馮雪磊，陳南若，李曉偉，魏檸陽(yáng)

(中國(guó)船舶科學(xué)研究中心 深海載人裝備國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 江蘇 無(wú)錫 214082)

0 引 言

聲吶設(shè)備通常采用換能器陣列和波束形成方法處理水聲信號(hào)[1]。傳統(tǒng)的波束形成方法是延時(shí)求和，這種方法可以簡(jiǎn)單有效的處理窄帶水聲信號(hào)，但是隨著頻率的升高，延時(shí)求和方法形成的波束變窄并且產(chǎn)生旁瓣[2]，這會(huì)使得水聲信號(hào)產(chǎn)生嚴(yán)重的失真。為了不失真的處理寬帶水聲信號(hào)，就要求在工作頻帶范圍內(nèi)形成恒定束寬的波束，并且盡可能減小旁瓣。

因此提出了很多基于信號(hào)處理理論的恒定束寬波束形成方法[3–6]和旁瓣抑制方法[7–9]，這些方法通常將寬帶劃分為多個(gè)窄帶，在每個(gè)窄帶中對(duì)水聲信號(hào)進(jìn)行處理，這使得陣列必須采用隨頻率變化的復(fù)雜陣元權(quán)重，并且頻帶越寬計(jì)算越復(fù)雜。由美國(guó)海軍研究實(shí)驗(yàn)室提出的恒定束寬換能器（CBT）陣列[10–12]，經(jīng)過(guò)了多年的發(fā)展[13–15]，可以采用不隨頻率變化的簡(jiǎn)單Legendre函數(shù)陣元權(quán)重，實(shí)現(xiàn)寬頻帶范圍內(nèi)恒定束寬的波束，并且具有較小的旁瓣[16]。

和其他恒定束寬陣列一樣，CBT陣列有一定的工作頻率限制。CBT理論表明，對(duì)于Legendre函數(shù)加權(quán)的球冠或者圓弧形換能器，只存在工作頻率下限，即高于此頻率時(shí)即具有恒定束寬的波束特性[11]。然而CBT陣列是由離散的換能器組成，陣元間距會(huì)導(dǎo)致旁瓣[16]。為了使旁瓣小于某一特定值，通常將認(rèn)為CBT陣列的工作頻率上限與常規(guī)的直線形陣列一樣，須滿足陣列理論的要求，即陣元間距須小于波長(zhǎng)的一半[17–18]。然而研究表明，圓弧形CBT陣列的工作頻率上限比陣列理論要求的高[15,19]，所以根據(jù)陣列理論設(shè)計(jì)的CBT陣列沒(méi)有充分利用其工作頻帶，浪費(fèi)了頻帶資源。因此本文系統(tǒng)計(jì)算分析CBT陣列的工作頻率上限。

1 陣列工作頻率上限理論分析

1.1 直線形陣列

直線形陣列的結(jié)構(gòu)如圖1（a）所示，其中坐標(biāo)原點(diǎn)O取為陣列中心，陣列方向取為x軸方向。不難得到在遠(yuǎn)場(chǎng)空間任意點(diǎn)P處的聲壓為：

式中：l為陣列上任意一點(diǎn)Q的x坐標(biāo)；L為陣列的長(zhǎng)度；為點(diǎn)Q的陣元權(quán)重；r為點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離；θ為OP與y-O-z平面的夾角；k為波數(shù)；注意式（1）采用了遠(yuǎn)場(chǎng)近似，即。通常情況下，直線形陣列是由N個(gè)陣元等距排列而成，不妨假定這些陣元為相同的點(diǎn)源，這樣式（1）離散化為

式中：為第n個(gè)陣元的權(quán)重；d為陣元間距

注意到式（2）中求和號(hào)外的項(xiàng)與θ無(wú)關(guān)，即與波束的形狀無(wú)關(guān)，因此波束形狀完全由式（2）中的求和部分決定。另外注意到的離散時(shí)間Fourier變換（DTFT）為

式中：Ω為數(shù)字角頻率。對(duì)比式（2）和式（3）不難發(fā)現(xiàn)，遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓是陣元權(quán)重的DTFT變換，即其中數(shù)字角頻率Ω與θ的關(guān)系為隨著θ的變化，Ω的變化區(qū)間為。注意到DTFT是周期為2π的周期函數(shù)，當(dāng)Ω的變化區(qū)間大于一個(gè)周期時(shí)，就有可能出現(xiàn)與主瓣相同強(qiáng)度的柵瓣，為了確保柵瓣不出現(xiàn)，要求，即，其中λ為波長(zhǎng)。雖然有些情況下即使d大于也不會(huì)出現(xiàn)柵瓣，例如波束偏轉(zhuǎn)為0°的均一陣列（即所有陣元權(quán)重為1）出現(xiàn)柵瓣的條件是[20]，但是考慮到在使用中波束偏轉(zhuǎn)會(huì)引入延時(shí)或相移而改變柵瓣出現(xiàn)的條件，例如波束偏轉(zhuǎn)90°的均一陣列出現(xiàn)柵瓣的條件是，因此取直線形陣列的工作頻率上限滿足的條件為，滿足這一條件時(shí)，無(wú)論波束如何偏轉(zhuǎn)均不會(huì)出現(xiàn)柵瓣。由于具有直線形的幾何結(jié)構(gòu)[21]，延時(shí)直線形CBT陣列同樣需要滿足這一條件。類似的，對(duì)于二維平面CBT陣列，也可以通過(guò)類似分析得到相同的結(jié)論。

1.2 圓弧形陣列

圓弧形陣列的結(jié)構(gòu)如圖1（b）所示，其中坐標(biāo)原點(diǎn)O取為圓弧的圓心，陣列位于x-O-z平面，取z方向?yàn)閳A心到陣列中點(diǎn)的方向。根據(jù)幾何關(guān)系，不難得到在遠(yuǎn)場(chǎng)空間任意點(diǎn)P處的聲壓為

式中：；ψ為陣列上任一點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的圓心角；為圓弧形陣列的半徑；φ為OP在y-O-z平面的投影與z軸的夾角。注意式（4）采用了遠(yuǎn)場(chǎng)近似。

同樣考慮圓弧形陣列由N個(gè)等距排列的點(diǎn)源組成，考慮到通常對(duì)陣列所在平面的聲壓分布更為感興趣，即時(shí)的情形，這樣可以得到離散圓弧形陣列的聲壓分布為式中：Δψ為相鄰2個(gè)點(diǎn)源的圓心角之差。由式（5）可見(jiàn)，n與θ耦合，無(wú)法進(jìn)行與直線形陣列類似的DTFT分析，陣列的聲壓分布較為復(fù)雜且不具有周期性，因此須采用數(shù)值方法分析圓弧形陣列的工作頻率上限。類似的，對(duì)于二維球面陣和柱面陣，也可以通過(guò)類似分析得到相同的結(jié)論。

2 陣列工作頻率上限數(shù)值分析

2.1 一維陣列

圓弧形CBT陣列如圖2（a）所示，其中表示陣元的黑色圓點(diǎn)越大表示其陣元權(quán)重越大。圓弧形CBT陣列的陣元權(quán)重滿足

其中，為ν階Legendre函數(shù)的第1個(gè)零點(diǎn)，且階數(shù)不必為整數(shù)。根據(jù)CBT陣列理論，在陣列所在平面，其遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓滿足[15–16]

由式（7）可見(jiàn)，遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓的角度θ和波數(shù)k解耦，波束形狀不隨頻率的變化而變化，因而具有恒定束寬的波束特性。另外注意到式（6）中，當(dāng)時(shí)，因此一般取圓弧形CBT陣列對(duì)應(yīng)的圓心角為，這樣式（5）中的滿足。

實(shí)際情況下CBT陣列由離散的換能器組成，離散陣列會(huì)導(dǎo)致旁瓣和主瓣的紋波。如圖3所示不同情況下圓弧形CBT陣列的波束，這里假定陣元為點(diǎn)源，圖中黑色粗線為由式（7）計(jì)算得到波束的理論值，灰色細(xì)線為不同頻率下的離散圓弧形CBT陣列的波束，相鄰頻率對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)相差，其中d為陣元間距，有由圖可見(jiàn)，陣列的離散性會(huì)產(chǎn)生旁瓣和主瓣紋波。不妨定義最大旁瓣為SIDE，紋波的最大峰-峰值為RIPP。研究表明[13]，頻率越高，波長(zhǎng)越小，則SIDE和RIPP越大。另外，和直線形陣列不同，圓弧形陣列并不是靠改變陣元的延時(shí)或者相位實(shí)現(xiàn)波束偏轉(zhuǎn)，而是通過(guò)改變陣元權(quán)重的分布實(shí)現(xiàn)波束偏轉(zhuǎn)，即對(duì)式（6）中的加入一個(gè)常數(shù)相位而變?yōu)?，顯然這并不會(huì)改變波束形狀，因此不失一般性本文分析波束方向?yàn)?°的情形。

其中：a，b，c為擬合系數(shù)；的單位為角度。采用最小二乘法得到，，10–4，擬合優(yōu)度。根據(jù)擬合結(jié)果，在要求不高的情況下可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化式（8）為

考慮到通常情況下，聲吶的N不會(huì)太小，統(tǒng)計(jì)的情況可以得到即能使90%的情況下滿足對(duì)SIDE和RIPP的要求，這相對(duì)于陣列理論得到的工作頻率上限（）增加了超過(guò)0.76個(gè)倍頻程。如圖3所示為按照式（8）計(jì)算得到的工作頻率上限以內(nèi)的波束，由圖可見(jiàn)，在此工作頻率上限以內(nèi)圓弧形CBT的波束均能滿足SIDE和RIPP的要求。

2.2 二維陣列

其中，圖5（a）中代表陣元的黑色圓點(diǎn)的大小即代表陣元權(quán)重。對(duì)于柱面CBT陣列，其陣元滿足的曲面方程為，如圖5（b）所示，不難得到陣元加權(quán)方法仍由式（10）給出，圖5（b）中代表陣元的黑色圓點(diǎn)的大小即代表陣元權(quán)重。

同樣考慮SIDE≤–20 dB，RIPP≤3 dB，這樣計(jì)算得到如圖6所示，圖中圓點(diǎn)為數(shù)值計(jì)算結(jié)果，曲面為擬合結(jié)果。和圓弧形CBT陣列一樣，陣元個(gè)數(shù)N越大，對(duì)應(yīng)的越大，即工作頻率上限越高；而越大，對(duì)應(yīng)的越小，即工作頻率上限越低。仍然采用式（8）對(duì)球面CBT陣列和柱面CBT陣列進(jìn)行擬合，對(duì)于球面CBT陣列，可得擬合系數(shù)為，擬合優(yōu)度為；對(duì)于柱面CBT陣列，可得擬合系數(shù)為，擬合優(yōu)度為。不難發(fā)現(xiàn)，柱面CBT陣列和圓弧形CBT陣列的計(jì)算結(jié)果極為接近。根據(jù)擬合結(jié)果，對(duì)于球面CBT陣列，在要求不高的情況下可以簡(jiǎn)化式（8）為

而對(duì)于柱面CBT陣列，式（8）簡(jiǎn)化為式（9）。同樣對(duì)時(shí)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對(duì)于球面CBT陣列，可以得到即能使90%的情況下滿足對(duì)SIDE和RIPP的要求，這相對(duì)于陣列理論得到的工作頻率上限增加了超過(guò)0.57個(gè)倍頻程；對(duì)于柱面CBT陣列，可以得到即能使90%的情況下滿足對(duì)SIDE和RIPP的要求，這相對(duì)于陣列理論得到的工作頻率上限增加了超過(guò)0.76個(gè)倍頻程。

3 討論

可以考慮旁瓣SIDE和主瓣紋波RIPP對(duì)頻率上限的影響。如圖7所示，為不同的SIDE和RIPP要求情況下各個(gè)陣列的工作頻率上限對(duì)應(yīng)的按照式（8）擬合的結(jié)果，其中實(shí)線對(duì)應(yīng)，虛線對(duì)應(yīng)橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)SIDE的要求，其中–13.26 dB對(duì)應(yīng)常規(guī)的直線形均一陣列的最大旁瓣[22]。另外注意到圓弧形CBT陣列和柱面CBT陣列的計(jì)算結(jié)果即為接近，因此圖7中圓弧形CBT陣列的曲線與柱面CBT陣列的曲線幾乎重合。由圖7可見(jiàn)，主瓣紋波RIPP對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響較小，而旁瓣SIDE對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響較大。另外，由圖7（d）可見(jiàn)，大部分情況下擬合優(yōu)度都大于0.9，表明式（8）對(duì)計(jì)算結(jié)果有較好的擬合。

同樣可以對(duì)時(shí)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，如圖8所示即為能使90%情況下均能滿足旁瓣SIDE和主瓣紋波RIPP要求的工作頻率上限對(duì)應(yīng)的，同樣實(shí)線對(duì)應(yīng)，虛線對(duì)應(yīng)，橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)SIDE的要求。由圖可見(jiàn)，大部分情況下圓弧形CBT陣列和柱面CBT陣列的工作頻率上限對(duì)應(yīng)的，表明其工作頻率上限對(duì)于陣列理論可以至少拓展0.59個(gè)倍頻程；而對(duì)于球面CBT陣列，大部分情況下工作頻率上限對(duì)應(yīng)的，表明其工作頻率上限對(duì)于陣列理論可以至少拓展0.38個(gè)倍頻程。

4 結(jié) 語(yǔ)

首先，理論分析了CBT陣列的工作頻率上限。對(duì)于延時(shí)直線形CBT陣列，可以得到工作頻率上限的理論解，即需滿足陣列理論的要求，陣元的間距需小于最大工作頻率對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)的1/2。而對(duì)于圓弧形CBT陣列，無(wú)法得到理論解，需采用數(shù)值方法求解。

其次，采用數(shù)值方法分析了主瓣紋波不大于3 dB、旁瓣不大于–20 dB時(shí)的圓弧形CBT陣列的工作頻率上限，并采用最小二乘法對(duì)結(jié)果進(jìn)行擬合，給出了具體的擬合公式。結(jié)果表明圓弧形CBT陣列的工作頻率上限要大于陣列理論規(guī)定的工作頻率上限，大部分情況下工作頻率上限可以拓展至少0.76個(gè)倍頻程。此外還進(jìn)一步分析了球面CBT陣列和柱面CBT陣列，其中球面CBT陣列的工作頻率上限略小，但大部分情況下仍比陣列理論規(guī)定的工作頻率上限大0.57個(gè)倍頻程；而柱面CBT陣列的結(jié)果和圓弧形CBT陣列的結(jié)果幾乎一致。

最后，分析了主瓣紋波和旁瓣的不同要求對(duì)工作頻率上限的影響。結(jié)果表明，主瓣紋波的影響較小，而旁瓣的影響較大。

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