何世燚

[摘 要] “導數及其應用”在研究函數單調性、極值和最值、不等式證明等問題時具有重要的作用，不僅是解決該類問題的核心，更是數形結合、以曲代直、微積分思想的充分體現(xiàn). 文章在分析高中數學“導數及其應用”教學現(xiàn)狀的基礎上，提出了“導數及其應用”教學基本思路和策略.

[關鍵詞] 導數及其應用；思路；策略

導數及其應用是歷年高考的必考內容，不僅所占分值較大，所占比重趨于上升趨勢，而且常常與壓軸題緊密相連，其涉及的基礎知識和思想方法在現(xiàn)實生活中具有廣泛的應用. 然而，在當前教學實踐中，相當數量的教師將教學的重點集中在理論層面，學生對于具體問題的理解較為模糊，僅停留在一個較低的層面上. 因此，在高中數學教學改革中必須加強“導數及其應用”教學的研究.

高中數學“導數及其應用”教學現(xiàn)狀

隨著年齡的增長、多種學科知識的涉獵，高中學生的邏輯思維已經發(fā)展到一定的水平，但在數學概念的形成過程及其理解運用方面與成熟期相比存在著較大差距. 以人教版高中二年級“導數及其應用”章節(jié)知識為例，其學生在學習過程中主要表現(xiàn)為以下幾個問題：一是忽視概念知識的生成過程. 對于微積分基本定理是如何推導的，定積分的概念是怎樣得出的學生往往不夠重視. 二是概念模糊、混淆的問題較為突出. 例如，y=f（x）在x=x0處的瞬時變化率和y=f（x）自變量由x1到x2的平均變化率在概念上有什么區(qū)別和聯(lián)系，高中學生常?；煜?，亂套概念或公式進行解題的現(xiàn)象較為突出. 三是知識之間的內在聯(lián)系理解難度較大，對于曲邊圖形面積、變力做功、變速直線運動物體的位移、導數和積分之間的關系等問題理解不清. 四是數學基本思想的領悟較為缺乏，對于“無限逼近”、“數形結合”、“以曲代直”等基本數學思想如何使用不能完全掌握，對于如何利用導數優(yōu)化實際問題較為困惑，不能透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)問題的本質.

“導數及其應用”教學基本思路

作為教學的主陣地，教師應在教學過程中倡導以生為本的教學理念，在激發(fā)學生學習欲望的基礎上，通過合作和競爭機制促使學生主動參與教學，注重提出問題的情境和知識生成的背景，按照由表及里、由淺入深的原則揭示出問題的本質，也就是在具體教學實踐中，教師應采用問題引領的教學模式，促使學生打破思維困難的瓶頸，并在適當的時機中，通過為什么、怎么辦、是什么等問題幫助學生找出思維漏洞，從而有效提升“導數及其應用”的教學水平和教學質量.

高中數學“導數及其應用”教學實踐

1. 導數的概念.

在本節(jié)知識中，理解變化率的問題至關重要，教師應選擇背景簡單的現(xiàn)實生活中的變化率問題，幫助學生利用已學知識和經驗進行分析. 例如，在講解平均變化率問題時，筆者選擇了氣球膨脹率問題，讓學生從數學的角度解釋隨著氣球內部空氣不斷增多，為什么氣球半徑增加的速度反而減慢，并從以下幾個方面進行引導：

一是引入變量的概念和變量之間的函數關系，幫助學生理解本問題涉及兩個變量，即氣球的體積v和半徑r，并在回顧球體體積計算公式的基礎上，呈現(xiàn)出這兩者之間的函數關系，即V=πr3.

二是從數學的角度理解“隨著氣球內部空氣不斷增多，氣球半徑增加的速度越來越小”這句話的意思，即隨著空氣的增多，半徑與體積增加量之間的比值越來越小，即越來越小，從而引出氣球膨脹率的知識.

三是將抽象的知識具體化，從一些具體的數值出發(fā)將抽象的數學問題簡單化.例如，從0增加到1，從1增加到2，從2增加到3，感受氣球膨脹率的變化，從而有效理解氣球半徑變化越來越小的實際原因，理解變化率是反應某一時間內物體變化快慢的概念.

同時，加強數學概念的概括，闡述f（x）表示其中的函數關系，利用曲線上的割線將數與形有機結合起來，充分理解變化率的幾何意義，鼓勵學生從自己身邊出發(fā)，列舉出現(xiàn)實生活中的一些簡單實例，從而加深對數學概念和所表達幾何意義的理解.

此外，注重數學思想和方法的滲透與引導，從高一年級已學物理知識求瞬時速度出發(fā)，闡述物理學中求平均速度的定義，假想當Δt趨于無限小時，Δh近似于某一時刻的瞬時速度，并觀察該時間點附近數值的變化，得出當Δt趨于0時，趨于定值，從而引出的概念，并結合該問題的物理意義，將其抽化為表示x0處的變化率.

2. 導數在研究函數中的應用

（1）讓學生明白應用導數研究函數的單調性的必要性和重要性

例如，在課堂教學中，筆者要求學生回顧函數單調性的定義，明確函數在某段的平均變化率近似等于該點的瞬時變化率，也就近似等于該點的導數，若x1≠x2，則可以通過符號的正負，得出f（x1）與f（x1）之間的大小，故可以通過導數研究出函數的單調性.并且，引入拉格朗日中值定理，通過數形結合的形式讓學生明白的幾何意義就是（x1，f（x1）），（x2，f（x2））兩點直線的斜率，若x1，x2之間的距離無限小時，則近似等于函數y=f（x）在（x1，x2）區(qū)間內的單調性.

（2）進一步幫助學生鞏固導數的概念及其借助幾何圖形研究函數的單調性，探究得出函數的單調性與導函數正負之間的對應關系

例如，在具體實踐中，筆者借助教材中的“觀察”欄目，通過直觀圖像形象地了解速度隨時間變化的變化圖像，要求學生通過小組探究的形式完成表1，并注重導函數與原函數圖像之間的轉換，引導學生多角度思考同一問題.

（3）設計例題進行提升

建議在具體例題求解過程中，要求學生根據題意畫出原函數和導函數的草圖，培養(yǎng)學生利用圖像和“列表”解題的習慣，加強解題規(guī)范性和思維嚴密性的訓練. 并通過利用函數單調性定義和利用導數兩種求解函數單調性的方式，比較出這兩種解法的優(yōu)劣，深刻體會導數是研究函數單調性的有力工具.

（4）有效突破知識難點

突破本節(jié)課程知識的重點，即利用函數的單調性研究函數的極值和最值問題是本節(jié)課程知識的重點，讓學生結合教材中的例題總結概括出函數存在極值的條件：

①f′（a）=0；

②y=f（x）在x=a的函數值比x=a附近的其他點的函數值都大或都??；

③x=a時，當左側f′（x）<0，右側f′（x）>0，則點a為極小值，當左側f′（x）>0，右側f′（x）<0，則點a為極大值.

同時，還應提醒學生注意極值只反應的是函數的局部性質，通過圖像的形式解釋極大值并不一定大于極小值，而極小值并不小于極大值，并且讓學生充分理解f′（a）=0是函數y=f（x）在x=a處取得極值的一個必要不充分條件. 例如，筆者在講解必要不充分條件這個知識點時，設計了以下題目要求學生探討：

已知函數y=x3，利用導數求解函數的單調性時，則有y′=3x3，當y′=0時，無論x取何值，則y′≥0，因此，x=0不是函數的極值點.

綜上所述，“導數及其應用”在研究函數單調性、極值和最值、不等式證明等解題中具有重要的作用，不僅是解決該類問題的核心，更是數形結合、以曲代直、微積分思想的充分體現(xiàn)，在具體教學實踐中，只有教師樹立以生為本的教學理念，注重問題情境的構造和概念的生成過程，在具體情境和已有知識經驗中理解和體驗數學，就一定能夠取得理想的教學效果.