屬橡膠內(nèi)部的接觸形成過程開始于元件的最小密度區(qū)，且隨著載荷的增大逐漸擴(kuò)展到大密度區(qū)，因此新的接觸點(diǎn)將首先出現(xiàn)在嵌槽部分，并且認(rèn)為該變形階段疊層部分線圈間還未產(chǎn)生新的接觸。當(dāng)溝槽部分兩側(cè)關(guān)于面M′對稱的線圈的軸向間距減小到4ds時(金屬絲網(wǎng)套的等效厚度約為4ds)，線圈間將產(chǎn)生接觸，如圖13(b)所示，且隨著變形量的增大發(fā)生接觸的線圈逐漸增多。開始有線圈發(fā)生接觸時構(gòu)件的變形量為x1。

圖13 壓縮變形中期的K-K′截面Fig.13 K-K′ sections in the mid-period of compression deformation

(20)

(21)

3.2.3 壓縮變形后期

進(jìn)入壓縮變形后期(見圖10(a)、圖10(b)中C段)時，螺旋結(jié)構(gòu)內(nèi)部的金屬絲網(wǎng)之間也開始發(fā)生接觸，并且發(fā)生接觸的線圈隨變形量的增大迅速增加，構(gòu)件的整體剛度也隨之迅速增大，直到構(gòu)件內(nèi)部所有網(wǎng)片之間充分接觸。在構(gòu)件內(nèi)部網(wǎng)片均發(fā)生充分接觸時，構(gòu)件K-K′截面結(jié)構(gòu)可近似簡化為網(wǎng)層重疊的結(jié)構(gòu)(不考慮網(wǎng)層上少量的彎折情況)，如圖14所示。

圖14 壓縮變形后期的K-K′截面Fig.14 K-K′section in the late period of compression deformation

由于在這一階段中螺旋結(jié)構(gòu)內(nèi)部的網(wǎng)片也開始發(fā)生接觸，故該階段疊層部分網(wǎng)片間的孔隙極小，網(wǎng)片的變形空間極小，因此忽略壓縮變形后期構(gòu)件內(nèi)部復(fù)雜

的變化過程，認(rèn)為線圈在發(fā)生接觸后其所處線圈平面與徑向截面的夾角迅速轉(zhuǎn)化為α。

同變形量為x2時的構(gòu)件軸向剛度相比，變形階段后期構(gòu)件的軸向剛度的增量可分為兩部分：一部分是螺旋結(jié)構(gòu)外部線圈接觸情況的變化引起的剛度增加，這一類線圈記為A類線圈；另一部分是螺旋結(jié)構(gòu)內(nèi)部網(wǎng)片之間發(fā)生接觸，網(wǎng)片上線圈的接觸情況發(fā)生變化進(jìn)而引起的剛度增量，這一類線圈記為B類線圈。

u2(x)=ψ[u1(x)-u1(x2)]

(22)

式中：ψ為構(gòu)件最外側(cè)及最內(nèi)側(cè)的面積和與制備構(gòu)件所使用的網(wǎng)片表面積和的比值，表示為

(23)

式中：D1，D2分別為環(huán)形構(gòu)件的外徑和內(nèi)徑。

綜合以上分析，可將壓縮變形后期構(gòu)件的軸向總剛度Kz3表示為

(24)

令

(25)

結(jié)合式(25)，可將式(24)整理為

(26)

對于邊界值x2， 可由式Kz3(x2)=0， 并結(jié)合x2>x1求得。

結(jié)合式(19)、式(21)、式(26)，可得到壓縮載荷Fz的表達(dá)式

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 試驗(yàn)設(shè)備及試件

試驗(yàn)設(shè)備選用濟(jì)南天辰WDW-T200型電子萬能試驗(yàn)機(jī)。該試驗(yàn)機(jī)適用于金屬、非金屬材料的拉伸、壓縮及彎曲等力學(xué)特性試驗(yàn)，位移分辨率為0.001 mm，最大試驗(yàn)力為200 kN。

制備編織-嵌槽型金屬橡膠試件選用的是由牌號為0Gr18Ni9Ti的奧氏體不銹鋼絲編織而成的金屬絲網(wǎng)套，絲徑ds=0.15 mm， 彈性模量E=210 GPa， 絲材密度ρs=7.9 g/cm3， 金屬絲網(wǎng)套橫列方向線圈的數(shù)目na=34， 冷彎后金屬絲網(wǎng)套的結(jié)構(gòu)參數(shù)為L=6 mm，L′=54 mm，n1=5。 用于驗(yàn)證的1號及2號試件外形尺寸一致： 高度H0=22 mm， 外徑D1=36 mm， 內(nèi)徑D2=12 mm， 試件的密度依次為0.251 g/cm3， 3.76 g/cm3(試件質(zhì)量依次為5 g，7.5 g)。

4.2 試驗(yàn)驗(yàn)證

試驗(yàn)采用等速位移控制對兩組試件進(jìn)行加載，加載速度為2 mm/min，最大變形量設(shè)定為15 mm。

將試件的工藝參數(shù)代入式(19)、式(21)、式(26)、式(27)，結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到本構(gòu)方程。圖15、圖16給出了本文模型的理論預(yù)測結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的比較。對圖15、圖16分析可知，理論結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果基本吻合，說明該理論模型能夠很好地模擬編織-嵌槽型金屬橡膠的剛度-變形曲線及載荷-變形曲線。

圖15 1號試件模型預(yù)測與試驗(yàn)結(jié)果對比Fig.15 Comparisons of model predictions and test results for specimen NO.1

圖16 2號試件模型預(yù)測與試驗(yàn)結(jié)果對比Fig.16 Comparisons of model predictions and test results for specimen NO.2

5 結(jié) 論

(1) 將編織-嵌槽型金屬橡膠等效成了一種由線圈以串并聯(lián)方式連接而成的組合系統(tǒng)，結(jié)合材料的壓縮變形特點(diǎn)建立了細(xì)觀本構(gòu)模型，揭示了材料的變形機(jī)理。

(2) 推導(dǎo)了以變形量為自變量的剛度方程及載荷方程，方程中包含了材料的基本工藝參數(shù)(ds，E，m等)，對材料的工藝設(shè)計(jì)具有一定的指導(dǎo)意義。

(3) 理論模型能夠較好地分析解釋試驗(yàn)結(jié)果，能夠較為準(zhǔn)確地描述編織-嵌槽型金屬橡膠在整個壓縮變形過程中的力學(xué)特性。

參 考 文 獻(xiàn)

[ 1 ] 切戈達(dá)耶夫.金屬橡膠構(gòu)件的設(shè)計(jì)[M]. 李中郢，譯. 北京:國防工業(yè)出版社,2000.

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