張慧娟 李 冬

（中國人民解放軍92124部隊 大連 116023）

1 引言

工程測量中，由于受到各種環(huán)境因素的影響，測試信號常伴隨趨勢項，這嚴(yán)重影響時域分析和頻域分析某些參數(shù)的估計精度。趨勢項會產(chǎn)生低頻峰值，淹沒高頻分量信息，降低頻譜結(jié)果的可讀性，嚴(yán)重時使譜分析喪失原有的物理意義。如何將數(shù)據(jù)中包含的趨勢項提取的同時保證數(shù)據(jù)的可靠性和真實性，是振動數(shù)據(jù)處理的重要的研究方向之一。

試驗振動數(shù)據(jù)中常見的趨勢項類型可以主要概括為三種，即線性趨勢項、指數(shù)型趨勢項和多項式趨勢項。其中對于線性趨勢項提取處理最為簡單，但大多數(shù)振動數(shù)據(jù)含有的趨勢項較為復(fù)雜，線性方法往往難以滿足需要。文獻(xiàn)［1～4］中的方法，對指數(shù)性趨勢項的提取較為準(zhǔn)確，但由于其對低頻分量較為敏感，處理時會將部分真實信號當(dāng)作趨勢項，造成真實信號的損失；對多項式趨勢項的提取，取決于多項式的階數(shù)，如果對多項式階數(shù)估計不準(zhǔn)確，會造成較大誤差。經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解［5～6］（Empirical Mode Decomposition，EMD）是針對非平穩(wěn)信號的一種有效的分解方法，在結(jié)構(gòu)識別、外彈道降噪等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用［7～8］。為了得到高精度的振動數(shù)據(jù)處理結(jié)果，文中設(shè)計的方法利用經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解結(jié)合對信號相關(guān)性的分析判決，提出一種適用于振動數(shù)據(jù)趨勢項處理的新方法，既發(fā)揮了EMD對與被提取趨勢項類型具有普適性的優(yōu)點，同時考慮被提取信號的特征，保證了信號不被污染。

2 EMD基本原理和實現(xiàn)過程

經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（EMD）分解是將目標(biāo)信號分解為若干按頻率高低排列的固有模態(tài)函數(shù)（Intrinsic Mode Function，IMF）。把隨機(jī)序列分解為若干固有模態(tài)函數(shù)IMF的線性組合稱為IMFs，對于每個單分量信號IMF必須保證滿足兩個條件：1）就整個時間序列來說，極值的個數(shù)和過零點的個數(shù)必須相等或只相差1；2）在任何一點，最大值和最小值形成的上下包絡(luò)線的均值為零。EMD與小波分析［9～10］相比具有無需驗前選定基函數(shù)等先驗信息的優(yōu)點。EMD算法的基本流程為

圖1 EMD算法流程

設(shè)X(t)是信號的時間序列，EMD方法對信號的分解模型可概括為：通過計算，得到測試信號X(t)的所有局部極值；用三次樣條函數(shù)擬合方法［11］求解測試信號中所有的極大值點構(gòu)成的上包絡(luò)線與所有極小值點構(gòu)成的下包絡(luò)線，分別記作emax(t)和emin(t)；上、下包絡(luò)的均值為原信號的平均包絡(luò)線：m(t)=[emin(t)+emax(t)]，原信號減去均值X(t)-m(t)=h(1)(t)得到新的信號h(1)(t)；判斷新信號是否滿足IMF的兩條性質(zhì)。若滿足，則h(1)(t)為IMF。否則，將h(1)(t)作為X(t)，重復(fù)以上過程，假定經(jīng)過k次分解后得到的h(k)(t)滿足IMF性質(zhì)，則X(t)的第一階IMF分量就是c1(t)=h(k)(t)；接下來記X1(t)=X(t)-c1(t)為原始信號，依次重復(fù)前述過程，得到第二個IMF分量，記作c2(t)，余項為X2(t)=X1(t)-c2(t)。重復(fù)上述步驟，直到的余項Xm(t)是一個單調(diào)信號或Xm(t)的值無法分解為止；分解完成后，可得到m個IMFs，c1(t)，c2(t)，…，cm(t)，最終的殘余項記為Xm(t)。由于實際數(shù)據(jù)中常含有不可消除的系統(tǒng)誤差，采用無偏估計時應(yīng)注意到，對于IMFs上、下包絡(luò)線均值為零的要求，顯然太過嚴(yán)格，結(jié)合振動數(shù)據(jù)處理特性，在實際處理時，可適當(dāng)放寬，只要滿足包絡(luò)線均值小于某個閾值ε，即可認(rèn)為h(k)(t)滿足IMF性質(zhì)。其中ε的值，根據(jù)實際工程背景，取為ε∈[0.2,0.3]。

3 相關(guān)系數(shù)判決的EMD趨勢項提取方法

相關(guān)系數(shù)又稱皮氏積矩相關(guān)系數(shù)，是說明兩個變量之間相關(guān)關(guān)系密切程度的統(tǒng)計分析指標(biāo)。振動信號中包含非常豐富信息，其中真實信號與原始信號具有強(qiáng)相關(guān)性。大量的工程實踐統(tǒng)計結(jié)果證明，通常在作EMD分解時，IMF分量與原信號之間的相關(guān)系數(shù) ||ζ＜0.1，認(rèn)為IMF分量與真實信號基本不再具有相關(guān)性，分解得到的余項或者最低1-2階即是信號中的趨勢項，下面以仿真信號s(t)=sin(2p×20t)+sin(2p×40t)為處理對象，說明利用相關(guān)系數(shù)判決的EMD趨勢項提取過程。

3.1 線性趨勢項

將線性信號作為趨勢項，疊加到處理對象中，構(gòu)造新的待分解信號［12］，得到的新信號為s(t)=sin(2p×20t)+sin(2p×40t)+x。

圖2 含有線性趨勢項的待分解信號

將混疊有線性趨勢項的信號作為新的處理對象，使用EMD方法進(jìn)行分解，原信號被分解為3個固有模態(tài)函數(shù)分量及余項，如圖3所示。

圖3 EMD法分解帶有線性趨勢項的信號

對EMD分解后得到的每個IMF分量分別求解其相關(guān)系數(shù)矩陣，結(jié)果為

相關(guān)系數(shù)矩陣對角線上的數(shù)，即為各個IMF分量與原信號之間的相關(guān)系數(shù)，得到的結(jié)果分別是：ζi1=0.691，ζi2=0.693，ζi3=-0.026；現(xiàn)認(rèn)為當(dāng)相關(guān)系數(shù) ||ζ≥0.1時，該IMF分量與原信號具有相關(guān)性。據(jù)此可得固有模態(tài)函數(shù)IMF1和IMF2與原信號具有較強(qiáng)的相關(guān)性，而IMF3與原信號之間幾乎不具有相關(guān)性。因此，可認(rèn)為IMF3與余項疊加后得到的信號分量就是趨勢項。

將使用EMD法提取出的趨勢項與仿真信號中加入的趨勢項進(jìn)行比較，其中用實線表示前者，而用虛線表示后者。比較的結(jié)果如圖4所示。

圖4 比較提取結(jié)果與加入的線性擾動

使用EMD法提取出的趨勢項與仿真信號中加入的線性信號作差，得到的殘差如圖5所示。

圖5 提取趨勢項與真實趨勢項殘差

3.2 指數(shù)型趨勢項

仿真得到指數(shù)型趨勢項，將該趨勢項疊加到仿真信號中，新的信號作為待分解信號，如圖6所示。

圖6 含有指數(shù)型趨勢項的待分解信號

使用EMD法對新的信號進(jìn)行分解，分解后得到四個由高頻至低頻排列的IMF分量及余項，如圖7所示。

分別對原信號分解得到的各個IMF分量求解其相關(guān)系數(shù)矩陣，如下：

圖7 分解指數(shù)型趨勢項

由相關(guān)系數(shù)矩陣可知，各IMF分量與原信號之間 的 相 關(guān) 系 數(shù) 為 ：ζi1=0.690，ζi2=0.691，ζi3=-0.034，ζi4=0.083；根據(jù)相關(guān)系數(shù)判定趨勢項的方法可知，固有模態(tài)函數(shù)分量IMF1與IMF2與原信號的相關(guān)性較強(qiáng)，認(rèn)為是信號中的有用信息，而后兩項與原信號之間相關(guān)性較弱，所以后兩項與余項疊加后即認(rèn)為是仿真信號中帶有的趨勢項，分離出的趨勢項如圖8所示。

圖8 比較提取結(jié)果與加入的指數(shù)型擾動

使用EMD法提取出的趨勢項與仿真信號中加入的指數(shù)型趨勢項作差，得到的殘差如圖9所示。

圖9 提取結(jié)果與真實值殘差

4 新方法提取實測數(shù)據(jù)趨勢項算例分析

利用某試驗中獲取的一段加速度數(shù)據(jù)，對文中提出的方法加以驗證，原信號的時間序列如圖10所示。

圖10 某試驗加速度數(shù)據(jù)片段

該信號帶有未知的趨勢項。首先，將對該加速度信號進(jìn)行EMD分解，分解的結(jié)果如圖11所示，該信號被分解為5個IMF分量和余項?，F(xiàn)設(shè)定IMF分量與信號的相關(guān)系數(shù)閾值為0.1，認(rèn)為當(dāng)閾值小于0.1時，該分量與信號不具有相關(guān)性，應(yīng)將其作為趨勢項處理。所得到的5個IMF分量與信號的相關(guān)系數(shù)見表1。

表1 IMF分量與信號的相關(guān)系數(shù)表

由表1可知固有模態(tài)函數(shù)IMF5與待分解信號幾乎不相關(guān)，因此，將IMF5以及余項疊加后，即得到趨勢項。通過EMD分解，對加速度原始數(shù)據(jù)各IMF分量進(jìn)行提取，本例經(jīng)過5次分解成功提取出滿足限定條件的頻帶及趨勢項，如圖12所示。實例表明，EMD分解是目前提取數(shù)據(jù)序列趨勢項的十分有效的方法。

圖12 趨勢項提取結(jié)果

圖13 去除趨勢項后的真實信號

EMD方法在無需預(yù)設(shè)趨勢項類型的前提下，通過自然分解的方式，從實測信號中提取出趨勢項，再將剩余的部分疊加即可得到原始信號，該加速度的原始信號如圖13所示，EMD方法得到的趨勢項真實反映了原始測量信號的實際變化趨勢。

5 結(jié)語

文中對振動數(shù)據(jù)中存在趨勢項的可能性及原因進(jìn)行了分析，并對利用經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解提取振動數(shù)據(jù)中趨勢項的方法進(jìn)行了研究，仿真和實測數(shù)據(jù)計算結(jié)果證明，屬于真實信號部分的IMF分量與真實信號之間具有較大相關(guān)性，而屬于趨勢項的IMF分量與真實信號相關(guān)性較小。因此，可設(shè)定閾值，當(dāng)相關(guān)系數(shù)大于閾值時判定為真實信號分量，反之則為趨勢項部分。最后將判定為趨勢項的IMF分量相加得到最終趨勢項。該方法能夠有效地對信號中的趨勢項進(jìn)行提取，并盡可能保留原信號中的有用信息不受損失，保證了信號的完整性。根據(jù)算例中的信號特性，該方法可應(yīng)用于外彈道測量數(shù)據(jù)的趨勢項提取和遙測測量中的振動信號處理工作。

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