高長(zhǎng)青， 杜敬利， 張騰

（西安電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，西安 710071）

0 引 言

近些年來(lái)，在橋梁安全檢測(cè)[1-2]、模態(tài)試驗(yàn)、形變重構(gòu)、載荷辨識(shí)等科學(xué)研究領(lǐng)域，傳感器優(yōu)化布置的結(jié)果以及傳感器位置的選擇對(duì)研究結(jié)果具有決定性的影響。目前，傳感器優(yōu)化算法的相關(guān)研究已經(jīng)獲取了顯著的成果。閆艷、張福建等[3]在粒子群算法的基礎(chǔ)上對(duì)搖臂進(jìn)行了傳感器優(yōu)化布置;伊廷華等[4-5]利用分布式狼群算法對(duì)橋梁模型做了傳感器優(yōu)化布局研究;YI等[6]在結(jié)構(gòu)安全監(jiān)測(cè)方面對(duì)傳感器布局做了深入的研究;李東升等[7-8]對(duì)各種傳感器布置方法的內(nèi)在關(guān)系進(jìn)行了深入的分析；GUPTA等[9]綜述了傳感器優(yōu)化布置的原則。而目前最為廣泛應(yīng)用的就是有效獨(dú)立法[10-12]，有效獨(dú)立法通過(guò)刪除模態(tài)線性貢獻(xiàn)度最小的自由度，最后達(dá)到指定傳感器的數(shù)目。

在有效獨(dú)立法中首要的就是對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，選擇最能反映結(jié)構(gòu)信息的N階模態(tài)來(lái)進(jìn)行傳感器的優(yōu)化布局和形變的重構(gòu)，而如何有效地選取結(jié)構(gòu)的模態(tài)是決定形變重構(gòu)精度的主要步驟。孫小猛[13]對(duì)傳感器布置中模態(tài)選取的問(wèn)題進(jìn)行了探討,提出了基于損傷靈敏度矩陣二范數(shù)準(zhǔn)則（ROC）來(lái)判斷各階模態(tài)的信息量，當(dāng)靈敏度矩陣的前i+1階模態(tài)的變化率趨于零時(shí)，可以用前i階模態(tài)來(lái)反映結(jié)構(gòu)的信息;詹杰子[14]在孫小猛的基礎(chǔ)上提出了基于跡準(zhǔn)則的模態(tài)選取方法；李海洋等[15]提出了模態(tài)疊加法對(duì)智能蒙皮天線做了應(yīng)變傳感器的優(yōu)化布局，他認(rèn)為當(dāng)結(jié)構(gòu)的模態(tài)前i階模態(tài)占比達(dá)到模態(tài)總體的80%時(shí)，即可認(rèn)為前i階模態(tài)可以反映全部的結(jié)構(gòu)信息。

然而基于損傷靈敏度矩陣二范數(shù)準(zhǔn)則要求結(jié)構(gòu)的變化率快的一些模態(tài)主要集中在結(jié)構(gòu)的前i階模態(tài)上，而對(duì)于復(fù)雜、對(duì)稱(chēng)的大型空間桁架結(jié)構(gòu)是很難做到這一點(diǎn)的，模態(tài)變化率高的模態(tài)并沒(méi)有集中在前i階模態(tài)，而且分布不均，模態(tài)變化率也并沒(méi)有逐漸趨近于零，在這種情況下基于損傷靈敏度矩陣二范數(shù)準(zhǔn)則的模態(tài)選取方法失效了。而模態(tài)累加法在處理復(fù)雜、對(duì)稱(chēng)的大型空間桁架結(jié)構(gòu)時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)前i階中含有信息量很小的模態(tài)，這會(huì)在求解應(yīng)變-位移轉(zhuǎn)換矩陣時(shí)造成轉(zhuǎn)換矩陣的奇異。本文中提出模態(tài)誤差貢獻(xiàn)率法通過(guò)各階模態(tài)對(duì)形變重構(gòu)所產(chǎn)生的誤差大小的計(jì)算，有效地選取了最能反映結(jié)構(gòu)信息的部分階模態(tài)，準(zhǔn)確地選擇了傳感器的位置，最后以8 m剛體天線背架為例進(jìn)行了驗(yàn)證，得到了滿意的精度，希望為工程應(yīng)用提供指導(dǎo)。

1 關(guān)鍵模態(tài)的選取

在結(jié)構(gòu)模態(tài)分析中，由模態(tài)疊加法，模態(tài)坐標(biāo)ηm滿足下式：

模態(tài)位移矩陣Φn為n×n的矩陣，包括系統(tǒng)的n階模態(tài)，模態(tài)位移求一階倒數(shù)之后即可得到模態(tài)應(yīng)變，所有階模態(tài)位移均有對(duì)應(yīng)階的模態(tài)應(yīng)變，即模態(tài)應(yīng)變可以根據(jù)模態(tài)位移的轉(zhuǎn)換得到：

其中：D為求微分運(yùn)算符；Ψn為模態(tài)應(yīng)變矩陣，與位移相同，應(yīng)變同樣也可以由各階模態(tài)應(yīng)變的線性組合來(lái)表示，即：

由以上估計(jì)位移：

式中：EW代表節(jié)點(diǎn)位移誤差絕對(duì)值總和；NFree代表非約束節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)目。對(duì)MER進(jìn)行排序，選取MER值較大的幾階模態(tài)作為主要模態(tài)，即可反映結(jié)構(gòu)信息。當(dāng)模態(tài)選取階數(shù)有所增加時(shí)，位置選擇會(huì)更合理，誤差精度也會(huì)有所增加。

2 基于有效獨(dú)立法的傳感器布置

將選取的m階模態(tài)應(yīng)變組成模態(tài)應(yīng)變矩陣ψm，定義冪等矩陣E，可表示如下：

其對(duì)角線上第i個(gè)元素表示第i個(gè)自由度對(duì)矩陣E的貢獻(xiàn)，所以E可以用來(lái)表示候選傳感器位置集合的有效獨(dú)立分布，獲得矩陣E后，對(duì)矩陣E的對(duì)角線元素進(jìn)行大小排序，逐漸刪除對(duì)角元素值最小的點(diǎn)，通過(guò)迭代算法，直到所剩數(shù)目等于傳感器數(shù)目。這樣就極大地保留信息矩陣的線性無(wú)關(guān)性。

3 傳感器優(yōu)化布置評(píng)價(jià)準(zhǔn)則

3.1 條件數(shù)準(zhǔn)則

在這里，通過(guò)應(yīng)變傳感器被測(cè)點(diǎn)的模態(tài)應(yīng)變矩陣的條件數(shù)準(zhǔn)則，定義如下：

模態(tài)分析中，其陣型條件數(shù)越接近于1時(shí)，證明振型矩陣求逆會(huì)越穩(wěn)定，故可用上式的條件數(shù)準(zhǔn)則判斷傳感器優(yōu)化的情況。

3.2 模態(tài)置信度準(zhǔn)則

模態(tài)置信度準(zhǔn)則定義如下：

MAC矩陣中對(duì)角線元素越接近1，非對(duì)角元素越接近0，則表明選取的各階模態(tài)的自相關(guān)性好，不同模態(tài)之間線性獨(dú)立，傳感器優(yōu)化布置效果越好。

4 算例分析

4.1 建立有限元模型

在ANSYS中建立8 m天線背架有限元模型，以Link8單元模擬空間桁架單元，每個(gè)節(jié)點(diǎn)包含x、y、z三個(gè)自由度，每個(gè)單元包含一個(gè)軸向應(yīng)變，各桁架單元截面積相等均為0.01 m2，密度為7800 kg/m3，平面尺寸如圖1所示，有限元模型如圖2所示。

圖1 8 m天線背架尺寸

圖2 8 m天線背架有限元模型

在ANSYS中采用Block Lanczos法對(duì)天線背架結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，得到其前20階頻率如下表1所示。

表1 前20階振型頻率 Hz

4.2 關(guān)鍵模態(tài)選取

基于ROC準(zhǔn)則對(duì)提取的模態(tài)進(jìn)行分析，ROC值分布如圖3所示，可以看到，ROC值并沒(méi)有隨著模態(tài)階數(shù)的增加而逐漸地趨近于0，ROC值的峰值也沒(méi)有集中地分布前i階模態(tài)上，而是分散地分布在整個(gè)振型矩陣中，這樣我們就無(wú)法準(zhǔn)確地通過(guò)ROC法進(jìn)行關(guān)鍵模態(tài)階數(shù)的選取。

同樣基于模態(tài)疊加法，由表2可以看出，對(duì)誤差貢獻(xiàn)最大的前12階模態(tài)并包含第6階、第8階、第12～22階、第25～37模態(tài)，如果將它們都包含進(jìn)去，通過(guò)計(jì)算振型矩陣中前38階模態(tài)組成的截取矩陣條件數(shù)，得到其值為205，這顯然是遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1的，會(huì)造成轉(zhuǎn)換矩陣的奇異及重構(gòu)的失敗。

圖3 ROC分析

圖4 各階模態(tài)誤差貢獻(xiàn)率值

基于本文提出的MER法計(jì)算得出的各階模態(tài)對(duì)誤差貢獻(xiàn)如圖5所示，將MER值進(jìn)行從大到小排序后，將對(duì)誤差貢獻(xiàn)最大的40階模態(tài)及貢獻(xiàn)率列在表2中，從表中可以看出，對(duì)于復(fù)雜、對(duì)稱(chēng)的大型空間桁架結(jié)構(gòu)，其各階模態(tài)對(duì)于誤差的貢獻(xiàn)并沒(méi)有集中在振型矩陣的前面，而是分散的分布在其中，在形變重構(gòu)中，僅僅選取了前12階作為重構(gòu)模態(tài)，其組成的振型矩陣條件數(shù)值為1.053，具有良好的求逆穩(wěn)定性。

4.3 形變重構(gòu)

這里選取了MER最大的12階模態(tài)進(jìn)行重構(gòu)，首先對(duì)其進(jìn)行了MAC分析，如圖5所示，反映了所選關(guān)鍵模態(tài)具有良好的性態(tài)。

將所選模態(tài)組成振型矩陣，計(jì)算Fisher信息矩陣，這里以布置50個(gè)傳感器為 基準(zhǔn)，基于有效獨(dú)立法進(jìn)行傳感器位置 選擇，得到傳感器布置位置及有效獨(dú)立權(quán)重系數(shù)，如表3所示。

在進(jìn)行形變重構(gòu)后，對(duì)計(jì)算位移與模型真實(shí)位移進(jìn)行對(duì)比，如圖6所示，最大形變達(dá)到37.73 mm，其均方根誤差可達(dá)到0.071 mm,完全符合工程要求的精度。

基于MER準(zhǔn)則，首先，這里分別僅選取了MER值最大的前9階、前10階，前11階、前12階、前13階模態(tài)，以50個(gè)傳感器為基準(zhǔn)的情況下得到的結(jié)果如圖7所示，可以看出隨著選取模態(tài)階數(shù)的增加，誤差逐漸降低，當(dāng)模態(tài)階數(shù)達(dá)到前13階時(shí)，均方根誤差已經(jīng)達(dá)到0.02 mm。

圖5 MAC分析

表2 MER值前40階與對(duì)應(yīng)值

表3 傳感器布置位置及權(quán)重系數(shù)

其次，選擇了MER值最大的12階模態(tài)，分別以35、40、45、50、55、60、65、70、75個(gè)傳感器進(jìn)行了仿真，結(jié)果如圖8所示，隨著傳感器數(shù)目的增加，誤差逐漸降低，當(dāng)傳感器數(shù)目達(dá)到50時(shí)，其均方根誤差達(dá)到0.071 mm，之后隨著傳感器數(shù)目的增加，誤差下降緩慢，由此可以得出結(jié)論：50個(gè)傳感器是對(duì)該結(jié)構(gòu)形變重構(gòu)的最佳模態(tài)數(shù)目。

圖6 計(jì)算位移與真實(shí)位移對(duì)比

圖7 模態(tài)階數(shù)對(duì)誤差影響

圖8 傳感器數(shù)目對(duì)誤差影響

5 評(píng)價(jià)

通過(guò)算例分析，MER法對(duì)于復(fù)雜、對(duì)稱(chēng)的大型空間桁架結(jié)構(gòu)的模態(tài)選取具有重要意義，通過(guò)MER法，可以有效地選取這種結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵模態(tài)，對(duì)于基于應(yīng)變傳感器和應(yīng)變測(cè)量的變形重構(gòu)提供基礎(chǔ)，通過(guò)最后分析，驗(yàn)證了MER對(duì)于模態(tài)選取的普遍有效性，足夠精確地解決了這類(lèi)問(wèn)題，為相關(guān)結(jié)構(gòu)的處理提供指導(dǎo)。

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