王朝君， 崔艷艷

(周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 河南 周口 466001)

1 預(yù)備知識

單復(fù)變函數(shù)論中一些基本結(jié)論在多復(fù)變中的不成立使得人們開始討論具有特殊幾何性質(zhì)的雙全純映照，例如星形映照與凸映照[1]以及它們的子族.在單復(fù)變中要找到具體的星形映照與凸映照及其子族相對容易，而在多復(fù)變數(shù)空間中卻比較困難.1995年Roper-Suffridge算子[2]的引入使得我們可以由復(fù)平面上具有某些特殊幾何性質(zhì)的單葉全純函數(shù)構(gòu)造出多復(fù)變數(shù)空間中相應(yīng)的雙全純映照，于是許多學(xué)者結(jié)合Roper-Suffridge算子討論了星形映照與凸映照的子族或擴(kuò)充，證明了推廣的Roper-Suffridge延拓算子在不同空間不同區(qū)域上保持各類雙全純映照子族的性質(zhì)[3-8].之前的結(jié)論總是討論各類雙全純映照子族在Roper-Suffridge延拓算子下的幾何不變性，而本文卻是應(yīng)用Roper-Suffridge延拓算子通過單位圓盤上全純函數(shù)的某種幾何性質(zhì)討論n維復(fù)空間上相應(yīng)的雙全純映照的其他的幾何性質(zhì).

2014年，Liu等[9]將Roper-Suffridge算子推廣為

其中,r=sup{|z1|:z=(z1,zn…,)∈Ω,β1∈[0,1],βk∈[0,β1],k=2,…,n}，并證明了推廣后的算子在一定條件下保持β型螺形性、α次殆星形性和α次星形性.

本文在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上給出了一類新形式的Roper-Suffridge延拓算子，借助推廣后的Roper-Suffridge延拓算子討論了α次凸函數(shù)、近于凸函數(shù)與星形映照之間的關(guān)系，最后討論了算子的偏差.本文中用D表示單位圓盤，JF(z)表示F(z)在z點的Frechet導(dǎo)數(shù).

2 主要結(jié)論及其證明

r=sup{|z1|:z=(z1,…,zn)′∈Ω}，

F(z)=((f′(z1/r))β1z1,(f′(z1/r))β2z2,…,

(f′(z1/r))βnzn)′，

若0≤βk≤β1≤1，則F(z)是Ω上的星形映照.

證明由F(z)的表達(dá)式得

則

其中

i=2,…,n.

于是由引理1.1得

(1)

若令ζ=z1/r，則ζ∈D.由(1)式及引理1.2得

故F(z)是Ω上的星形映照.

于是定理得證.

定理2.3若f是D上正規(guī)化的α次凸函數(shù)，F(xiàn)(z)是定理2.1中所定義的函數(shù)，則

證明由定理2.1知

(2)

即

又由于f是D上正規(guī)化的α次凸函數(shù)，則

(1+|z1|)2(α-1)≤|f′(z1)|≤

(1-|z1|)2(α-1)，

(3)

于是

則

由(2)～(4)式得結(jié)論成立.

致謝周口師范學(xué)院2018年度科研創(chuàng)新基金(ZKNUA201805)對本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意!

[1] 龔升. 多復(fù)變數(shù)的凸映照和星形映照[M]. 2版. 北京:科學(xué)出版社,2003.

[2] ROPER K A, SUFFRIDGE T J. Convex mappings on the unit ball ofCn[J]. J Anal Math,1995,65:333-347.

[3] 劉小松，劉太順. Reinhardt域上和復(fù)Hilbert空間單位球上推廣的Roper-Suffridge算子[J]. 數(shù)學(xué)年刊,2005,A26(5):721-730.

[4] FENG S X, LIU T S. Uniformly starlike mappings and uniformly convex mappings on the unit ballBn[J]. Acta Math Sci,2014,B34(2):435-443.

[5] 崔艷艷，王朝君. 特定域上推廣的Roper-Suffridge算子的性質(zhì)[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2013，36(5)：726-729.

[6] 馮淑霞，劉小松，徐慶華. Loewner鏈與推廣的Roper-Suffridge算子[J]. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報，2009，A29(6)：1601-1612.

[7] ZHU Y C, LIU M S. Loewner chains associated with the generalized Roper-Suffridge extension operator on some domains[J]. J Math Anal Appl,2008,337:949-961.

[8] 王建飛，劉太順. 全純映射子族上改進(jìn)的Roper-Suffridge算子[J]. 數(shù)學(xué)年刊，2010，31A(4)：487-496.

[9] LIU H, XIA H C. A new Roper-Suffridge extension operator on bounded complete Reinhardt domains[J]. Acta Mathematica Scientia,2014,34B(6):1835-1844.

[10] GRAHAM I, KOHR G. Geometric Function Theory in One and Higher Dimensions[M]. New York:Marcel Dekker,2003.

[11] 劉名生，朱玉燦. 有界完全Reinhardt域上推廣的Roper-Suffridge算子[J]. 中國科學(xué)，2007，A37(10)：1193-1206.