周開炎

在人類發(fā)展的歷史上，類比推理方法被譽為科學(xué)活動中“偉大的引路人”“人類認(rèn)知的核心”。在數(shù)學(xué)教學(xué)和研究中，通過類比推理方法可需尋求到解決數(shù)學(xué)問題和得出數(shù)學(xué)結(jié)論的方法和途徑；可培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、創(chuàng)造思維及合情推理能力.與之相對應(yīng)的，高中新課標(biāo)（實驗）把培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力作為主要的能力培養(yǎng)目標(biāo)之一。近年來，各地的高考試題中常出現(xiàn)類比思維的問題，同時很多高考題也適合進(jìn)一步類比拓展。

2017年北京高考數(shù)學(xué)理科第18題是一道關(guān)于直線和拋物線位置關(guān)系的問題，試題樸實無華、平易簡潔.筆者對本試題第（Ⅱ）小問進(jìn)行了深入思考，采用類比推理的方法對試題進(jìn)行了探究，得到了五個具有價值的推廣結(jié)論.

一、試題及解答

已知拋物線 過點 .過點 作直線 與拋物線 交于不同的兩點 ，過點 作 軸的垂線分別與直線 交于點 ，其中 為原點.

（Ⅰ）求拋物線 的方程，并求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（Ⅱ）求證：點 為線段 的中點.

解：（Ⅰ）易求 .拋物線 的焦點坐標(biāo) ，準(zhǔn)線方程為： .

（Ⅱ）易知直線 的斜率存在，設(shè)直線 ， .

由題意可知直線 ，直線 ，所以 .

由 消去 ，整理得 .

所以 .

因為

.

所以點 為線段 的中點.

二、采用類比推理方法推廣試題結(jié)論

（一）從特殊類比到一般

通過取特殊值，容易判斷出結(jié)論不再成立，也就是點 不再是線段 的中點.命題人是如何找到點 和點 這兩個點的呢？還存在別的點嗎？如果有，這兩個點之間會有什么關(guān)系呢？

通過畫圖和計算，很容易看出過點 和點 的直線恰好與拋物線 相切.那么，在其它條件不變的情況下，是否過 軸上任意一點 作一條直線與拋物線相切于點 ，這樣的一對點能使得點 為線段 的中點呢？

1.從特殊點類比到一般點

推廣結(jié)論1：已知點 在拋物線 上，過點 的直線 與拋物線 交于不同的兩點 ，過點 作 軸的垂線分別與直線 （ 為原點）交于點 ，則點 為線段 的中點.

結(jié)論1對拋物線 成立嗎？

2.從特殊拋物線類比到一般拋物線

求過點 的直線與拋物線的切點 .容易證明點 為線段 的中點.

于是，得到推廣結(jié)論2.

推廣結(jié)論2：已知拋物線 ，點 .過點 作直線 與拋物線 交于不同的兩點 ，過點 作 軸的垂線分別與直線 交于點 ，其中 為原點.則點 為線段 的中點.

由特殊向一般類比，絲絲相扣，既要求有良好的探究能力，同時也需要具有良好的發(fā)散性思維和合情推理能力.

（二）平行類比

由于拋物線與橢圓都屬于圓錐曲線，具有很多相似的性質(zhì)，應(yīng)該可將這種特殊結(jié)論向同類相似問題類比.反之，熟練的運用類比推理的方法將這種特殊結(jié)論進(jìn)行平行類比，也有利于加強(qiáng)知識之間的橫向聯(lián)系，加深對知識的深刻理解.

1.從拋物線類比到橢圓

結(jié)論2能否推廣到橢圓呢？

回到結(jié)論2，容易發(fā)現(xiàn) 軸恰好與拋物線 相切于頂點，抓住這個特征，將結(jié)論推廣到橢圓中.

推廣結(jié)論3 已知橢圓 ，點 .過點 作直線 與橢圓 交于不同的兩點 ，過點 作 軸的垂線分別與直線 交于點 ，其中 .則點 為線段 的中點.

2.從拋物線類比到雙曲線

類比將結(jié)論推廣到橢圓的過程，容易得到結(jié)論4.

推廣結(jié)論4已知雙曲線 ，點 .過點 作直線 與雙曲線 交于不同的兩點 ，過點 作 軸的垂線分別與直線 交于點 ，其中 .則點 為線段 的中點.

（三）聯(lián)想類比

將上述結(jié)論作更一般化的推廣，易得到結(jié)論5.

推廣結(jié)論5：已知圓錐曲線 ，過點 作曲線 的兩條切線，切點記為 .過點 作直線 與曲線 相交于點 ，過點 作平行于直線 的直線 分別與直線 交于點 .則點 為線段 的中點。

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不但要善于利用類比推理，而且要有意識地對學(xué)生進(jìn)行類比訓(xùn)練，促使學(xué)生在生活和社會實踐中對遇到的問題能進(jìn)行類比推理，找出解決問題的辦法.這樣不僅能拓展其思維的領(lǐng)域，而且有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維和能力.