錢立凱

（曲靖師范學(xué)院 教師教育學(xué)院，云南 曲靖 655011）

方程

是一類重要的 Diophantine方程，其公解問題一直受到數(shù)論研究者的關(guān)注。

關(guān)于m=1，n=1時(shí)，方程組(1)的解的情況，目前結(jié)論還比較少[1-5]。m=1，n=4時(shí)，方程組(1)的解已有結(jié)果[6-12]；m=1，n=16時(shí)方程組(1)成為：

的解的情況，目前無相關(guān)結(jié)果。本文主要討論

時(shí)方程組(2)的解的情況，即方程組

解的情況。

1 關(guān)鍵性引理

引理1[13]設(shè)p是一奇素?cái)?shù)，則丟番圖方程

的正整數(shù)解只有

引理2設(shè)( xn, yn)，n∈Z為Pell方程

的所有解，則對(duì)任意的xn，yn具有如下性質(zhì)：xn為平方數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)n=0。

證明設(shè)( xn, yn)(n∈Z)是 Pell方程

的整數(shù)解。若 xn= a2，代入方程

可得

又由引理1知，方程

此時(shí) xn=1，從而n=0；反之顯然。

2 定理及證明

定理若n ∈ Z+，則Diophantine方程

情形1n為偶數(shù)

設(shè)n=2k，k ∈ Z+，則由方程(5)可得

由此可得，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，方程組(3)只有公解

兩兩互素。由引理2知，xk-1為平方數(shù)僅當(dāng)k=1，故k≠1時(shí)，xk-1不為平方數(shù)。又由(II)知，

不為平方數(shù)的2倍，所以此時(shí)(8)式無整數(shù)解，則方程組(3)無公解。

兩兩互素。

由引理 2知，xk為平方數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)k=0，故k≠0時(shí)，xk不為平方數(shù)。又由(II)知，

不為平方數(shù)的2倍，此時(shí)(8)式無整數(shù)解，則方程組(3)無公解。

因?yàn)閚為奇數(shù)，故(12)式左邊為平方數(shù)的 2倍，(12)式右邊為平方數(shù)的奇數(shù)倍，顯然矛盾，故(6)式不成立，此時(shí)方程組(3)無公解。

綜上所述，定理得證。

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