邱麗芳 劉寧寧 陳明坤 岳 鑫

(北京科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 北京 100083)

0 引言

柔順機(jī)構(gòu)主要依靠柔性單元的變形來(lái)實(shí)現(xiàn)全部運(yùn)動(dòng)和功能，同時(shí)實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)、力和能量的傳遞和轉(zhuǎn)換，為實(shí)現(xiàn)高速、精密、微型等對(duì)機(jī)構(gòu)的高性能要求提供了新方法[1]。經(jīng)過(guò)國(guó)內(nèi)外學(xué)者多年的研究，柔順機(jī)構(gòu)在理論設(shè)計(jì)及運(yùn)動(dòng)分析方面有了一定的發(fā)展[2]，主要應(yīng)用于微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)[3]、航空航天設(shè)備[4]、仿生機(jī)器人[5-6]及醫(yī)療儀器[7]等領(lǐng)域。

在柔順機(jī)構(gòu)中，為實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)的正常運(yùn)動(dòng)并保證穩(wěn)定性，需要依靠柔性鉸鏈這一最小單元，可從根本上克服傳統(tǒng)機(jī)構(gòu)中存在的固有缺陷。近年來(lái)，柔性鉸鏈的設(shè)計(jì)及應(yīng)用得到了廣泛研究。HOWELL等[8-10]在鉸鏈結(jié)構(gòu)上進(jìn)行改善以提高性能以外，還利用組合[11]、去除材料[12]、靜態(tài)平衡[13]等方法有效地減少了鉸鏈的彎曲剛度，并且使約束方向剛度增大。LIU等[14]對(duì)單軸柔性鉸鏈進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，利用多孔洞域結(jié)構(gòu)提高其綜合性能。PEI等[15]針對(duì)Cartwheel 型柔鉸提出了兩個(gè)偽剛體模型，并通過(guò)有限元分析對(duì)模型結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。CHEN等[16-18]設(shè)計(jì)了多種切口形狀的柔性鉸鏈，并建立了適合各種拐點(diǎn)柔性鉸鏈的理論模型[19]。邱麗芳等[20-23]從構(gòu)型角度考慮，設(shè)計(jì)了Triple_LET、Deform_X型、雙C型、平面外折展(OD- LEJ)柔性鉸鏈等。

柔性鉸鏈的設(shè)計(jì)是影響柔順機(jī)構(gòu)應(yīng)用的關(guān)鍵，柔度和精度又是決定柔性鉸鏈性能的主要因素。實(shí)際運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，鉸鏈轉(zhuǎn)角增大的同時(shí)，抗拉壓性能變差、轉(zhuǎn)動(dòng)軸線漂移、寄生運(yùn)動(dòng)等缺陷也成為了不可避免的問(wèn)題，導(dǎo)致機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度的下降。為提高精度，本文設(shè)計(jì)Nested- LET柔性鉸鏈，推導(dǎo)其彎曲及拉壓等效剛度理論計(jì)算公式，并定義修正系數(shù)，加工Nested- LET及LET實(shí)物模型，通過(guò)仿真分析及拉伸實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證鉸鏈的性能，為高精度鉸鏈的設(shè)計(jì)提供一種新思路。

1 Nested- LET鉸鏈結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及理論分析

1.1 Nested- LET鉸鏈結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

Nested- LET柔性鉸鏈?zhǔn)腔谕釲ET結(jié)構(gòu)的柔性鉸鏈，結(jié)合嵌套思想，在外LET鉸鏈內(nèi)部使用彎曲片段貫穿連接LET柔性片段，在其彎曲性能下降不明顯的前提下，大幅度提高了柔性鉸鏈的抗拉壓性能。整體結(jié)構(gòu)關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng)，在產(chǎn)生彎曲變形的同時(shí)可改善外LET鉸鏈由于中空結(jié)構(gòu)造成的轉(zhuǎn)動(dòng)中心漂移，從而提高運(yùn)動(dòng)精度和抗拉壓性能。Nested- LET柔性鉸鏈的結(jié)構(gòu)及受載情況如圖1所示。

圖1 Nested- LET柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)及其受載情況Fig.1 Structure of Nested- LET joint and its loading condition

根據(jù)柔性片段的主要變形，分為2種扭轉(zhuǎn)片段和4種彎曲片段，其余部分視為剛性連接。在如圖1所示轉(zhuǎn)矩作用下，鉸鏈繞轉(zhuǎn)軸發(fā)生彎曲變形。

1.2 Nested- LET鉸鏈彎曲等效剛度

基于文獻(xiàn)[8]提出的等效法，建立Nested- LET柔性鉸鏈的彎曲等效彈簧模型，如圖2所示。

圖2 Nested- LET柔性鉸鏈彎曲等效彈簧關(guān)系示意圖Fig.2 Corresponding spring model diagram of Nested- LET joint

根據(jù)彈簧的串并聯(lián)關(guān)系可得出Nested- LET柔性鉸鏈的彎曲等效剛度為

(1)

(2)

式中kti——柔性鉸鏈扭轉(zhuǎn)片段的等效剛度

lti——柔性鉸鏈扭轉(zhuǎn)片段長(zhǎng)度

G——材料剪切模量

Ki為與扭轉(zhuǎn)片段橫截面幾何特征相關(guān)的參數(shù)，CHEN等[24]提出的Ki近似方程不受截面寬厚比的影響，能保證較高的精度，表達(dá)式為

(3)

式中wti——柔性鉸鏈扭轉(zhuǎn)片段寬度

t——柔性鉸鏈厚度

柔性鉸鏈彎曲片段等效剛度用kbi表示，可將彎曲片段的變形視為受轉(zhuǎn)矩下懸臂梁自由端產(chǎn)生的最大撓度，即

(4)

式中E——材料彈性模量

Ibi——彎曲片段慣性矩

lbi——彎曲片段長(zhǎng)度

1.3 Nested- LET鉸鏈拉壓等效剛度

當(dāng)Nested- LET柔性鉸鏈在受到如圖1所示的x軸方向拉力或壓力F時(shí)，柔性片段分別發(fā)生拉壓及彎曲變形，將拉壓片段和彎曲片段分別等效為對(duì)應(yīng)的拉壓彈簧和彎曲彈簧。根據(jù)彈簧的串并聯(lián)關(guān)系可得，Nested- LET柔性鉸鏈的拉壓等效剛度為

(5)

(6)

式中kbi,a——柔性鉸鏈拉壓片段的等效剛度

wbi——柔性鉸鏈拉壓力片段寬度

kti,a——柔性鉸鏈彎曲片段的等效剛度

利用自由端受力的柔性懸臂梁的偽剛體模型進(jìn)行計(jì)算。偽剛體模型中扭簧的剛度系數(shù)kfg可表示為

(7)

式中γ——特征半徑系數(shù)，取0.85

Kθ——?jiǎng)偠认禂?shù)，取2.65

I——彎曲梁慣性矩

L——彎曲梁長(zhǎng)度

在垂直梁長(zhǎng)度方向施加力F，偽剛體桿產(chǎn)生角度為Θ的變形，彎曲片段的撓度d可表示為

d=γLsinΘ

(8)

分析扭簧處的受力關(guān)系，可得

FγLcosΘ=kfgΘ

(9)

整理得

(10)

因?yàn)閭蝿傮w模型角Θ極小，Θ≈sinΘ，則

(11)

利用三角函數(shù)關(guān)系可得到

(12)

綜合式(7)～(12)，得

(13)

(14)

因此柔性鉸鏈在拉壓載荷作用下彎曲片段的等效剛度kti,a可表示為

(15)

式中Ii——彎曲片段截面慣性矩

Li——彎曲片段長(zhǎng)度

2 實(shí)例計(jì)算與有限元分析

2.1 設(shè)計(jì)實(shí)例計(jì)算

Nested- LET柔性鉸鏈的尺寸示意如圖3所示。

圖3 Nested- LET柔性鉸鏈尺寸示意圖Fig.3 Dimension sketch of Nested- LET joint

本文中設(shè)計(jì)分析的鉸鏈厚度t均為0.5 mm。所選材料為鈹青銅，其彈性模量E=128 GPa，泊松比σ=0.29，屈服強(qiáng)度為[sy]=1 170 MPa。設(shè)計(jì)Nested- LET柔性鉸鏈的尺寸如表1所示。將鉸鏈尺寸參數(shù)分別代入式(1)和式(5)可得，keq,bend=0.193 2 N·m/rad，keq,tens=3.147 5 N·m。

表1 Nested- LET柔性鉸鏈基本尺寸參數(shù)Tab.1 Dimensions of Nested- LET joint mm

2.2 有限元分析

2.2.1彎曲等效剛度的有限元分析

利用Abaqus有限元軟件建立Nested- LET柔性鉸鏈設(shè)計(jì)實(shí)例的有限元模型(單元類(lèi)型為Shell)。當(dāng)轉(zhuǎn)矩為0.12 N·m時(shí)，鉸鏈轉(zhuǎn)角為0.68 rad(約為40°)時(shí)的角位移云圖如圖4a所示，應(yīng)力云圖如圖4b所示。

圖4 Nested- LET柔性鉸鏈角位移及應(yīng)力云圖Fig.4 FEA model of Nested- LET joint showing deflected position and stress under bending condition

圖5 Nested- LET柔性鉸鏈在不同轉(zhuǎn)矩下轉(zhuǎn)角仿真值、理論值與修正值變化曲線Fig.5 Trend curves of simulated, theoretical and corrected bending angles of Nested- LET joint under different bending moments

由圖4b可知，此時(shí)Nested- LET鉸鏈的最大應(yīng)力為1 013 MPa，小于屈服強(qiáng)度[sy]=1 170 MPa，因而不會(huì)發(fā)生塑性變形，滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求。

Nested- LET鉸鏈?zhǔn)茌d情況如圖1所示，其力- 變形關(guān)系為

T=keq,bendθ

(16)

式中T——作用在柔性鉸鏈上的轉(zhuǎn)矩，N·m

θ——鉸鏈扭轉(zhuǎn)角理論值，rad

不同轉(zhuǎn)矩作用下鉸鏈轉(zhuǎn)角仿真值、理論值曲線如圖5所示。設(shè)理論計(jì)算與仿真分析的相對(duì)誤差為

(17)

式中θ′——鉸鏈扭轉(zhuǎn)角仿真值，rad

根據(jù)式(17)可得到不同轉(zhuǎn)矩下的相對(duì)誤差，由式(17)及圖5得到相對(duì)誤差大于5%。

因此在彎曲等效剛度中引入修正系數(shù)α，對(duì)keq,bend進(jìn)行修正，修正后等效剛度表示為

k′eq,bend=αkeq,bend

(18)

一般情況下，修正系數(shù)α?xí)S著鉸鏈尺寸和材料的不同而有所變化，經(jīng)過(guò)大量實(shí)例分析，取修正系數(shù)α=0.9時(shí)可保證在受轉(zhuǎn)矩情況下轉(zhuǎn)角誤差最小。修正后，不同轉(zhuǎn)矩作用下鉸鏈轉(zhuǎn)角曲線如圖5所示。由圖5可得，Nested- LET鉸鏈轉(zhuǎn)角的仿真值與修正后的理論值基本一致，驗(yàn)證了Nested- LET柔性鉸鏈彎曲等效剛度理論公式的正確性。

2.2.2拉壓等效剛度的有限元分析

與彎曲剛度的有限元分析方法類(lèi)似，分別對(duì)鉸鏈?zhǔn)┘硬煌睦?。拉力?00 N時(shí)Nested- LET柔性鉸鏈的位移變形量云圖如圖6所示，此時(shí)x方向位移變形量為0.037 93 mm。為保證在受拉力情況下位移誤差最小，取修正系數(shù)α′=0.838，繪制不同拉力下與位移變形量仿真值、理論值與修正值曲線，如圖7所示。由圖7可看出，Nested- LET柔性鉸鏈發(fā)生拉伸變形過(guò)程中產(chǎn)生的仿真位移變形與理論修正位移基本重合，說(shuō)明修正系數(shù)α′有效。

圖6 Nested- LET柔性鉸鏈位移變形量仿真云圖Fig.6 Tensile deformation of Nested- LET joints obtained by FEA

圖7 Nested- LET柔性鉸鏈在不同拉力下位移變形量理論值、修正值與仿真值變化曲線Fig.7 Trend curves of simulated, theoretical and corrected displacement deformation of Nested- LET joint under different tensions

鉸鏈轉(zhuǎn)角、位移變形仿真值均大于理論值，其誤差產(chǎn)生的主要原因有：①為便于分析，彎曲等效剛度模型有部分簡(jiǎn)化。②建立拉壓等效剛度求解方程時(shí)，均使用自由端受力的柔性懸臂梁的偽剛體模型，實(shí)際各柔性片段的邊界條件存在差異性。③理論計(jì)算時(shí)，代入公式的相應(yīng)片段長(zhǎng)度為固定值，但在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，柔性鉸鏈各片段連接處的變形為彎曲、扭轉(zhuǎn)及拉壓載荷共同作用產(chǎn)生，此部分界限的模糊性造成各片段長(zhǎng)度為非固定值。

3 Nested- LET鉸鏈與外LET鉸鏈性能比較

為了進(jìn)一步說(shuō)明Nested- LET柔性鉸鏈各項(xiàng)性能，將其與外形尺寸相同的外LET鉸鏈進(jìn)行比較。外LET鉸鏈結(jié)構(gòu)尺寸示意圖如圖8所示。尺寸分別為lb1=25 mm，wb1=2 mm，lt1=13 mm，wt1=2 mm。

圖8 外LET鉸鏈的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.8 Structure diagram of outside LET joint

在Abaqus中建立有限元仿真模型，選取鈹青銅作為材料，其彈性模量E=128 GPa，泊松比σ=0.29，屈服強(qiáng)度為[sy]=1 170 MPa。對(duì)Nested- LET及外LET鉸鏈的抗拉壓性能(以拉力為例)、彎曲性能和轉(zhuǎn)動(dòng)中心漂移進(jìn)行分析比較。

圖9為不同拉力作用下外LET、Nested- LET鉸鏈的位移變形量仿真曲線，Nested- LET鉸鏈位移變形量遠(yuǎn)小于外LET。當(dāng)拉力為100 N時(shí)，外LET鉸鏈的位移變形量為Nested- LET鉸鏈的30倍，Nested- LET鉸鏈的抗拉壓性能得到了大幅度提升。圖10為不同轉(zhuǎn)矩作用下外LET、Nested- LET鉸鏈的轉(zhuǎn)角仿真值對(duì)比，Nested- LET鉸鏈彎曲剛度增加了1.5倍，彎曲性能略有下降。

圖9 不同拉力下位移變形量仿真值對(duì)比Fig.9 Comparison of displacement deformation under different tensions

圖10 不同轉(zhuǎn)矩下轉(zhuǎn)角仿真值對(duì)比Fig.10 Comparison of rotation angles under different bending moments

圖11 柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動(dòng)中心Fig.11 Rotation center of flexure joint

轉(zhuǎn)動(dòng)精度是衡量柔性鉸鏈性能的指標(biāo)之一，一般用轉(zhuǎn)動(dòng)中心的位置表示。Nested- LET鉸鏈為完全對(duì)稱(chēng)型，理想狀態(tài)下轉(zhuǎn)動(dòng)中心位置保持在對(duì)稱(chēng)軸位置，但在柔性鉸鏈發(fā)生彎曲變形的過(guò)程中，其轉(zhuǎn)動(dòng)并不是集中在某一點(diǎn)。隨著轉(zhuǎn)角不斷地變化轉(zhuǎn)動(dòng)中心會(huì)發(fā)生漂移，漂移量的增加會(huì)影響轉(zhuǎn)動(dòng)精度，鉸鏈彎曲變形后側(cè)視圖如圖11所示。將轉(zhuǎn)動(dòng)中心位置標(biāo)為(xc，zc)，由鉸鏈運(yùn)動(dòng)特性可知zc=0，xc計(jì)算式為

(19)

式中l(wèi)b1——鉸鏈總長(zhǎng)度

Δx——鉸鏈轉(zhuǎn)動(dòng)后末端在x方向的位移

Δz——鉸鏈轉(zhuǎn)動(dòng)后末端在z方向的位移

當(dāng)鉸鏈轉(zhuǎn)角為30°時(shí)，由式(19)可得，外LET柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動(dòng)中心漂移量為0.405 mm，Nested- LET柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動(dòng)中心漂移量為0.352 mm，Nested- LET較好地保證了鉸鏈在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的轉(zhuǎn)動(dòng)精度。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)鉸鏈的抗拉性能，用鈹青銅加工外LET和Nested- LET柔性鉸鏈，如圖12所示。由于加工制造誤差，外LET鉸鏈實(shí)際尺寸為24.97 mm×49.89 mm，Nested- LET鉸鏈實(shí)際尺寸為24.91 mm×50.21 mm。使用UTM系列萬(wàn)能實(shí)驗(yàn)機(jī)，選擇拉伸楔形夾具將鉸鏈兩端夾緊，控制該儀器對(duì)試樣一端進(jìn)行拉伸，實(shí)驗(yàn)速度為0.1 mm/min。通過(guò)力傳感器實(shí)時(shí)采集試樣鉸鏈?zhǔn)艿降睦ΓY(jié)果由計(jì)算機(jī)輸出。

圖12 外LET、Nested- LET加工實(shí)物圖Fig.12 Fabricated prototypes of outside LET and Nested- LET joints

拉伸實(shí)驗(yàn)臺(tái)如圖13a所示，圖13b、13c分別為拉力為30 N時(shí)外LET鉸鏈及Nested- LET柔性鉸鏈的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。為了更清晰地觀察位移變形量，使用數(shù)顯游標(biāo)卡尺測(cè)量30 N拉力作用下各鉸鏈的拉伸變形，由圖13可得，外LET鉸鏈變形量為0.43 mm，Nested- LET鉸鏈變形量為0.02 mm，外LET變形量是Nested- LET的21.5倍。2種鉸鏈在不同拉力作用下的仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖14所示，實(shí)測(cè)與仿真結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了分析的正確性，但也存在一定的誤差，主要由加工制造誤差、設(shè)備實(shí)驗(yàn)誤差、測(cè)量誤差等各種因素造成。實(shí)測(cè)結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了Nested- LET鉸鏈的抗拉性能得到了大幅度改善。

圖13 外LET、Nested- LET實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.13 Comparison of experimental results between outside LET and Nested- LET joints

圖14 外LET、Nested- LET仿真、實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.14 Comparison of FEA and experimental results between outside LET and Nested- LET joints

5 結(jié)論

(1)提出了一種Nested- LET柔性鉸鏈，設(shè)計(jì)了該柔性鉸鏈的結(jié)構(gòu)，分別對(duì)其彎曲等效剛度、拉壓等效剛度進(jìn)行了理論公式的推導(dǎo)，分析了誤差產(chǎn)生的原因并給出對(duì)應(yīng)的修正系數(shù)。通過(guò)實(shí)例的理論計(jì)算與有限元仿真分析驗(yàn)證了理論公式與修正系數(shù)的準(zhǔn)確性。

(2)對(duì)Nested- LET柔性鉸鏈與外形尺寸相同的外LET柔性鉸鏈的性能進(jìn)行了對(duì)比與分析，結(jié)果表明Nested- LET柔性鉸鏈在彎曲性能下降不明顯的情況下，拉壓剛度得到很大提升，轉(zhuǎn)動(dòng)中心漂移量有所下降。通過(guò)對(duì)兩柔性鉸鏈進(jìn)行拉伸實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了分析的正確性。因此，嵌套式構(gòu)型的鉸鏈能夠有效改善柔性鉸鏈的抗拉壓性能，縮小轉(zhuǎn)動(dòng)中心漂移量，是一種精度較高的柔性鉸鏈。

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