苑仁令，向鳳紅，毛劍琳，郭 寧

(昆明理工大學(xué) 信息工程與自動(dòng)化學(xué)院，云南 昆明 650500)

板球系統(tǒng)是一個(gè)多變量、強(qiáng)耦合和不確定性的非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，主要用于學(xué)習(xí)和研究各種控制算法[1-2]。其控制目的是控制自由滾動(dòng)的小球運(yùn)動(dòng)到指定位置或按照給定軌跡運(yùn)動(dòng)。

本文以固高GBP2001型系統(tǒng)作為研究對象，PID控制具有算法簡單、易于實(shí)現(xiàn)、穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)，在板球系統(tǒng)控制中得到廣泛應(yīng)用。由于實(shí)際系統(tǒng)的耦合性、非線性和不確定性，以及PID參數(shù)整定方法復(fù)雜和需要精確的數(shù)學(xué)模型等，PID控制在實(shí)際系統(tǒng)控制中控制效果并不理想[3-4]。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以其強(qiáng)大的非線性映射能力、并行處理能力和自學(xué)習(xí)能力，非常適用于非線性不確定系統(tǒng)控制[5-6]。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，徑向基函數(shù)(RBF-Radial Basis Function)神經(jīng)網(wǎng)整定PID參數(shù)的方法較其它神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制具有超調(diào)量小、適應(yīng)性強(qiáng)等特點(diǎn)，較傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制效果更優(yōu)[7-8]。但傳統(tǒng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)固定、如何確定隱含層的節(jié)點(diǎn)數(shù)和響應(yīng)數(shù)據(jù)中心、平衡好控制速度和精度兩方面的要求仍是RBF網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)的難點(diǎn)。此外，PID參數(shù)整定采用梯度下降法，使網(wǎng)絡(luò)在控制初期學(xué)習(xí)速度慢、適應(yīng)能力不強(qiáng)等缺點(diǎn)，針對上述問題國內(nèi)外學(xué)者提出了很多改進(jìn)算法[9-14]。文獻(xiàn)[9]采用離子群算法優(yōu)化RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，不僅改善了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性能也提高了PID控制器的性能；在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)調(diào)整和PID參數(shù)調(diào)整中文獻(xiàn)[10]引入動(dòng)量因子和增速率的概念，減輕了系統(tǒng)的震蕩也較傳統(tǒng)PID控制具有較好的魯棒性和較快的響應(yīng)速度；文獻(xiàn)[11]應(yīng)用LM(Levenberg-Marquardt)算法代替梯度下降法整定PID參數(shù)，使控制系統(tǒng)的快速性明顯提高；文獻(xiàn)[12]采用RLS算法和梯度法相融合的新型學(xué)習(xí)算法，克服了不確定性對控制系統(tǒng)的不利影響和PID控制需要精確數(shù)模型的問題；文獻(xiàn)[13]采用動(dòng)態(tài)RBF (隱節(jié)點(diǎn)數(shù)目在學(xué)習(xí)中不斷改變的網(wǎng)絡(luò)通過資源分配網(wǎng)絡(luò)(RAN)用于函數(shù)擬合) 網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測控制并通過改進(jìn)M-RAN(Minimal RAN)算法[14]，該算法加快了對非線性系統(tǒng)的辨識速度解決了系統(tǒng)時(shí)滯問題。

本文針對系統(tǒng)震蕩較嚴(yán)重的問題。在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)調(diào)整過程中引入動(dòng)量因子減小系統(tǒng)控制過程中的震蕩作用。針對系統(tǒng)控制時(shí)間長的問題，采用LM算法代替梯度下降法在線整定PID參數(shù)，進(jìn)而將本文算法應(yīng)用到實(shí)物系統(tǒng)位置控制實(shí)驗(yàn)中。

1 板球系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析

由于板球系統(tǒng)是一個(gè)典型的非線性系統(tǒng)，難以獲得準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，因此在推導(dǎo)過程中進(jìn)行如下假定，以方便模型的簡化和線性化。(1)忽略所有摩擦力；(2)不考慮板的角度和面積的限制；(3)任何情況下球、板都接觸；(4)球在板上沒有滑動(dòng)。

圖1 板球系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

對圖1所示板球系統(tǒng)模型，通過動(dòng)力學(xué)分析，利用牛頓定律或拉格朗日方程，計(jì)算得到完整的非線性耦合的板球系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

(1)

(2)

式中，m表示小球質(zhì)量r表示小球半徑；x，y表示小球在球盤中的坐標(biāo)；α，β表示球盤x，y方向的傾角；Ib表示小球質(zhì)心轉(zhuǎn)到慣量；h為球盤距球盤回轉(zhuǎn)中心距離。

非線性方程式(1)和式(2)在采用線性控制理論設(shè)計(jì)控制器時(shí)很難得到應(yīng)用。因此，當(dāng)在板球的工作點(diǎn)附近時(shí)，可以將其線性化，得到板球系統(tǒng)的簡化線性數(shù)學(xué)模型如式(3)和式(4)所示。

(3)

(4)

2 改進(jìn)的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制器

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種前饋式3層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其模擬了人腦中局部調(diào)整、相互覆蓋接受域的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，已證明它能以任意精度逼近任意非線性函數(shù)[15]。將其與PID控制器結(jié)合形成RBF-PID控制器，通過RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線辨識得到Jacobian信息，通過整定算法在線整定PID控制器的參數(shù)。該控制器的結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。

圖2 控制結(jié)構(gòu)框圖

2.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是包括一個(gè)輸入層、一個(gè)隱含層和一個(gè)輸出層的3層結(jié)構(gòu)。其中，輸入層與隱含層之間是非線性變換關(guān)系，隱含層與輸出層是線性關(guān)系。各層神經(jīng)元之間運(yùn)算關(guān)系如圖4所示。

圖3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)運(yùn)算結(jié)構(gòu)

在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，X=[x1,x2,…xn]T 是網(wǎng)絡(luò)的輸入向量。網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)過程中，cj、b、ω均采用梯度下降法。

網(wǎng)絡(luò)辨識性能指標(biāo)函數(shù)為

E(k)=0.5(yout(k)-ymout(k))2

(5)

網(wǎng)絡(luò)各參數(shù)學(xué)習(xí)迭代如式(6)所示。

(6)

其中η是學(xué)習(xí)速率；ωj、bj、hj分別為隱含層第j個(gè)神經(jīng)元的輸出權(quán)值、基寬及高斯函數(shù)；ωji為隱含層第j個(gè)神經(jīng)元對應(yīng)于輸入層第i個(gè)神經(jīng)元的中心矢量。

2.2 PID控制參數(shù)整定控制原理

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制器采用增量式PID控制器，控制誤差為

e(k)=rin(k)-yout(k)

(7)

PID控制器的3個(gè)輸入為

(8)

控制算法為

u(k)=u(k-1)+Kpxc(1)+Kixc(2)+Kdxc(3)

(9)

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)整定指標(biāo)函數(shù)如式(5)所示，PID的3個(gè)參數(shù)Kp、Ki和Kd采用梯度下降法調(diào)整如式(10)所示。

(10)

其中?yout(k)/?u(k)可以通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識得到，ΔKp、ΔKi和ΔKd為參數(shù)調(diào)整量，實(shí)現(xiàn)PID參數(shù)在線優(yōu)化調(diào)整。

2.3 改進(jìn)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制算法

針對傳統(tǒng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制器存在的系統(tǒng)響應(yīng)震蕩嚴(yán)重，響應(yīng)速度慢等問題，本文對控制算法做以下兩方面改進(jìn)。

(1)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)調(diào)整引入動(dòng)量因子。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對隱含層節(jié)點(diǎn)中心矢量c基寬度參數(shù)b和輸出權(quán)值ω的調(diào)整均采用梯度下降法，此方法僅考慮了k時(shí)刻的參數(shù)變化，沒有考慮之前的參數(shù)積累，從而易引起學(xué)習(xí)過程的震蕩。引入動(dòng)量因子α[10]，具體算法如式(11)所示。

(11)

引入的動(dòng)量因子α使得網(wǎng)絡(luò)參數(shù)沿其梯度方向變化時(shí)有一定的慣性，具有一定的抑制震蕩作用。當(dāng)權(quán)值變化過快時(shí)，算法可以使修正量減小，從而使得修正的結(jié)果能夠沿著參數(shù)收斂的方向進(jìn)行，避免引入過大的超調(diào)。

動(dòng)量因子α的大小取決于參數(shù)修正過程中，前一次的修正量跟梯度下降法兩者參數(shù)變化影響所占的比例。當(dāng)誤差有增大趨勢時(shí)，應(yīng)加快動(dòng)量因素的調(diào)節(jié)作用。動(dòng)量因子的具體取值如式(12)所示

(12)

(2)PID參數(shù)整定采用LM算法。LM算法是基于高斯-牛頓法的一種改進(jìn)形式，即具有高斯牛頓法的局部特性又具有梯度下降法的全局特性。其收斂速度比梯度下降法快，而且算法穩(wěn)定[11]。

LM算法的實(shí)現(xiàn)如下

Δx=[JT(x)J(x)+μI]-1JT(x)e(x)

(13)

式中，μ>0 ;I為單位矩陣。x(k)表示參數(shù)第k次迭代時(shí)的向量，新的參數(shù)向量x(k+1)為

x(k+1)=x(k)+Δx

(14)

誤差參數(shù)指標(biāo)函數(shù)為

(15)

Jacobian 矩陣信息為

(16)

將上述算法應(yīng)用于PID控制器的參數(shù)整定過程中，PID參數(shù)向量K=[Kp，Ki，Kd]則有

(17)

PID參數(shù)向量的變化量為

(18)

3 板球系統(tǒng)位置控制實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文算法，以小球定位于球盤中心為控制目標(biāo)。初始PID參數(shù)為Kp=20，Ki=1和Kd=120在GBP2001型板球系統(tǒng)上分別完成PID控制、RBF-PID控制和本文控制算法的位置控制試驗(yàn)?？刂平Y(jié)果如圖4～圖6所示。

圖4 PID控制效果

圖5 RBF-PID控制效果

圖6 IRBF-PID控制效果

由圖4～圖6可以得出PID控制小球到達(dá)球盤中心的時(shí)間為14.4 s，小球穩(wěn)定在球盤中的坐標(biāo)為(2.9,3.0)誤差較大；RBF-PID控制時(shí)小球穩(wěn)定在球盤中心的時(shí)間為14.3 s，系統(tǒng)控制時(shí)間較長，小球穩(wěn)定在球盤中的坐標(biāo)為(1.5,1.6)；IRBF-PID控制時(shí)小球穩(wěn)定在球盤中心的時(shí)間為11.3 s，小球穩(wěn)定在球盤中的坐標(biāo)為 (1.4,1.6)；本文改進(jìn)的算法較PID控制和RBF-PID控制使小球到達(dá)目標(biāo)位置的控制時(shí)間縮短了3 s，并且在約5 s時(shí)系統(tǒng)的震蕩過程也明顯減弱，控制精度也<2 mm，小球的運(yùn)動(dòng)軌跡也更簡潔。

4 結(jié)束語

本文針對系統(tǒng)震蕩較嚴(yán)重的問題，在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)調(diào)整中加入動(dòng)量因子，減小系統(tǒng)震蕩；針對系統(tǒng)響應(yīng)速度慢的問題，采用LM算法代替梯度下降法對PID參數(shù)在線調(diào)整，進(jìn)而完成在實(shí)物系統(tǒng)上的位置控制實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法與傳統(tǒng)PID控制和RBF-PID控制算法相比，本文算法控制時(shí)間更短；減了弱系統(tǒng)的震蕩；也提高了控制精度和魯棒性。

參考文獻(xiàn)

[1] 韓京元,田彥濤,孔英秀,等.板球系統(tǒng)的間接模糊自適應(yīng)控制[J].控制與決策,2015(2):303-310.

[2] 史智慧,劉楓,祁虔.基于視覺檢測板球系統(tǒng)的變論域模糊控制研究[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2017,42(2):148-152.

[3] Roy P.Design of a fractional order PD controller tuned by firefly algorithm for stability control of the nonlinear ball and plate system[C].Rio:IEEE International Conference on Advanced Communication Control and Computing Technologies,ICACCCT,2014.

[4] Roy P,Kar B,Hussain I.Trajectory control of a ball in a ball and plate system using cascaded PD controllers tuned by PSO[C].India:Proceedings of Fourth International Conference on Soft Computing for Problem Solving,Springer,2015.

[5] 辛靜,趙高暉,李天箭,等.倒立擺系統(tǒng)控制研究[J].電子科技,2016, 29(12):159-161.

[6] 楊德,沈俊霞.基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模型參考自適應(yīng)控制[J].電子科技, 2005(5):48-50.

[7] Zheng F,Li X,Wang S,et al.Position control of ball and plate system based on switching mechanism[C].Tianjin:IEEE International Conference on Automation and Logistics,IEEE,2011.

[8] 宋水泉.基于改進(jìn)PID神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的多變量系統(tǒng)控制算法[J].電子科技,2016,29(6):26-28.

[9] 朱衛(wèi)云,付東翔,葛懂林,等.基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的永磁同步伺服電機(jī)控制系統(tǒng)[J].電子科技,2016,29(1):161-164.

[10] 吳曉明,馬立廷,鄭協(xié),等.改進(jìn)的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID算法在電液伺服系統(tǒng)中應(yīng)用[J].機(jī)床與液壓,2015,43(11):63-66.

[11] 蔡滿軍,劉建軍,劉明坤.基于RBF網(wǎng)絡(luò)自整定PID控制的改進(jìn)算法[J].控制工程,2008,15(1):15-17.

[12] 楊林,任雪梅,黃鴻.基于RBF網(wǎng)絡(luò)自整定PID控制的應(yīng)用研究[J].計(jì)算機(jī)仿真, 2006,23(1):270-273.

[13] 張柯,韋光輝,盧佳樂,等.基于動(dòng)態(tài)RBF網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測控制在中速磨煤機(jī)優(yōu)化控制的應(yīng)用[J].化工自動(dòng)化及儀表,2016,43(1):58-61.

[14] Yingwei L,Sundararajan N, Saratchandran P.A sequential learning scheme for function approximation using minimal radial basis function neural networks[J].Neural Computation,1997,9(2):461-478.

[15] Dong Xiucheng,Zhao Yunyuan,Xu Yunyun,et al.Design of pso fuzzy neural network control for ball and plate system[J].International Journal of Innovative Computing, Information and Control,2011,7(12):7091-7103.