王淮峰 樓夢麟 張如林

摘要： 合理選擇確定Rayleigh阻尼矩陣比例阻尼系數(shù)的振型頻率對于準(zhǔn)確計(jì)算場地地震響應(yīng)有重要影響。提出以土層表面的位移反應(yīng)峰值誤差與加速度反應(yīng)峰值誤差的加權(quán)平方和為控制目標(biāo)，基于完全二次項(xiàng)平方根振型組合方法建立控制目標(biāo)與Rayleigh阻尼系數(shù)的函數(shù)關(guān)系，以控制目標(biāo)最小為原則形成求解Rayleigh阻尼系數(shù)的方法。隨機(jī)選擇28條具有代表性的地震波，通過對某典型深厚土層模型進(jìn)行地震反應(yīng)分析，并與其他研究成果進(jìn)行對比，驗(yàn)證所建議方法的精度及適用性。關(guān)鍵詞： 地震響應(yīng)分析； Rayleigh阻尼； 阻尼系數(shù)； 雙目標(biāo)控制； 深覆蓋土層

中圖分類號： TU311.3； O322文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號： 10044523（2017）04063808

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2017.04.015

1概述

結(jié)構(gòu)體系阻尼的形成涉及較多的影響因素，其形成機(jī)理極為復(fù)雜，目前尚難以定量。基于黏滯阻尼模型的Rayleigh阻尼矩陣由于數(shù)學(xué)處理的方便而得到廣泛應(yīng)用。Rayleigh阻尼矩陣是由結(jié)構(gòu)體系的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合而成C=αM+βK（1）式中M，C和K分別是結(jié)構(gòu)體系的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，α為質(zhì)量比例系數(shù)，β為剛度比例系數(shù)。根據(jù)振型的正交性，由Rayleigh阻尼矩陣計(jì)算所得的動力系統(tǒng)各階振型阻尼比可表示為ζi=α2ωi+βωi2（2）式中ωi是第i階振型的圓頻率，ζi為第i階振型阻尼比的近似計(jì)算值。通過選取結(jié)構(gòu)的兩個振型頻率（ωj，ωk）及對應(yīng)振型阻尼比（ζj，ζk），可確定質(zhì)量比例系數(shù)和剛度比例系數(shù)。這樣，除了這兩階振型之外，由Rayleigh阻尼矩陣確定的其他振型阻尼比都與真實(shí)的振型阻尼比不一致，由此，會高估或低估這些振型對結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的貢獻(xiàn)，使得結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)偏差。

工程計(jì)算和研究工作中廣泛使用Rayleigh阻尼矩陣，但是關(guān)于Rayleigh阻尼矩陣對結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)計(jì)算結(jié)果帶來影響的認(rèn)識并不深入。其原因之一是：以往大量工程結(jié)構(gòu)的基頻高于或接近于外部動力作用主要分量的激勵頻率，而結(jié)構(gòu)的低階振型對結(jié)構(gòu)總動力響應(yīng)起主要控制作用，因此往往選取結(jié)構(gòu)的兩個低階振型來確立Rayleigh阻尼矩陣，由于低階振型的計(jì)算阻尼比與真實(shí)阻尼比相一致，Rayleigh阻尼矩陣帶來的計(jì)算誤差就很小。樓夢麟等[12]和馬俊玲等[3]的研究表明：當(dāng)結(jié)構(gòu)基頻遠(yuǎn)低于外部動力作用主要分量的激勵頻率時，僅選擇結(jié)構(gòu)的兩個低階振型對應(yīng)的頻率和阻尼比來計(jì)算Rayleigh阻尼矩陣的比例系數(shù)，將使結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)被低估。為改進(jìn)Rayleigh阻尼矩陣的數(shù)值建模，有研究工作[47]選擇結(jié)構(gòu)或者地震波的某些特定頻率（及對應(yīng)的阻尼比）來確定Rayleigh阻尼矩陣的比例系數(shù)，這些特定頻率包括結(jié)構(gòu)基頻、其他對結(jié)構(gòu)反應(yīng)有顯著貢獻(xiàn)的高階振型頻率、激勵時程的反應(yīng)譜（或傅氏譜）的峰值或譜曲線重心對應(yīng)的頻率、場地特征頻率等。

為避免選取參考頻率的經(jīng)驗(yàn)性和任意性，劉紅石[8]提出采用加權(quán)最小二乘法從振型阻尼比誤差最小的角度計(jì)算Rayleigh阻尼矩陣的比例系數(shù)，建議以權(quán)重系數(shù)反映各階振型對動力反應(yīng)貢獻(xiàn)的差異，但沒有提出相應(yīng)的權(quán)重系數(shù)。Yang等[9]提出以峰值應(yīng)變能系數(shù)γ2iMiS2vi（其中γi為第i階振型的參與系數(shù)，Mi為第i階振型的廣義質(zhì)量，Svi為第i階振型的速度反應(yīng)譜值）作為權(quán)重系數(shù)，而潘旦光等[10]建議以γ2iφ2kiS′2ui（其中φki為第i階振型向量的第k個元素，S′ui為第i階振型的位移反應(yīng)譜對振型阻尼比的導(dǎo)數(shù)）作為權(quán)重系數(shù)。這些方法都是雙參數(shù)優(yōu)化方法，董云等[11]提出基于結(jié)構(gòu)基頻的單參數(shù)優(yōu)化方法，不僅考慮結(jié)構(gòu)基本振型對結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的重要性，也使得計(jì)算過程簡化，便于工程應(yīng)用。除加權(quán)最小二乘法外，Spears等[12]提出以控制∑ni=1MeiAi（其中Mei為第i階振型的有效質(zhì)量，Ai為頻率與第i階振型頻率一致的單自由度體系的最大加速度響應(yīng)）接近于零為目標(biāo)，通過迭代方法求解Rayleigh阻尼矩陣的比例系數(shù)。

第4期王淮峰，等： 雙目標(biāo)控制選擇Rayleigh阻尼系數(shù)的方法振 動 工 程 學(xué) 報(bào)第30卷重大工程場地的地震安全性評價(jià)工作中通常需要對土層的地震反應(yīng)進(jìn)行分析。而深覆蓋土層場地基頻往往較低（如上海約300 m厚的土層，其基頻約0.5 Hz），遠(yuǎn)低于常見基巖地震波主要分量的激勵頻率。因此，要較準(zhǔn)確地計(jì)算此類場地的地震響應(yīng)，首先需要合理選擇確定Rayleigh阻尼矩陣比例系數(shù)的參考振型頻率。本文作者[13]曾基于完全二次項(xiàng)平方根振型組合方法（CQC），以土層表面加速度反應(yīng)峰值的誤差為控制目標(biāo)，同時將土層基頻作為參考頻率之一，建立加速度反應(yīng)峰值誤差與Rayleigh阻尼系數(shù)的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而以誤差最小為原則形成求解Rayleigh阻尼矩陣的比例系數(shù)的方法。采用此方法求解Rayleigh阻尼系數(shù)后，位移和加速度反應(yīng)峰值的誤差均在±30%以內(nèi)，且基本為正值，即計(jì)算結(jié)果偏于安全，可以在工程實(shí)踐中使用。

本文在前述研究基礎(chǔ)[13]上，提出以土層表面的位移反應(yīng)峰值誤差與加速度反應(yīng)峰值誤差的加權(quán)平方和為控制目標(biāo)，基于CQC方法建立控制目標(biāo)與Rayleigh阻尼系數(shù)的函數(shù)關(guān)系，以控制目標(biāo)最小為原則形成求解Rayleigh阻尼系數(shù)的方法，進(jìn)一步減小Rayleigh阻尼模型帶來的計(jì)算誤差，以滿足工程實(shí)踐的需要。

2深覆蓋土層Rayleigh阻尼系數(shù)優(yōu)化理論[13]一致地震輸入作用下，多自由度體系的強(qiáng)迫振動方程可表示為Mt+Ct+Kut=-M1gt（3）式中1是全部元素為1的列向量；gt是輸入的加速度時程；ut，t，t分別是相對位移、相對速度、相對加速度列向量。

體系第i階振型對第k自由度的最大響應(yīng)量rkmax的貢獻(xiàn)rkmax，i可表示為rkmax，i=γiφkiSrζi，ωi（4）式中Srζi，ωi是第i階振型響應(yīng)量r的反應(yīng)譜。這里r是體系的位移反應(yīng)、速度、加速度反應(yīng)或其他動力響應(yīng)量。

將反應(yīng)譜在各階振型處按一階Taylor級數(shù)展開得到Sr ζi ，ωi ≈Srζ*i，ωi + S′r ζ*i，ωi ζi -ζ*i（5）式中S′r ζ*i，ωi = Sr ζ*i，ωi ζ*i是反應(yīng)譜對第i階振型精確阻尼比的偏導(dǎo)數(shù)。帶“*”對應(yīng)于精確阻尼比。

基于CQC方法，第k自由度的最大響應(yīng)量的絕對誤差Erkmax可表示為Erk max =∑ni = 1∑nj = 1ρij γi γj φki φkj S′r ζ*i，ωi ·

S′r ζ*j，ωj ζi -ζ*iζj -ζ*j1/2（6）式中ρij是第i階振型和第j階振型的耦聯(lián)系數(shù)。

將基頻作為確定Rayleigh阻尼系數(shù)的一個參考頻率，且假定所有振型的精確阻尼比相等，則由式可得：α=2ω1ζ*i-ω21β（7）

ζi= ωi-ω1ωiωi+ω12β+ω1ωiζ*i（8）為了使Erkmax取得最小值，將式（8）代入式（6）后令Erkmax2β=0（9）得到β=-D2/D1（10）式中D1 = 2∑ni = 1∑nj = 1ρij γi γj φki φkj S′r ζ*i，ωi S′r ζ*j，ωj ·

ωi -ω1 ωi ωj -ω1 ωj ωi + ω1 2ωj + ω1 2

D2 =-∑ni = 1∑nj = 1ρij γi γj φki φkj S′r ζ*i，ωi S′r ζ*j，ωj ·

ωi -ω1 ωi ωi + ω1 2ωj -ω1 ωj ζ*j +

ωj -ω1 ωj ωj + ω1 2ωi -ω1 ωi ζ*i（11）由式（10）求解出β后再代入式（7）求解α。

3雙目標(biāo)控制的Rayleigh阻尼系數(shù)優(yōu)化理論本文作者在文獻(xiàn)[13]中所采用的以上方法僅選擇單一響應(yīng)量（加速度）峰值的誤差為控制目標(biāo)，為使位移和加速度響應(yīng)的誤差均較小，在此基礎(chǔ)上作者以位移反應(yīng)峰值誤差與加速度反應(yīng)峰值誤差的加權(quán)平方和為控制目標(biāo)，建立雙目標(biāo)控制的Rayleigh阻尼系數(shù)優(yōu)化理論。

基于CQC方法，第k自由度的最大響應(yīng)量rkmax及其相對誤差erkmax可分別表示為：rkmax=∑ni=1∑nj=1（ρijγiγjφkiφkjSrζi，ωi·

Sr（ζj，ωj））1/2（12）

erk max =∑ni = 1∑nj = 1ρij γi γj φki φkj S′r ζ*i，ωi ·

S′r ζ*j，ωj ζi-ζ*iζj-ζ*j1/2/

∑ni = 1∑nj = 1ρij γi γj φki φkj Sr ζ*i，ωi Sr ζ*j，ωj 1/2（13）當(dāng)選取響應(yīng)量r為位移反應(yīng)u或者加速度反應(yīng)a時，則Srζi，ωi為第i階振型的位移反應(yīng)譜Suζi，ωi或者加速度反應(yīng)譜Saζi，ωi，可分別表示為：Suζi，ωi=-1ωiD∫t0gτexp-ζiωit-τ·

sinωiDt-τdτmax（14）

Saζi，ωi=ω2iωiD∫t0gτexp-ζiωit-τ·

sinωiDt-τ+2θidτmax（15）式中ωiD=ωi1-ζ2i是第i階振型的有阻尼圓頻率，θi=arctanζi1-ζ2i是第i階振型的相位角。

將式（2），（14），式（15）代入式（13）可得到第k自由度的位移反應(yīng)峰值的相對誤差eukmax和加速度反應(yīng)峰值的誤差eakmax分別為：euk max =∑ni = 1∑nj = 1ρij γi γj φki φkj S′u ζ*i，ωi S′u ζ*j，ωj ·

α2ωi + βωi 2-ζ*iα2ωj +βωj 2-ζ*j1/2/

∑ni=1∑nj=1（ρij γi γj φki φkj Su ζ*i，ωi Suζ*j，ωj）1/2（16）

eakmax =∑ni = 1∑nj = 1ρij γi γj φki φkj S′a ζ*i，ωi S′a ζ*j，ωj ·

α2ωi+βωi 2-ζ*iα2ωj+βωj 2-ζ*j1/2/

∑ni = 1∑nj = 1ρij γi γj φki φkj Sa ζ*i，ωi Sa ζ*j，ωj 1/2（17）為同時控制位移反應(yīng)和加速度反應(yīng)的誤差，令ek2=Queukmax2+Qaeakmax2（18）式中Qu，Qa分別為位移反應(yīng)和加速度反應(yīng)的權(quán)重系數(shù)。

為使ek2取得最小值，令ek2對α和β的偏導(dǎo)數(shù)為零，即可得到求解α和β的二元一次方程組ek2α=A11Q2uα+A12Q2uβ+A13Q2u+

B11Q2aα+B12Q2aβ+B13Q2a=0

ek2β=A21Q2uα+A22Q2uβ+A23Q2u+

B21Q2aα+B22Q2aβ+B23Q2a=0 （19）式中：A11=

∑ni=1∑nj=1ρij γi γj φki φkj S′u ζ*i，ωi S′u ζ*j，ωj 12ωi 12ωj ∑ni=1∑nj=1ρij γi γj φki φkj Suζ*i，ωi Su ζ*j，ωj

A12=A21=

∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjS′u ζ*i，ωiS′u ζ*j，ωj12ωiωj2∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjSuζ*i，ωiSuζ*j，ωj

A22=

∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjS′u ζ*i，ωiS′u ζ*j，ωjωi2ωj2∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjSuζ*i，ωiSuζ*j，ωj

A13=

-∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjS′u ζ*i，ωiS′u ζ*j，ωjζ*j12ωi∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjSuζ*i，ωiSuζ*j，ωj

A23=

-∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjS′u ζ*i，ωiS′u ζ*j，ωjζ*iωj2∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjSuζ*i，ωiSuζ*j，ωj（20）

B11=

∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjS′aζ*i，ωiS′aζ*j，ωj12ωi12ωj∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjSaζ*i，ωiSaζ*j，ωj

B12=B21=

∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjS′aζ*i，ωiS′aζ*j，ωj12ωiωj2∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjSaζ*i，ωiSaζ*j，ωj

B22=

∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjS′aζ*i，ωiS′aζ*j，ωjωi2ωj2∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjSaζ*i，ωiSaζ*j，ωj

B13=

-∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjS′aζ*i，ωiS′aζ*j，ωjζ*j12ωi∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjSaζ*i，ωiSaζ*j，ωj

B23=

-∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjS′aζ*i，ωiS′aζ*j，ωjζ*iωj2∑ni=1∑nj=1ρijγiγjφkiφkjSaζ*i，ωiSaζ*j，ωj（21）這里，當(dāng)取加速度反應(yīng)的權(quán)重系數(shù)Qa=0（Qa/Qu=0）時，本文方法退化為僅以位移反應(yīng)峰值的誤差為控制目標(biāo)求解Rayleigh阻尼系數(shù)的方法；當(dāng)取位移反應(yīng)的權(quán)重系數(shù)Qu=0（Qa/Qu=∞）時，本文方法退化為僅以加速度反應(yīng)峰值的誤差為控制目標(biāo)求解Rayleigh阻尼系數(shù)的方法。

4數(shù)值分析討論〖*2〗4.1土層模型和輸入地震波下面以文獻(xiàn)[13]所選用的上海某處地質(zhì)剖面及28條具有代表性的地震波來建立土層有限元模型并進(jìn)行地震反應(yīng)分析，從而討論以上雙目標(biāo)控制選擇Rayleigh阻尼系數(shù)方法的精度。土層參數(shù)如表1所示，土層基頻0.49 Hz。本文研究的是線性問題，因此不考慮土體的非線性特性，采用有阻尼的線彈性模型，阻尼比5%。參照文獻(xiàn)[14]的研究，水平向土層范圍取為20倍土層深度，并約束邊界節(jié)點(diǎn)的豎直向自由度。為考慮地震波能量在土體中的傳播，參照文獻(xiàn)[15]的研究，沿波傳播方向有限元網(wǎng)格的最大尺寸為λmin/16，這里λmin=CS/fmax，CS為土層的剪切波速，fmax為最大截止頻率，取fmax=25 Hz。隨機(jī)選擇28條具有代表性的地震波作為地震動輸入，地震波信息如表2所示，加速度峰值取單位1（因本文研究的是線性問題，可以統(tǒng)一加速度峰值以方便比較分析）。圖1為地震波的加速度時程及反應(yīng)譜（鑒于篇幅有限，本文僅給出TMZ000地震波的數(shù)據(jù)）。

表1土層參數(shù)

Tab.1Parameters of soil layers

序號土層性質(zhì)土層厚

度/m剪切波速/

（m·s-1）密度/

（kg·m-3）1雜填土2.110019002粉質(zhì)黏土1.211018603淤泥質(zhì)粉質(zhì)

黏土夾砂6.212018404淤泥質(zhì)黏土5.515017605黏土920018206粉質(zhì)黏土3.526020107砂質(zhì)粉土10.528019008粉細(xì)砂2233019409砂質(zhì)粉土12.5350190010粉細(xì)砂6360193011粉砂夾中粗砂21.5380194012粉細(xì)砂夾中砂10420197013粉細(xì)砂夾中砂10480197014粉細(xì)砂夾中砂10520197015粉細(xì)砂夾中砂10540197016粉細(xì)砂夾中砂10520197017粉質(zhì)黏土15480200018粉細(xì)砂夾粗砂12500195019粉細(xì)砂夾粗砂12530195020粉細(xì)砂夾粗砂11530195021粉細(xì)砂夾粗砂10530195022黏土夾粉砂10530200023黏土夾粉砂10530200024黏土夾粉砂10530200025黏土夾粉砂10530200026基巖-8002400圖1地震波加速度時程及反應(yīng)譜

Fig.1Acceleration time histories and its spectra表2輸入地震波

Tab.2Earthquake ground motions

序號代號地震時間1R13%人工波（超越概率3%）2R110%人工波（超越概率10%）3R163%人工波（超越概率63%）4CPM030Northern California1975/6/75GGP100San Francisco1957/3/226GRN180Landers1992/6/287KAUNSChiChi1999/9/208LAMEWDuzce1999/11/129LIT180Northridge1994/1/1710LUACUTWenchuan2008/5/1211MCH000Loma Prieta1989/10/1812MSKEWKocaeli1999/8/1713TTNNSChiChi， Taiwan1999/9/2014TVY045Anza （Horse Cany）， USA1980/2/2515WON075Whittier Narrows1987/10/116C08050Parkfield， USA1966/6/2817CPE045Victoria， Mexico1980/6/918DVD246Livermore， USA1980/1/2419EILEWAqaba， Jordan1995/11/2220ELCNSImperial Valley， USA1940/5/1821FERT1Tabas， Iran1978/9/1622MLS270Mammoth Lakes， USA1980/5/2523ORR090Northridge， USA1994/1/1724S3270Nahanni， Canada1985/12/2325SHP010Victoria， Mexico1980/6/926STG000Loma Prieta， USA1989/10/1827TAZ090Kobe， Japan1995/1/1628TMZ000Friuli， Italy1976/5/64.2Rayleigh阻尼系數(shù)計(jì)算方法

在計(jì)算Rayleigh阻尼系數(shù)時，采用本文提出的雙目標(biāo)控制選擇Rayleigh阻尼系數(shù)的方法，分別取位移反應(yīng)和加速度反應(yīng)的權(quán)重系數(shù)之比為Qa/Qu=0，Qa/Qu=0.1，Qa/Qu=0.5，Qa/Qu=1，Qa/Qu=2，Qa/Qu=10，Qa/Qu=∞。此外，同時也采用文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[13]建議的方法計(jì)算Rayleigh阻尼系數(shù)以進(jìn)行對比分析。

4.3計(jì)算結(jié)果

為驗(yàn)算本文方法的精度，土層模型地震反應(yīng)分析的精確解采用振型疊加法計(jì)算，假定各階振型的精確阻尼比均為5%（假定各階振型的精確阻尼比相等在地震反應(yīng)分析中被廣泛采用[6]，此假定的合理性不在本文的研究范圍之內(nèi)，但本文方法并不局限于此情況，對于各階振型的精確阻尼比不相等的情況同樣適用）。

下面以土層地表點(diǎn)動力反應(yīng)的誤差來討論Rayleigh阻尼系數(shù)計(jì)算方法的精度，定義為e=rRmax-rMmaxrMmax×100%（22）式中rMmax是采用振型疊加法計(jì)算所得對應(yīng)于精確阻尼的最大反應(yīng)（位移或者加速度），rRmax是采用本文方法、文獻(xiàn)[6]或文獻(xiàn)[13]建議方法計(jì)算Rayleigh阻尼系數(shù)時對應(yīng)于Rayleigh阻尼的最大反應(yīng)（位移或者加速度）。

表3為確定Rayleigh阻尼系數(shù)的兩階參考頻率，圖2為Rayleigh阻尼帶來的地表點(diǎn)位移反應(yīng)峰圖2地表點(diǎn)動力反應(yīng)的相對誤差

Fig.2Relative errors表3確定Rayleigh阻尼系數(shù)的兩階參考頻率

Tab.3Two reference frequencies for calculation of Rayleigh damping coefficients

地震波

編號文獻(xiàn)[6]

推薦方法文獻(xiàn)[13]

推薦方法本文方法

Qa/Qu=0本文方法

Qa/Qu=0.1本文方法

Qa/Qu=0.5本文方法

Qa/Qu=1本文方法

Qa/Qu=2本文方法

Qa/Qu=10本文方法

Qa/Qu=∞fjfkfjfkfjfkfjfkfjfkfjfkfjfkfjfkfjfkCPM0300.497.140.496.471.565.281.575.401.666.221.836.472.196.572.776.652.826.65GGP1000.494.550.495.010.572.810.593.170.694.680.884.991.385.212.445.762.545.85GRN1800.491.220.491.790.491.340.491.430.501.730.511.770.521.790.551.800.551.80KAUNS0.4910.000.495.260.491.660.503.620.515.160.565.270.655.350.795.450.815.46LAMEW0.495.560.494.500.501.760.513.270.544.430.614.510.784.581.064.681.084.69LIT1800.493.330.494.160.491.250.501.530.523.380.553.970.634.250.844.580.864.62LUACUT0.490.500.491.820.491.500.491.670.491.810.491.820.491.820.491.820.491.82MCH0000.496.250.494.160.492.140.492.680.503.960.504.110.534.160.684.220.724.23MSKEW0.495.880.494.430.531.650.572.540.714.340.934.631.204.891.415.101.425.11TTNNS0.492.940.493.730.491.900.492.600.503.620.523.710.573.750.683.800.693.81TVY0450.4911.110.496.411.824.411.874.712.096.332.276.732.436.882.536.942.536.95WON0750.4910.000.495.480.561.810.582.210.654.650.725.320.925.621.536.061.616.12R13%0.495.560.494.420.492.580.502.710.514.240.554.390.654.460.944.580.984.60R110%0.494.170.494.260.491.520.502.050.513.880.544.180.614.300.864.470.894.50R163%0.494.760.494.560.501.820.493.720.504.500.514.550.554.570.704.610.734.61C080500.496.250.495.110.501.620.502.290.524.630.565.020.685.221.035.571.075.63CPE0450.494.350.492.910.551.420.561.500.682.360.812.891.023.281.263.701.283.74DVD2460.494.760.493.870.492.020.493.040.493.810.503.860.513.870.543.890.543.89EILEW0.492.220.493.450.491.600.502.470.513.380.563.460.643.500.733.550.743.55ELCNS0.494.000.493.050.501.260.511.420.562.590.653.050.823.391.033.831.043.87FERT10.497.690.494.610.501.520.511.890.533.940.574.460.694.701.045.091.095.14MLS2700.497.140.493.960.491.970.502.130.513.330.543.780.654.001.324.631.494.88ORR0900.493.850.492.810.521.260.551.420.712.530.862.951.063.241.223.491.233.51S32700.4916.670.496.250.493.000.495.750.496.230.506.250.536.260.586.280.586.28SHP0100.494.550.493.620.491.970.492.650.513.530.543.610.633.650.853.740.873.75STG0000.496.250.494.740.491.650.493.540.514.680.554.750.624.800.714.850.724.85TAZ0900.492.130.493.580.501.680.502.220.523.420.573.570.703.660.963.800.993.82TMZ0000.493.850.492.800.531.570.531.650.592.360.692.720.912.951.373.411.413.47值和加速度反應(yīng)峰值的相對誤差e，表4為相對誤差e的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

表4相對誤差統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)/%

Tab.4Statistical data of relative errors /%

Rayleigh阻尼系數(shù)

計(jì)算方法位移加速度平均值標(biāo)準(zhǔn)差平均值標(biāo)準(zhǔn)差文獻(xiàn)[6]推薦方法6.1 10.4 17.9 24.8 文獻(xiàn)[13]推薦方法4.7 7.8 9.7 12.5 本文方法Qa/Qu=00.0 2.1 -14.3 17.1 本文方法Qa/Qu=0.10.6 2.5 -6.2 11.7 本文方法Qa/Qu=0.51.6 3.8 5.8 8.9 本文方法Qa/Qu=10.4 3.5 6.9 9.1 本文方法Qa/Qu=2-2.6 4.4 6.1 8.0 本文方法Qa/Qu=10-8.1 9.6 4.1 6.2 本文方法Qa/Qu=∞-8.6 10.2 3.9 6.0 4.4分析與討論

顯然，當(dāng)權(quán)重系數(shù)之比Qa/Qu=0時，除CPM030和TVY045地震波外，第一個參考頻率均等于或略高于土層基頻。這是因?yàn)楫?dāng)權(quán)重系數(shù)之比Qa/Qu=0時，本文的控制目標(biāo)僅關(guān)注位移響應(yīng)，而當(dāng)激勵地震波能量沒有非常集中于高頻時，體系第1階振型對于位移響應(yīng)的貢獻(xiàn)最大。CPM030和TVY045地震波因其能量非常集中于高頻，故此時體系第1階振型對于位移響應(yīng)的貢獻(xiàn)并非最大。當(dāng)權(quán)重系數(shù)之比Qa/Qu增大時，兩階參考頻率也隨之增大，這是因?yàn)榇藭r控制目標(biāo)更加關(guān)注加速度響應(yīng)，而相較于位移響應(yīng)，體系高階振型對于加速度響應(yīng)的貢獻(xiàn)較顯著。

采用文獻(xiàn)[6]推薦的方法，誤差較大且基本為正值（位移反應(yīng)峰值的誤差在-2.8%～32.9%之間，加速度反應(yīng)峰值的誤差在-4.3%～59.4%之間），應(yīng)用于工程實(shí)踐中將使得計(jì)算結(jié)果基本過于保守。采用文獻(xiàn)[13]推薦的方法，位移反應(yīng)的誤差范圍基本不變而加速度反應(yīng)的精度有了較好的提升（位移反應(yīng)峰值的誤差在-2.4%～27.3%之間，加速度反應(yīng)峰值的誤差在-0.5%～30.3%之間），同樣誤差基本為正值。

采用本文方法，當(dāng)Qa/Qu=0時，位移反應(yīng)峰值的相對誤差為所有方法中最?。ㄔ?7.0%～4.1%之間），且標(biāo)準(zhǔn)差最小（2.1），即離散性最?。坏铀俣确磻?yīng)峰值的相對誤差較大，且基本為負(fù)值（在-29.2%～0%之間），應(yīng)用于工程實(shí)踐中將使得計(jì)算結(jié)果偏于危險(xiǎn)。因此當(dāng)僅關(guān)注土層場地的位移反應(yīng)時可取Qa/Qu=0。當(dāng)Qa/Qu=∞時，加速度反應(yīng)峰值的相對誤差為所有方法中最?。ㄔ?7.0%～15.5%之間），且標(biāo)準(zhǔn)差最?。?.0），即離散性最??；但位移反應(yīng)峰值的相對誤差較大，且基本為負(fù)值（在-19.3%～0.2%之間），應(yīng)用于工程實(shí)踐中將使得計(jì)算結(jié)果偏于危險(xiǎn)。因此當(dāng)僅關(guān)注土層場地的加速度反應(yīng)時可取Qa/Qu=∞。

當(dāng)Qa/Qu在0到∞之間變化時，隨著Qa/Qu的增大，位移反應(yīng)峰值的誤差及其標(biāo)準(zhǔn)差增大，而加速度反應(yīng)的誤差及其標(biāo)準(zhǔn)差減小。當(dāng)Qa/Qu=10時，計(jì)算結(jié)果已接近Qa/Qu=∞的計(jì)算結(jié)果。當(dāng)Qa/Qu=1時，位移反應(yīng)和加速度反應(yīng)的誤差均控制在較好的范圍之內(nèi)（位移反應(yīng)峰值的誤差在-8.1%～7.8%之間，加速度反應(yīng)峰值的誤差在-2.2%～18.6%之間），位移反應(yīng)峰值的誤差在±10%以內(nèi)，而加速度反應(yīng)峰值的誤差相對較大，但也控制在±20%以內(nèi)，且基本為正值，即應(yīng)用于工程實(shí)踐中將使得計(jì)算結(jié)果偏于安全。因此土層地震反應(yīng)分析時，當(dāng)同時關(guān)注場地的位移反應(yīng)和加速度反應(yīng)時可取Qa/Qu=1。

當(dāng)Qa/Qu=∞時，第一個參考頻率為Qa/Qu=0時的1.0～4.4倍，第二個參考頻率為Qa/Qu=0時的1.2～3.4倍，兩個參考頻率的變化均十分顯著。當(dāng)Qa/Qu=0時，控制目標(biāo)僅關(guān)注位移響應(yīng)；當(dāng)Qa/Qu=∞時，控制目標(biāo)僅關(guān)注加速度響應(yīng)。即關(guān)注響應(yīng)量不同時，兩個參考頻率的變化均十分顯著。因此，對于體系基頻遠(yuǎn)高于外部動力作用主要分量激勵頻率的情況，當(dāng)阻尼矩陣采用Rayleigh阻尼矩陣建模時，很難將不同響應(yīng)量的誤差均控制在較小（±10%）的范圍內(nèi)。

5結(jié)論

重大工程場地的地震安全性評價(jià)工作中通常需要對土層的地震反應(yīng)進(jìn)行分析。而深覆蓋土層場地基頻往往較低，遠(yuǎn)低于基巖地震波主要分量的激勵頻率。因此，要較準(zhǔn)確地計(jì)算此類場地的地震響應(yīng)，首先需要合理選擇確定Rayleigh阻尼矩陣比例系數(shù)的參考振型頻率。本文在作者之前的研究基礎(chǔ)[13]上，提出以土層表面的位移反應(yīng)峰值誤差與加速度反應(yīng)峰值誤差的加權(quán)平方和為控制目標(biāo)，基于完全二次項(xiàng)平方根的振型組合方法建立控制目標(biāo)與Rayleigh阻尼系數(shù)（α和β）的函數(shù)關(guān)系，以控制目標(biāo)最小為原則形成求解Rayleigh阻尼系數(shù)的方法，以滿足工程實(shí)踐中同時關(guān)注土層場地位移和加速度反應(yīng)的需要。最后以上海某處土層模型為例，計(jì)算其在28條各具代表性的地震波激勵下的動力反應(yīng)，并與其他研究成果進(jìn)行對比，驗(yàn)證了本文所建議方法的精度及適用性。

參考文獻(xiàn)：

[1]樓夢麟， 張靜. 結(jié)構(gòu)爆破地震反應(yīng)計(jì)算中的阻尼模型[J]. 防護(hù)工程， 2009，31（10）：15—19.

LOU Menglin， ZHANG Jing. Damping model for blasting seismic response analysis of structure[J].Protective Engineering， 2009，31（10）：15—19.

[2]樓夢麟， 隋磊， 沈飛. 不同阻尼矩陣建模對超高層結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析的影響[J]. 結(jié)構(gòu)工程師， 2013（01）：55—61.

LOU Menglin， SHUI Lei， SHEN Fei. Effects of damping matrix modeling on seismic response of super highrise structure[J]. Structural Engineering， 2013（01）：55—61.

[3]馬俊玲， 丁海平. 土層地震反應(yīng)分析中不同阻尼取值的影響比較[J]. 防災(zāi)減災(zāi)工程學(xué)報(bào)， 2013，（05）：517—523.

MA Junling， DING Haiping. Comparative study on influence of different damping values in soillayer seismic response analysis[J]. Journal of Disaster Prevention and Mitigation Engineering， 2013，（05）：517—523.

[4]Chopra A K. Dynamics of Structures： Theory and Applications to Earthquake Engineering[M]， 2nd edition. New Jersey： Upper Saddle River， PrenticeHall， 2001.

[5]Hudson M， Idriss I M， Beikae M. User's Manual for QUAD4M：A Computer Program to Evaluate the Seismic Response of Soil Structures Using Finite Element Procedures and Incorporating a Compliant Base[R].Berkeley： University of California， 1994.

[6]樓夢麟， 邵新剛. 深覆蓋土層Rayleigh阻尼矩陣建模問題的討論[J]. 巖土工程學(xué)報(bào)， 2013，35（07）：1272—1279.

LOU Menglin， SHAO Xingang. Discussion on modeling issues of Rayleigh damping matrix in soil layers with deep deposit[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2013， 35（7）： 1272—1279.

[7]丁海平， 馬俊玲. 基于場地特征周期的瑞利阻尼確定方法[J]. 巖土力學(xué)， 2013，（S2）：35—40.

DING Haiping， MA Junling. A method for determining Rayleigh damping based on site characteristic period[J]. Rock and Soil Mechanics， 2013，（S2）： 35—40.

[8]劉紅石. 相對誤差與Rayleigh阻尼比例系數(shù)的確定[J]. 湖南工程學(xué)院學(xué)報(bào)， 2001，11（34）：36—38.

LIU Hongshi. Relative error and determination of Rayleigh damping proportionality coefficient[J]. Journal of Hunan Institute of Engineering， 2001， 11（34）： 36—38.

[9]Yang D B， Zhang Y G， Wu J Z. Computation of Rayleigh damping coefficients inseismic timehistory analysis of spatial structures[J]. Journal of the International Association for Shell and Spatial Structures， 2010，51（2）：125—135.

[10]潘旦光， 高莉莉， 李小翠. 求解Rayleigh阻尼系數(shù)的加權(quán)最小二乘法[J]. 計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)， 2015，（01）：70—76.

PAN Danguang， GAO Lili， LI Xiaocui. Weighted least squares method for solving Rayleigh damping coefficients[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics， 2015，（01）：70—76.

[11]董云， 樓夢麟. 基于結(jié)構(gòu)基頻確定Rayleigh阻尼系數(shù)的優(yōu)化方法及其討論[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2014，41（2）：8—13.

DONG Yun， LOU Menglin. An optimization solution for Rayleigh damping coefficients based on the fundamental frequency of structure[J]. Journal of Hunan University （Natural Science）， 2014，41（2）：8—13.

[12]Spears R E， Jensen S R. Approach for selection of Rayleigh damping parameters used for time history analysis[J]. Journal of Pressure Vessel Technology， 2012，134（6）：61801—61807.

[13]王淮峰， 樓夢麟， 張如林. 深覆蓋土層動力響應(yīng)時程分析中Rayleigh阻尼系數(shù)的確定[J]. 巖土工程學(xué)報(bào)， 2016，38（3）：468—476.

WANG Huaifeng， LOU Menglin， ZHANG Rulin. Determining Rayleigh damping parameters for time history analysis of soil layers with deep deposit[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2016， 38（3）：468—476.

[14]樓夢麟， 潘旦光， 范立礎(chǔ). 土層地震反應(yīng)分析中側(cè)向人工邊界的影響[J]. 同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2003，31（7）：757—761.

Lou Menglin， Pan Danguang， Fan Lichu. Effect of vertical artificial boundary on seismic response of soil layer[J]. Journal of Tongji University（Natural Science） 2003，31（7）：757—761.

[15]宗福開. 波傳播問題中有限元分析的頻散特性及離散化準(zhǔn)則[J]. 爆炸與沖擊， 1984，4（4）：16—23.

Zong Fukai. Frequency Dispersion Characteristics and Discretization of the Finite Element Analysis in Wave Propagation Problems[J]. Explosion and Shock Waves， 1984，4（4）：16—23.

A method for determining Rayleigh damping parameters based

on dualobject control

WANG Huaifeng1， LOU Menglin2， ZHANG Rulin3

（1. School of Civil Engineering and Architecture， Xiamen University of Technology， Xiamen 361024， China；

2. State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering， Tongji University， Shanghai 200092， China；

3. College of Pipeline and Civil Engineering， China University of Petroleum， Qingdao 266580， China）

Abstract： The appropriate selection of frequencies for determining Rayleigh damping parameters is significant for the accurate analysis of soil layers with deep deposit. The square weighted sum of errors of peak displacement response and peak acceleration response is proposed to be control objective and its functional relation with Rayleigh damping parameters is established based on complete quadratic combination method. Then a method for determining Rayleigh damping parameters is formed by minimizing the control objective. Dynamic response of a typical soil model with deep deposit， exciting by 28 typical seismic waves， is analyzed to verify the calculation accuracy and applicability of the proposed method. Key words： dynamic response analysis； Rayleigh damping； damping parameters； dualobjective control； soil layers with deep deposit作者簡介： 王淮峰（1986—），男，講師。電話： （0595）22886883； Email： whf_tj@163.com