劉震雄， 竺曉程， 杜朝輝

(上海交通大學 機械與動力工程學院， 工程熱物理研究所， 上海 200240)

符號說明：

p——壓力，Pa

T——總溫，K

λ——特征值

f——轉(zhuǎn)子通過頻率,Hz

t——轉(zhuǎn)動周期，s

跨聲速軸流式壓氣機轉(zhuǎn)子的葉頂間隙流動對壓氣機的穩(wěn)定性和性能具有重要的影響，葉頂間隙流動復雜，是壓氣機研究設(shè)計中最為棘手的問題之一。自從Rains[1]首次針對葉頂間隙流動開展研究以來，國內(nèi)外許多學者通過葉頂間隙流動相關(guān)理論與先進的實驗手段得到了葉頂間隙流動的基本結(jié)構(gòu)和流動特征。研究表明，葉頂區(qū)域的流動損失占據(jù)葉片總流動損失的30%以上，并且會誘發(fā)旋轉(zhuǎn)失速的產(chǎn)生。

Adamczyk等[2]對跨聲速壓氣機轉(zhuǎn)子NASA 67葉頂區(qū)域流場進行數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)隨著流量的減小，葉頂間隙泄漏渦的運行軌跡在沿轉(zhuǎn)子軸向方向上向周向偏轉(zhuǎn)，激波和泄漏渦造成的堵塞區(qū)也向前移動，最終導致數(shù)值計算發(fā)散。Schlechtriem等[3]研究了跨聲速壓氣機近失速狀態(tài)下由激波導致的葉頂間隙泄漏渦的破碎現(xiàn)象，破碎的葉頂間隙泄漏渦會覆蓋流場中大部分區(qū)域，引起堵塞急劇增加，從而導致失速。Vo[4]通過研究整個壓氣機內(nèi)部流動失穩(wěn)中葉頂間隙泄漏流流動以及流場的非定常發(fā)展規(guī)律，提出了判斷軸流壓氣機出現(xiàn)突尖型失速先兆誘發(fā)失速的準則。

韓少冰等[5]通過實驗研究了葉頂間隙泄漏流與壓氣機葉柵三維角區(qū)分離的相互作用，結(jié)果表明隨著葉頂間隙尺寸及葉柵內(nèi)氣流折轉(zhuǎn)程度的增加，葉頂間隙泄漏渦與上通道渦間的相互作用逐漸增強。劉寶杰等[6-7]利用實驗技術(shù)重現(xiàn)了葉片通道內(nèi)葉頂間隙泄漏流的演化過程。

本征正交分解(POD)方法早在1967年首次在流場分析中被采用[8]，是模態(tài)分解方法中的一種形式，其基本思想是根據(jù)已有樣本數(shù)據(jù)計算得到一組最能夠代表這組數(shù)據(jù)的正交基函數(shù)，在構(gòu)造這組基函數(shù)時使得樣本數(shù)據(jù)在正交基上的投影分量按次序依次迅速衰減[9]，可將高維數(shù)據(jù)降階投影到低維空間，從而獲得數(shù)據(jù)的物理特征。目前，POD方法已用于研究翼型的反設(shè)計[10]、流動結(jié)構(gòu)分析[11]、跨聲速翼型的抖振分析[12]及圓柱不穩(wěn)定線性動力學問題的建模過程[13]等，但用于分析壓氣機葉頂間隙流場結(jié)構(gòu)特性的研究還沒有。

綜上所述，雖然目前國內(nèi)外學者對跨聲速壓氣機轉(zhuǎn)子葉頂區(qū)域的流動研究很多，但對其產(chǎn)生的非定常特性還沒有統(tǒng)一的認識，而且不同類型壓氣機的葉頂區(qū)域流場的非定常特性具有不同的表現(xiàn)形式。筆者采用數(shù)值模擬的方法研究跨聲速壓氣機轉(zhuǎn)子葉頂區(qū)域流場的非定常特性及其發(fā)展規(guī)律，采用POD方法提取葉頂區(qū)域流場結(jié)果的POD模態(tài)，尋找引起葉頂間隙流場非定常波動的主導模態(tài)，并揭示影響跨聲速壓氣機轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性的因素，以提高壓氣機的工作裕度和性能。

1 研究對象

研究對象為NASA的Rotor35孤立轉(zhuǎn)子[14]，轉(zhuǎn)子數(shù)為36，展現(xiàn)比和輪轂比分別為1.19和0.7，設(shè)計葉頂轉(zhuǎn)速為454 m/s，設(shè)計壓比和質(zhì)量流量分別為1.865和20.18 kg/s，設(shè)計轉(zhuǎn)速為17 188 r/min。圖1為該轉(zhuǎn)子子午面流道示意圖。

圖1 Rotor35子午面流道示意圖

為減少在計算區(qū)域進、出口邊界處的數(shù)值反射對轉(zhuǎn)子葉片前緣流場以及后緣流場的不良影響，在建立計算區(qū)域時將前后計算區(qū)域分別延長2倍左右葉片軸向弦長的長度。

2 數(shù)值模擬方法

采用CFX 15.0商用軟件進行數(shù)值模擬，結(jié)合k-ε湍流模型求解相對坐標系下的三維雷諾時均N-S方程，對單流道進行定常和非定常計算。為準確模擬轉(zhuǎn)子葉頂區(qū)域的流場特性，空間離散格式采用高分辨率格式，非定常計算采用隱式雙時間步方法，在葉片轉(zhuǎn)動一個柵距的時間內(nèi)設(shè)定20個物理時間步，每一個物理時間步下的虛擬時間步為10步。

Rotor35為跨音速壓氣機轉(zhuǎn)子，葉片的葉型彎扭程度很大，需要對其網(wǎng)格進行較好地劃分以保證計算精度。計算區(qū)域的網(wǎng)格劃分采用CFX軟件的TURBOGRID，如圖2所示。在流道進、出口段計算區(qū)域采用H型網(wǎng)格，在葉片區(qū)域采用J型網(wǎng)格進行拓撲，近葉片表面的區(qū)域采用O型網(wǎng)格圍繞控制，在轉(zhuǎn)子的葉頂間隙處沿徑向均勻布置17個網(wǎng)格節(jié)點。整個計算區(qū)域網(wǎng)格的正交性大于20°，所有邊界層高度小于3×10-5m。

(a) 轉(zhuǎn)子單流道網(wǎng)格

(b) 轉(zhuǎn)子葉根處網(wǎng)格

(c) 葉頂間隙網(wǎng)格

數(shù)值計算中進口給定總溫為288 K，總壓為101 325 Pa，采用軸向進氣，機匣和輪轂壁面都定義為靜止，壁面采用絕熱無滑移邊界。非定常計算以定常計算收斂結(jié)果為初場，通過調(diào)節(jié)出口壓力得到不同工況下的非定常流場，當非定常計算中性能參數(shù)呈現(xiàn)出周期性波動即認為數(shù)值計算已收斂。

為驗證數(shù)值模擬的準確性，計算了Rotor35在100%設(shè)計轉(zhuǎn)速下的總性能特性，其總性能特性曲線與試驗測量結(jié)果的對比見圖3，其中的質(zhì)量流量以堵塞點質(zhì)量流量為基準進行了無量綱化，NPE代表近峰值效率點，NS代表近失速點。從圖3可以看出，在整個質(zhì)量流量范圍內(nèi)，數(shù)值模擬所得總性能特性曲線與試驗測量結(jié)果的變化趨勢一致。

(a) 總壓比

(b) 絕熱效率

Fig.3 Comparison of compressor performance between calculation results and actual measurements

為了進一步驗證數(shù)值計算的可靠性，選取定常計算中的近峰值效率點，比較了計算和試驗得到的總壓比和總溫比沿葉高方向的分布，如圖4所示。從圖4(a)可以看出，沿葉高方向，兩者的總壓比變化趨勢基本一致，在數(shù)值上略微有所差別。在圖4(b)中，兩者的總溫比吻合較好。

(a) 總壓比

(b) 總溫比

Fig.4 Span-wise distribution of total pressure ratio and total temperature ratio under NPE condition

通過數(shù)值計算結(jié)果與試驗測量結(jié)果的對比分析，數(shù)值模擬方法能很好地預測壓氣機轉(zhuǎn)子總性能特性以及流場細節(jié)。因此，可以采用該計算方法研究跨聲速壓氣機轉(zhuǎn)子葉頂區(qū)域的流動特性。

3 葉頂區(qū)域流場的非定常分析

3.1 葉頂間隙泄漏流的頻譜特征

圖5為近失速點工況下99%葉高處葉頂間隙泄漏流某時刻的熵分布云圖。從圖5可以看出，在葉柵通道內(nèi)熵值變化劇烈，熵增明顯，并且向葉片前緣逐漸增大，在葉頂間隙泄漏渦處達到最大值，表明隨著質(zhì)量流量的減少葉頂間隙泄漏渦與激波的干涉強度增大，并且干涉區(qū)域向上游移動。從圖5還可以看出，在近失速點工況下，主流與轉(zhuǎn)子葉頂間隙泄漏流之間形成了熵增交界面,并向轉(zhuǎn)子前緣移動且與轉(zhuǎn)子葉頂前緣平面平行，對主流的流動產(chǎn)生了阻礙作用。

圖5 近失速點工況下99%葉高處某時刻的熵分布云圖

轉(zhuǎn)子葉片流動波動區(qū)域主要集中在葉高80%以上的區(qū)域，為分析葉頂區(qū)域波動的非定常特性，在轉(zhuǎn)子葉頂區(qū)域布置一系列監(jiān)測點，在壓力面99%葉高位置沿弦向布置12個監(jiān)測點，沿葉頂間隙泄漏渦軌跡附近布置8個監(jiān)測點，具體位置如圖6所示，壓力面附近的監(jiān)測點為Ps1～Ps12，葉頂間隙泄漏渦附近的監(jiān)測點為Tp1～Tp8，記錄下各監(jiān)測點靜壓時域信號并進行頻譜分析，獲得葉頂區(qū)域流場的非定常頻率。

圖7為近峰值效率點工況下，葉頂區(qū)域部分監(jiān)測點的靜壓時域信號。由圖7可知,在整個非定常計算過程中，靜壓時域信號不隨時間呈現(xiàn)出波動特性，在計算收斂后一直保持恒定，葉頂區(qū)域流場處于穩(wěn)定狀態(tài)。

圖6 葉柵通道壓力監(jiān)測點位置示意圖

圖7 近峰值效率點工況下葉頂區(qū)域監(jiān)測點的靜壓時域信號

圖8給出了近失速點工況下葉頂區(qū)域壓力面Ps1點處的靜壓時域信號以及Ps1～Ps12點處靜壓時域信號的快速傅里葉變換(FFT)分析。從圖8可以看出，監(jiān)測點的靜壓隨時間表現(xiàn)出很強的周期性波動特性。葉頂區(qū)域壓力面監(jiān)測點的非定常頻率約為0.56倍轉(zhuǎn)子通過頻率，該波動頻率并非轉(zhuǎn)子葉片固有的轉(zhuǎn)子通過頻率，而是葉頂間隙泄漏流的非定常頻率，振幅在葉片前緣位置最大，在葉片弦向其他位置處相對較小。

(a) 葉頂區(qū)域壓力面Ps1點的靜壓時域信號

(b) 葉片壓力面Ps1～Ps12點的頻譜分析

Fig.8 Static pressure signal of pointPs1and FFT results of pointsPs1toPs12in tip region on pressure surface under NS conditon

圖9給出了近失速點工況下葉頂間隙泄漏渦軌跡附近Tp3點的靜壓時域信號以及Tp1～Tp8點處靜壓時域信號的FFT分析。從圖9可以看出，監(jiān)測點的靜壓隨時間同樣呈現(xiàn)出很強的周期性波動特性，葉頂間隙泄漏渦軌跡附近各監(jiān)測點靜壓時域信號的非定常頻率同樣為 0.56倍轉(zhuǎn)子通過頻率。

(a) 葉頂間隙泄漏渦附近Tp3點的靜壓時域信號

(b) 葉頂間隙泄漏渦附近Tp1～Tp8點的頻譜分析

圖9 近失速點工況下葉頂間隙泄漏渦軌跡附近Tp3點靜壓時域信號和Tp1～Tp8點的頻譜分析

Fig.9 Static pressure signal ofTp3and FFT results of pointsTp1toTp8in tip leakage vortex under NS condition

3.2 葉頂區(qū)域流場的非定常特性

為深入了解葉頂區(qū)域的非定常特性，圖10和圖11分別給出了一個波動周期t內(nèi)葉頂區(qū)域的瞬態(tài)流場及負軸向速度云圖。由圖10可以看出，葉頂間隙泄漏流主要由2部分組成，一部分為葉頂間隙泄漏渦，在定常計算中，葉頂間隙泄漏渦在激波后出現(xiàn)破碎，在非定常計算中，可以觀察到葉頂間隙破碎的泄漏渦隨時間在不斷變化；此外在葉頂區(qū)域還存在另外一個明顯的漩渦運動過程，如葉頂間隙泄漏流流線圖中的黑色圓圈所示區(qū)域，稱為葉頂二次渦。在 1/6t時刻葉頂間隙泄漏渦經(jīng)過激波后發(fā)生破碎，并與葉頂二次渦緊靠在一起沒有發(fā)生分離，兩者在一起發(fā)生翻轉(zhuǎn)。在2/6t時刻葉頂二次渦與葉頂間隙泄漏渦即將完全分離，二次渦緊靠轉(zhuǎn)子葉片壓力面并有少量流體繞過葉片前緣。在3/6t時刻葉頂二次渦緊貼葉片壓力面向后發(fā)展，在4/6t時刻葉頂二次渦繼續(xù)沿壓力面向葉片下游移動。在5/6t時刻葉頂二次渦強度明顯減弱，但在葉片前緣流道中葉頂間隙泄漏渦旁又有一個新的葉頂二次渦開始形成。在7/6t時刻葉頂間隙泄漏渦與葉頂二次渦在壓力面?zhèn)认嗷プ饔?，回?/6t開始時刻的流場，完成一個周期波動。在5/6t時刻可以看出,葉頂二次渦發(fā)生的位置緊靠葉頂間隙泄漏渦遇到激波后的破碎點，并隨之往下游運動。從該渦的流線可以看出，葉頂二次渦并不僅僅是葉頂間隙泄漏渦的衍生渦，而是由激波與葉頂間隙泄漏渦形成的破碎、通道中部未形成泄漏渦的相鄰葉片泄漏流流線以及來流一起形成的，是葉頂區(qū)域非定常周期性波動形成的必要條件。

(a) 1/6t(b) 2/6t(c) 3/6t(d) 4/6t(e) 5/6t(f) 7/6t

圖10 葉頂區(qū)域的流線圖

Fig.10 Flow field in tip region

(a) 1/6t(b) 2/6t(c) 3/6t(d) 4/6t(e) 5/6t(f) 7/6t

圖11 葉頂區(qū)域負軸向速度云圖

Fig.11 Negative axial velocity in tip region

圖11顯示葉柵通道中部激波后始終存在一個低速反流區(qū)。在1/6t時刻可以看到在葉頂間隙泄漏渦中形成分離渦，在葉頂前緣出現(xiàn)一個低速反流區(qū)。在2/6t時刻分離渦脫離葉頂間隙泄漏渦并向葉片壓力面移動，并且有少量流體繞過葉片前緣進入下一流道。在3/6t時刻葉頂間隙泄漏渦反流的區(qū)域延伸出一道狹長區(qū)域至前緣，此時葉頂間隙泄漏渦的強度最大，分離渦沿壓力面向下游移動，反流區(qū)域徹底脫離。在4/6t時刻脫離的分離渦沿葉片壓力面繼續(xù)向下游移動，在5/6t時刻分離渦強度逐步減弱，并且觀察到在葉頂間隙泄漏渦心破碎處又有新的二次渦線開始產(chǎn)生?；氐?/6t時刻，重新開始一個新的波動周期。從葉頂負軸向速度云圖中可以看到葉頂二次渦為相對封閉的分離渦，因此在速度反流云圖中可以看出其比葉頂間隙泄漏渦弱，且受葉頂間隙泄漏渦的影響很大。

4 葉頂區(qū)域流場的POD分析

4.1 POD方法

采用快照POD方法進一步分析葉頂區(qū)域的非定常流動。首先假定有一組隨時間變化的參數(shù)，并將每個時刻的參數(shù)信息稱為一個快照?？煺誔OD方法的第一步是將上述N個時刻即快照的參數(shù)波動部分均寫入一個矩陣：

(1)

式中：u由空間位置上所需關(guān)注的參數(shù)(速度、靜壓等)組成；M為該組參數(shù)的元素個數(shù)。

要計算POD模態(tài)，首先應計算相關(guān)矩陣C：

C=UTU

(2)

由于矩陣C為自協(xié)方差矩陣，因此具有非負特征值，求解特征值問題可以表示為：

CA=λA

(3)

求解上述特征值后將特征值從大到小進行排列，即λ1≥λ2≥λ3≥λ4>…>0，相應的特征向量也隨之排序。

利用排列好順序的特征向量可以得到POD的各階模態(tài)：

(4)

式(4)中分母所用的范數(shù)可以定義為：

(5)

至此每個快照的參數(shù)均可由POD各階模態(tài)的線性組合來表示，而各階模態(tài)的系數(shù)被稱為POD系數(shù)，各個快照的POD系數(shù)可以通過下式得到：

an=ΨTun

(6)

其中，Ψ=φ1φ2…φN。而每個快照參數(shù)又可以采用POD模態(tài)重構(gòu)得到：

(7)

采用POD方法分解流場信息數(shù)據(jù)，一般用前幾階的模態(tài)就可以表示出流場的主要結(jié)構(gòu)，并可以近似重構(gòu)流場信息。這樣在分析流場信息時就可以從原來分析各個時刻的流場數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)為研究POD前幾階模態(tài)所顯示的流場數(shù)據(jù)，可大量減少分析數(shù)據(jù)的工作量，提高效率。

4.2 葉頂區(qū)域流場的POD分析

為提取壓氣機轉(zhuǎn)子葉頂區(qū)域流場參數(shù)分布的POD模態(tài)，基于以上單流道轉(zhuǎn)子流場的非定常計算結(jié)果，共選取了100個近失速點工況下99%葉高處的瞬時流場結(jié)果作為POD的快照，相應的取樣時間長度為壓氣機轉(zhuǎn)子非定常波動周期的3倍左右，由于給出了100個瞬時流場的計算結(jié)果，故有100個模態(tài)和對應的特征值。為便于觀察、提高效率，取由大到小排列的特征值中前30階特征值的衰減曲線(見圖12)，POD特征值大小即相應POD模態(tài)能量占系統(tǒng)總能量的多少。從圖12可以看出，第一階模態(tài)的能量遠高于其他模態(tài)的能量，隨著模態(tài)階數(shù)的上升，模態(tài)的能量衰減十分迅速，前幾階模態(tài)能量之和占據(jù)了流場總能量的大部分，表明前幾階模態(tài)對流場結(jié)構(gòu)起到主要作用，即前幾階POD模態(tài)包含了非定常流場的主要流動信息。因此分析前幾階模態(tài)所包含的流動信息，有助于進一步認識壓氣機轉(zhuǎn)子葉頂區(qū)域非定常流場的主要流動特征。

圖12 POD模態(tài)的特征值

圖13給出了能量最大的前四階POD模態(tài)所描述的靜壓云圖。由于各階模態(tài)的范數(shù)不同，為了更好地對比不同階模態(tài)的流場信息，對各階模態(tài)的數(shù)據(jù)針對各自極值進行了歸一化處理。

POD模態(tài)分析可以獲取流場中能量最高的流動相干結(jié)構(gòu)。圖14(a)為能量最大的第一階模態(tài)表征的壓力云圖，其擁有與時間序列壓力云圖基本一致的分布結(jié)構(gòu)。激波在葉片前緣分離形成脫體激波，激波后形成逆壓梯度，同時從葉片吸力面前緣開始形成低壓槽區(qū)域，根據(jù)渦動力原理，其對應著葉頂間隙泄漏渦軌跡，在葉片壓力面從前緣至尾緣的壓力分布相對均勻。這些流場信息表明POD的第一階模態(tài)捕捉到了葉柵通道內(nèi)的主要流場結(jié)構(gòu)。在第二階模態(tài)的壓力云圖中，葉片壓力面前緣存在明顯的低壓區(qū)域和高壓區(qū)域，以脫體激波為分界面，葉片表面上的壓力變化較大。同樣，在第三階和第四階模態(tài)的壓力云圖中，葉片表面上的壓力分布不均勻，在激波附近存在壓力間斷，特別在第四階模態(tài)壓力云圖中，在葉片壓力面前50%弦長范圍內(nèi)出現(xiàn)多個成對的低壓區(qū)域和高壓區(qū)域，壓力波動更加劇烈、頻率更高，葉片吸力面前緣開始出現(xiàn)表征葉頂間隙泄漏渦的低壓槽，第四階模態(tài)進一步細化了激波間斷區(qū)域和壓力波動，使流場信息更接近實際流場。

(a) 1/6t

(b) 2/6t

(c) 3/6t

(d) 4/6t

(e) 5/6t

(f) 7/6t

圖13 各時間序列葉頂區(qū)域流場靜壓云圖

Fig.13 Pressure contour of blade tip region at different time series

(a) 第一階模態(tài)

(b) 第二階模態(tài)

(c) 第三階模態(tài)

(d) 第四階模態(tài)

POD前四階模態(tài)的模態(tài)系數(shù)隨時間的變化如圖15所示。從圖15可以看出，第一階模態(tài)的模態(tài)系數(shù)最大，波動幅度也最大，與其他模態(tài)的模態(tài)系數(shù)相比占有絕對的主導地位。隨著模態(tài)階數(shù)的提高，模態(tài)系數(shù)的振幅減小，且第四階模態(tài)的模態(tài)波動頻率升高。對模態(tài)系數(shù)波動進行FFT頻譜分析，發(fā)現(xiàn)前三階模態(tài)的模態(tài)系數(shù)頻譜分析結(jié)果均為6 382 Hz，約為0.61倍轉(zhuǎn)子通過頻率，與非定常計算中葉頂區(qū)域流場監(jiān)測點的波動頻率大致相同。第一階、第二階與第三階模態(tài)波動波峰之間各相差約90°的相位，這主要由POD模態(tài)分解的正交性決定。

圖15 模態(tài)系數(shù)隨時間的變化

5 結(jié) 論

(1) 在大質(zhì)量流量工況下，轉(zhuǎn)子葉頂區(qū)域流場穩(wěn)定，監(jiān)測點參數(shù)不隨時間波動；在近失速點的小質(zhì)量流量工況下，葉頂區(qū)域流場呈現(xiàn)周期性的波動特性，監(jiān)測點的非定常頻率約為0.56倍轉(zhuǎn)子通過頻率。由激波與葉頂間隙泄漏渦形成的破碎、通道中部未形成泄漏渦的相鄰葉片泄漏流流線以及來流一起形成的葉頂二次渦是葉頂非定常周期性波動形成的必要條件。

(2) 根據(jù)POD模態(tài)分析，最大能量的第一階模態(tài)捕捉到了葉柵通道內(nèi)的主要流場結(jié)構(gòu)，更高階的模態(tài)進一步細化了流場中的激波間斷區(qū)域和壓力波動。模態(tài)系數(shù)的頻譜分析表明，前三階模態(tài)的波動頻率與葉頂區(qū)域流場的非定常頻率基本相同，是主導非定常周期性波動現(xiàn)象的主要模態(tài)，且前三階模態(tài)的波動波峰之間各相差約90°的相位。

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