易 平， 楊 濰 寧， 謝 東 赤

( 大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部, 遼寧 大連 116024 )

0 引 言

工程實(shí)踐中往往無法得到結(jié)構(gòu)功能與結(jié)構(gòu)隨機(jī)變量的顯式表達(dá)式，因而常用的可靠性分析方法不能得到有效運(yùn)用．基于工程結(jié)構(gòu)有限元軟件和計(jì)算機(jī)隨機(jī)數(shù)生成，計(jì)算工程結(jié)構(gòu)可靠度的蒙特卡羅法得到重要運(yùn)用．但由于隨機(jī)模擬次數(shù)多，計(jì)算成本大，蒙特卡羅法計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度也有很大的局限性．鑒于這種情況，張哲等引入代理模型方法計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度[1]．

代理模型是指通過數(shù)學(xué)手段構(gòu)造計(jì)算量小，但計(jì)算結(jié)果與數(shù)值分析或物理實(shí)驗(yàn)結(jié)果相近的近似數(shù)學(xué)模型，以代替原分析模型．傳統(tǒng)二次多項(xiàng)式響應(yīng)面法(response surface method，RSM)和Kriging方法是目前常用的兩種代理模型．Kriging 方法最早于1951年由南非地質(zhì)學(xué)家Krige提出；1989年Sacks等[2]建立了用于計(jì)算機(jī)試驗(yàn)設(shè)計(jì)(design and analysis of computer experiments，DACE)的Kriging方法；Lophaven等[3]采用Matlab編程實(shí)現(xiàn)了Kriging方法的DACE工具箱．Kriging代理模型在結(jié)構(gòu)領(lǐng)域中多用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)[4-5]．王紅等[6]基于Kriging代理模型提出了混合優(yōu)化算法，成功提高了高維參數(shù)優(yōu)化問題的計(jì)算效率．

Kaymaz[7]首先將Kriging方法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)可靠性分析，并與傳統(tǒng)響應(yīng)面法做了比較．2011年，陳志英等[8]采用粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization，PSO)算法搜索Kriging近似模型參數(shù)的最優(yōu)值，分析了渦輪盤低循環(huán)疲勞的可靠度．2013年，馮歡歡等[9]應(yīng)用樣本重復(fù)使用的策略，充分利用迭代過程中的樣本點(diǎn)避免了資源信息的浪費(fèi)，有效地提高了可靠度的計(jì)算效率和精度．2015年，Yi等[10]提出了樣本選擇累積策略即優(yōu)先選擇更接近極限狀態(tài)曲面的點(diǎn)，并利用該策略基于傳統(tǒng)響應(yīng)面模型和改進(jìn)Kriging模型進(jìn)行了邊坡穩(wěn)定可靠度研究．

目前代理模型在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中得到了廣泛應(yīng)用，但其在結(jié)構(gòu)可靠性分析中仍然沒有普及．代理模型方法作為一種計(jì)算精度高、近似誤差小的可靠性分析方法擁有廣闊的前景．本文采用基于粒子群優(yōu)化的Kriging方法(PSO-Kriging)計(jì)算功能函數(shù)的可靠指標(biāo)并與傳統(tǒng)響應(yīng)面法(RSM)做對比，同時(shí)研究多次擬合近似代理模型過程中的樣本全部累積和選擇累積策略，最后將基于粒子群優(yōu)化的Kriging方法運(yùn)用于實(shí)際結(jié)構(gòu)的可靠性分析．

1 結(jié)構(gòu)可靠性理論

結(jié)構(gòu)在規(guī)定時(shí)間內(nèi)和規(guī)定條件下，完成預(yù)定功能的概率稱為結(jié)構(gòu)可靠度，該預(yù)定功能可以通過如下功能函數(shù)表達(dá)：

Y=g(x1，x2，…，xn)

(1)

其中x1，x2，…，xn為n個隨機(jī)變量；Y>0表示結(jié)構(gòu)可靠，Y<0表示結(jié)構(gòu)失效．

工程中一般多用失效概率Pf反映結(jié)構(gòu)可靠度，Pf為失效域內(nèi)聯(lián)合概率密度函數(shù)的多維積分．當(dāng)隨機(jī)變量增多時(shí)，通過數(shù)值積分求解失效概率非常困難甚至不可行，因此引入可靠指標(biāo)β的概念．可靠指標(biāo)β和失效概率Pf通過下式進(jìn)行轉(zhuǎn)換：

β=-Φ-1(Pf)

(2)

由于結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，一般很難寫出其顯式功能函數(shù)，代理模型方法是求解此類問題的一種有效方法．代理模型方法利用有限次數(shù)的結(jié)構(gòu)分析結(jié)果擬合一個顯式表達(dá)式近似代替未知的功能函數(shù)進(jìn)行可靠指標(biāo)計(jì)算．

2 代理模型方法

基于代理模型方法進(jìn)行可靠性分析，首先要通過試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法選取樣本點(diǎn)．拉丁超立方抽樣(Latin hypercube sampling，LHS)是一種多維分層抽樣方法，其基本思想是在試驗(yàn)空間內(nèi)等概率抽樣，將每個變量的抽樣空間劃分為N個(樣本點(diǎn)數(shù))等概率的子空間，從而整個試驗(yàn)空間被劃分為Nn個等概率的子空間，在這些子空間中進(jìn)行隨機(jī)變量的取值配對，最終得到N個樣本點(diǎn)[11]．前期的一些研究工作表明拉丁超立方抽樣試驗(yàn)均衡性較好，實(shí)現(xiàn)簡單，所以本文采用LHS方法選取樣本點(diǎn)．利用LHS選取樣本點(diǎn)后，分別基于傳統(tǒng)響應(yīng)面模型和Kriging模型進(jìn)行可靠性分析．

2.1 傳統(tǒng)響應(yīng)面法(RSM)

傳統(tǒng)響應(yīng)面法又稱多項(xiàng)式響應(yīng)面法，是一種應(yīng)用廣泛的代理模型方法．近似模型通常采用不含交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式形式：

g-(x)=a0+∑ni=1aixi+∑ni=1aiix2i

(3)

a=(a0aiaii)T，為2n+1個待定系數(shù)．進(jìn)行m(m≥2n+1)次獨(dú)立試驗(yàn)，得到其對應(yīng)的響應(yīng)值，組成用于確定系數(shù)a的方程組，然后利用最小二乘QR分解算法(least squares QR，LSQR)[12]確定待定系數(shù)得到近似函數(shù)．

2.2 Kriging方法

Kriging模型由回歸項(xiàng)和隨機(jī)誤差項(xiàng)兩部分組成：

g-(x)=∑pj=1βjfj(x)+z(x)

(4)

式中：βj為回歸系數(shù)，fj(x)表示基函數(shù)，z(x)為隨機(jī)誤差．隨機(jī)誤差z(x)是Kriging方法與RSM最主要的不同點(diǎn)，以下是隨機(jī)誤差z(x)的主要性質(zhì)：

E[z(x)]=0； var[z(x)]=σ2cov [z(xi)，z(xj)]=σ2R(xi，xj)

(5)

R為含有參數(shù)θ的關(guān)于樣本點(diǎn)xi和xj的相關(guān)函數(shù)，通常采用如式(6)所示的高斯函數(shù)[13]：

(6)

其中θk為參數(shù)向量θ的第k個元素．參數(shù)θ的取值影響著Kriging模型的精度，需要獲取極大似然意義下的最優(yōu)相關(guān)參數(shù)θ，從而確保Kriging預(yù)測結(jié)果的最優(yōu)無偏性．

Lophaven等編寫了Kriging方法的Matlab程序——DACE工具箱[3]．在DACE工具箱中，利用輸入的樣本點(diǎn)和響應(yīng)值得到相應(yīng)的參數(shù)值，進(jìn)而根據(jù)式(4)得到功能函數(shù)的顯式表達(dá)．DACE工具箱采用模式搜索法尋找最優(yōu)參數(shù)θ，這種方法需要給定初始點(diǎn)θ0，θ0對Kriging模型的精度有很大影響，θ0取值不當(dāng)會使得參數(shù)θ陷入局部最優(yōu)，從而降低Kriging模型的精度．為了避免初值選擇對Kriging模型的影響，本文采用粒子群優(yōu)化(PSO)算法[14]搜索最優(yōu)參數(shù)θ．有別于模式搜索法，PSO算法不需要給定初始點(diǎn)θ0，采用多點(diǎn)并行搜索，種群中各粒子在搜索過程中實(shí)現(xiàn)信息共享，每個粒子追隨自身最優(yōu)位置和種群最優(yōu)位置，通過不斷調(diào)整自身的坐標(biāo)和速度在解空間中進(jìn)行搜索，最終趨近最優(yōu)解．

為了對比Kriging模型和傳統(tǒng)響應(yīng)面模型的差異，選取二維非線性測試函數(shù)，函數(shù)表達(dá)式如下：

2sin 2x1sin 2x2

變量x1和x2的取值范圍為[0.5，3.5]，采用LHS方法選取55個樣本點(diǎn)(圖1(b)、(c)所示的黑色散點(diǎn))．分別使用PSO-Kriging和RSM對函數(shù)擬合，并畫出近似函數(shù)圖像，如圖1所示．

(a) 原函數(shù)圖像

(b) PSO-Kriging

(c) RSM

圖1 原函數(shù)、Kriging模型和RSM模型近似曲面對比

Fig.1 Comparison of original function image with the approximate surface of Kriging and RSM models

從圖1可以看出，PSO-Kriging較好地?cái)M合了原函數(shù)，樣本點(diǎn)都落在近似曲面上．而基于RSM的近似函數(shù)圖像和原函數(shù)圖像出入很大，樣本點(diǎn)也多不在近似曲面上．這表明當(dāng)擬合非線性程度較高的函數(shù)時(shí)，Kriging模型的擬合精度要高于傳統(tǒng)響應(yīng)面模型．這也很容易理解，由于RSM中近似功能函數(shù)的表達(dá)形式完全預(yù)設(shè)，當(dāng)真實(shí)功能函數(shù)的非線性程度增加時(shí)，RSM很難構(gòu)造精度很高的近似函數(shù)．

3 樣本累積

使用代理模型方法求解結(jié)構(gòu)可靠度時(shí)，由于其近似性需多次擬合功能函數(shù)，多次求得近似可靠指標(biāo)直至收斂．首次擬合功能函數(shù)時(shí)通常選擇隨機(jī)變量的均值點(diǎn)作為抽樣中心，利用LHS方法產(chǎn)生2n+1個樣本點(diǎn)；后續(xù)迭代中則以前一次求得的驗(yàn)算點(diǎn)作為抽樣中心選取新的樣本點(diǎn)．傳統(tǒng)方法是每次迭代生成2n+1個樣本點(diǎn)，只利用新生成的樣本點(diǎn)構(gòu)造功能函數(shù)．下章算例表明這種擯棄舊樣本點(diǎn)信息的方法在求解可靠指標(biāo)的精度和效率上都不高．

樣本累積即樣本重復(fù)利用，將歷史樣本點(diǎn)和新的樣本點(diǎn)組合在一起共同構(gòu)造代理模型，計(jì)算可靠指標(biāo)，不斷循環(huán)直至收斂．其方法流程如圖2所示．

圖2 基于樣本累積的代理模型方法流程圖Fig.2 Flow chart of surrogate model based on sample accumulation

樣本累積可分為樣本全部累積和樣本選擇累積．樣本全部累積是指在第k(k>1)次迭代中，將之前k-1次迭代用到的所有樣本點(diǎn)累積到本次迭代產(chǎn)生的2n+1個樣本點(diǎn)中，利用k×(2n+1)個樣本點(diǎn)構(gòu)造代理模型計(jì)算可靠指標(biāo)．而樣本選擇累積是指從上次迭代使用的樣本點(diǎn)中選擇距離極限狀態(tài)面最近的l個樣本點(diǎn)，即使得響應(yīng)Y絕對值最小的l個樣本點(diǎn)，累積到本次迭代產(chǎn)生的2n+1個樣本點(diǎn)中，利用2n+1+l個樣本點(diǎn)構(gòu)造代理模型計(jì)算可靠指標(biāo)．在接下來的算例中分別使用樣本不累積、樣本全部累積以及樣本選擇累積進(jìn)行可靠性分析，并進(jìn)行比較．

4 算例分析

下面的兩個顯式算例均使用LHS方法每次迭代選取2n+1個樣本點(diǎn)，其中選擇樣本累積時(shí)l=2n+1．近似功能函數(shù)則分別采用基于粒子群優(yōu)化的Kriging方法(PSO-Kriging)和傳統(tǒng)響應(yīng)面法(RSM)構(gòu)造，最后根據(jù)可靠指標(biāo)β的幾何意義[15]利用Matlab優(yōu)化工具箱求解可靠指標(biāo)β．同時(shí)使用一次二階矩計(jì)算可靠指標(biāo)，對比計(jì)算效率和計(jì)算精度．收斂標(biāo)準(zhǔn)均設(shè)為βi-βi-1≤0.001．使用蒙特卡羅法計(jì)算可靠指標(biāo)作為參考解，其中蒙特卡羅法所必需的樣本點(diǎn)數(shù)M通過下式進(jìn)行估算：

(7)

基于PSO-Kriging和RSM，在迭代過程中采用3種不同的樣本處理方法，計(jì)算功能函數(shù)g(x)的可靠指標(biāo)，并與蒙特卡羅法計(jì)算的參考解相對照，計(jì)算結(jié)果如表1所示．

表1 算例1中不同方法的計(jì)算結(jié)果

由表1可以看出，綜合考慮3種樣本使用情況，在保證計(jì)算精度前提下，PSO-Kriging的計(jì)算效率要高于RSM．不論是PSO-Kriging還是RSM，迭代過程采用樣本累積都提高了計(jì)算效率，其中樣本選擇累積在計(jì)算效率上要優(yōu)于樣本全部累積．針對該顯式算例，傳統(tǒng)的一次二階矩具有較高的計(jì)算效率和計(jì)算精度．

表2 算例2中不同方法的計(jì)算結(jié)果

由表2可以看出，無論是使用PSO-Kriging還是RSM，樣本不累積時(shí)都不能得到最終的收斂解．若迭代過程中樣本全部累積，PSO-Kriging經(jīng)過5次迭代25次函數(shù)計(jì)算得到最終的可靠指標(biāo)值；RSM的計(jì)算效率略低，經(jīng)過11次迭代55次函數(shù)計(jì)算得到收斂解．對于RSM，樣本選擇累積在計(jì)算效率和計(jì)算精度上均要高于樣本全部累積，但對于PSO-Kriging，樣本選擇累積較樣本全部累積只稍提高了計(jì)算精度．此外樣本累積的PSO-Kriging的計(jì)算效率和計(jì)算精度要高于傳統(tǒng)的一次二階矩．

由以上兩個數(shù)值算例可知，迭代過程中累積之前的樣本點(diǎn)避免了資源的浪費(fèi)，使迭代更加高效穩(wěn)定．對于RSM，樣本選擇累積較樣本全部累積提高了計(jì)算精度和效率；而對于PSO-Kriging，樣本選擇累積較樣本全部累積的優(yōu)勢不明顯．但整體來看，PSO-Kriging明顯比RSM效率高，所以接下來的3個結(jié)構(gòu)可靠性分析隱式算例采用PSO-Kriging．

圖3 多層框架結(jié)構(gòu)Fig.3 Multi-story frame structure

表3 算例3中隨機(jī)變量信息

表4 算例3中不同方法的計(jì)算結(jié)果

算例4一板柱結(jié)構(gòu)如圖4所示[18]，其寬度為6 m，柱間距為5 m，層高為3 m．板的厚度為0.2 m，方柱的名義邊長為0.5 m，材料彈性模量為200 GPa，泊松比為0.3，密度為7 800 kg/m3．取結(jié)構(gòu)每層方柱實(shí)際邊長與名義邊長的比值ki為隨機(jī)變量，各個隨機(jī)變量相互獨(dú)立，其統(tǒng)計(jì)特征值列于表5．進(jìn)行結(jié)構(gòu)模態(tài)分析，當(dāng)結(jié)構(gòu)基頻超過4.107 2 Hz時(shí)認(rèn)為結(jié)構(gòu)失效，求其可靠指標(biāo)．計(jì)算結(jié)果如表6所示．

圖4 板柱結(jié)構(gòu)Fig.4 The slab-column structure

表5 算例4中隨機(jī)變量信息

表6 算例4中不同方法的計(jì)算結(jié)果

算例5圖5所示矩形薄板[19]的尺寸為0.254 0 m×0.304 8 m，在位于角點(diǎn)到中點(diǎn)距離的2/7處設(shè)置4個支撐．板的邊緣和對稱線上分別施加Q1=26.27 kN/m和Q2=35.02 kN/m的分布荷載．根據(jù)對稱性，選擇板的1/4建立如圖6所示的有限元模型，共49個四節(jié)點(diǎn)板單元，所有單元采用密度為2 134 kg/m3的同一種材料．板厚采用變量聯(lián)接技術(shù)(如圖6所示，顏色相同的單元的板厚用同一個變量表示)．7個板厚和材料彈性模量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其統(tǒng)計(jì)信息列于表7．功能函數(shù)取為板中點(diǎn)的垂直位移要小于0.152 4 mm．計(jì)算結(jié)果如表8所示．

圖5 矩形薄板Fig.5 A rectangular plate

由以上3個工程算例可知，基于PSO-Kriging 代理模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠性分析，若未進(jìn)行樣本累積，有可能迭代過程振蕩不能收斂到最終的可靠指標(biāo)值；采用樣本累積能顯著改善收斂性能，樣本選擇累積在計(jì)算效率和計(jì)算精度上都要優(yōu)于樣本全部累積．在分析結(jié)構(gòu)算例時(shí)，常用的一次二階矩的計(jì)算效率較低，且誤差較大．

圖6 矩形薄板的有限元模型Fig.6 Finite element model for the rectangular plate

表7 算例5中隨機(jī)變量信息

表8 算例5中不同方法的計(jì)算結(jié)果

5 結(jié)論與展望

(1)RSM難以對非線性程度高的極限狀態(tài)曲面作出較好的擬合，PSO-Kriging有良好的預(yù)測能力，無論是在計(jì)算效率還是精度上都要優(yōu)于RSM．

(2)迭代過程中摒棄之前迭代樣本點(diǎn)信息的做法造成了資源的浪費(fèi)，增加了迭代次數(shù)和計(jì)算誤差，甚至造成迭代過程振蕩不收斂．

(3)迭代過程中采用樣本累積能顯著改善收斂性能，提高收斂速度，得到較為精確的可靠指標(biāo)值；樣本選擇累積在計(jì)算效率和計(jì)算精度上通常都優(yōu)于樣本全部累積，但有時(shí)對效率的改善不明顯，后續(xù)工作應(yīng)繼續(xù)研究樣本選擇方法，嘗試?yán)肒riging方法不僅能提供最優(yōu)無偏預(yù)測，而且能對預(yù)測結(jié)果誤差作定量估計(jì)的特性，構(gòu)造學(xué)習(xí)函數(shù)進(jìn)行樣本選擇．

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