高榮興

許多時(shí)候，在數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生的學(xué)習(xí)更多是對(duì)已有結(jié)論與觀點(diǎn)的被動(dòng)接受?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2011年版）》）指出，學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的本質(zhì)應(yīng)該是：學(xué)生在教師引導(dǎo)下主動(dòng)參與、自主探究、獨(dú)立思考和不斷創(chuàng)新的過(guò)程，是學(xué)生知識(shí)生長(zhǎng)、能力生成、生命成長(zhǎng)的過(guò)程。這里的關(guān)鍵詞是“引導(dǎo)”與“生成”，如何引導(dǎo)？生成什么？這些是數(shù)學(xué)教師必須思考的問(wèn)題。筆者結(jié)合泰州市教育科學(xué)規(guī)劃課題“‘引導(dǎo)生成式數(shù)學(xué)課堂教學(xué)案例研究”（TZJKS-YBLX2013300），以蘇科版《數(shù)學(xué)》教材九年級(jí)上冊(cè)的“平均數(shù)”一節(jié)課的教學(xué)為例，談?wù)剶?shù)學(xué)課堂中“引導(dǎo)與生成”的實(shí)踐和思考。

一、課堂實(shí)錄（片斷）

……

（教師展示兩支NBA球隊(duì)球員身高對(duì)比表，學(xué)生讀出每一個(gè)數(shù)據(jù)。）

師：隊(duì)員的身高是反映球隊(duì)實(shí)力的一個(gè)重要因素，從身高來(lái)看，哪個(gè)球隊(duì)實(shí)力更強(qiáng)？

生齊：……（亂成一團(tuán)）

師：口說(shuō)無(wú)憑，怎樣用數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)明？

生1：第二支球隊(duì)更具優(yōu)勢(shì)。

師：為什么？

生1：把第一支球隊(duì)所有數(shù)據(jù)加起來(lái)除以5，得[9975]。

師生：也就是199.4。

生1：把第二支球隊(duì)所有數(shù)據(jù)加起來(lái)除以5，得[10115]，算下來(lái)得202.2，因?yàn)?02.2>199.4，所以第二支球隊(duì)更具優(yōu)勢(shì)。

師：在小學(xué)里計(jì)算的結(jié)果199.4與202.2叫作什么？

生（齊）：平均數(shù)。

師：好，我們今天就來(lái)學(xué)習(xí)平均數(shù) （揭示課題，板書(shū)“平均數(shù)”）。大家都會(huì)計(jì)算平均數(shù)了，那么，平均數(shù)如何用式子表示？符號(hào)是什么？請(qǐng)大家?guī)е@個(gè)問(wèn)題自主學(xué)習(xí)教材第98頁(yè)。

……

師：我們來(lái)看下面這樣一個(gè)問(wèn)題：

小明和小麗所在的A、B兩個(gè)小組的同學(xué)身高如下：

計(jì)算： xA、 xB。

生2：xA =

[164+168+171+166+170+168+166+164+169+170+166+16812]=167.5；

師： xB =[166+…+16810=167.3] 。

師：在計(jì)算A組時(shí)數(shù)據(jù)寫得很長(zhǎng)，對(duì)于B組，我們用了“省略號(hào)”來(lái)簡(jiǎn)寫，那是否有一種方法，既能反映相同數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，又不需要寫那么長(zhǎng)？

生3：A組數(shù)據(jù)中164有2個(gè)，168有3個(gè)，171有1個(gè)，166有3個(gè)，170有2個(gè)，169有1個(gè)，可以用乘法來(lái)列式計(jì)算。

（學(xué)生找出相同的數(shù)據(jù)后。）

師：你們是怎么進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的？

生（齊）：劃“正”字。

生4：通過(guò)表格劃“正”字。

（教師指導(dǎo)學(xué)生如何進(jìn)行。）

師生： xA =

[164×2+166×3+168×3+169×1+170×2+171×12+3+3+1+2+1]

=167.5。

師：對(duì)于B組數(shù)據(jù)，你能不能設(shè)計(jì)表格來(lái)統(tǒng)計(jì)一下呢？

生5：

師：（指導(dǎo)學(xué)生用第二種方法計(jì)算。）大家通過(guò)上面兩組的計(jì)算發(fā)現(xiàn)B組用第二種方法時(shí)，計(jì)算優(yōu)勢(shì)并不明顯，那大家思考一下，什么情況下用第二種方法更簡(jiǎn)便？

生6：當(dāng)相同數(shù)據(jù)比較多時(shí)。

師：在上面的例子中，我們發(fā)現(xiàn)不管第一種方法還是第二種方法，數(shù)據(jù)都是比較大的，那能不能先把數(shù)據(jù)縮小后再計(jì)算呢？

生7：找170作為標(biāo)準(zhǔn)，用這些數(shù)減去170，求出所得到新數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再加上170即可。

師生：把B組每一個(gè)數(shù)據(jù)減去170得-4，2，0，-8，-6，-1，0，-5，-3，-2。

xB′ = [110]（-4+2+0-8-6-1+0-5-3-2）=-2.7，

xB =-2.7+170=167.3。

師：跟前面計(jì)算的結(jié)果一樣。是偶然還是必然？

生齊：必然。

師：是必然就必須加以證明。

師生：設(shè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，把每個(gè)數(shù)據(jù)都減去c，得x1′=x1-c，x2′=x2-c，…，xn′=xn-c。

x=[1n]（x1′+c+…+xn′+c）=[1n]（x1′+…+xn′+nc）=[1n]（x1′+…+xn′）+c=x′+c。

師：剛才同時(shí)減去170，我們可不可以選擇其他數(shù)據(jù)作為標(biāo)準(zhǔn)？

生（齊）：可以。

師：如果選20作為標(biāo)準(zhǔn)呢？

（有學(xué)生悄悄說(shuō)行。）

師：我聽(tīng)見(jiàn)有人說(shuō)行？真的行嗎？

生8：不行，因?yàn)闇p去20后數(shù)據(jù)仍比較大。

師：其實(shí)也可以計(jì)算，但數(shù)據(jù)仍比較大。你們認(rèn)為所選擇的數(shù)有什么要求？

生（齊）：所選擇的數(shù)據(jù)應(yīng)盡可能與這些數(shù)據(jù)相接近。

師：什么時(shí)候才能用第三種方法計(jì)算呢？

（學(xué)生自由回答。）

師：（總結(jié)）一是數(shù)據(jù)比較大，二是數(shù)據(jù)比較多的時(shí)候。

（學(xué)生重新選取一個(gè)數(shù)進(jìn)行計(jì)算。）

師：那么能不能說(shuō)明小明一定能比小麗高呢？

生（齊）：不能。

生7：A組數(shù)據(jù)中有的比B組中的數(shù)據(jù)小。

師：對(duì)，平均數(shù)大只能說(shuō)明整體的平均水平高，并不是說(shuō)平均數(shù)大，所有的數(shù)據(jù)都一定大。

……

二、教學(xué)反思

通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，筆者發(fā)現(xiàn)：學(xué)生的學(xué)習(xí)離不開(kāi)教師的引導(dǎo)，這種引導(dǎo)應(yīng)該是無(wú)痕的、潤(rùn)物無(wú)聲的，只有恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)，才能自然生成知識(shí)、生成方法、生成能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展、生命成長(zhǎng)。

1.什么是恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)？

著名數(shù)學(xué)教育家G·波利亞說(shuō)過(guò)，“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”。引導(dǎo)的抓手是問(wèn)題，恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)就是要有高觀點(diǎn)，根據(jù)學(xué)生認(rèn)知現(xiàn)實(shí)設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題，引發(fā)學(xué)生的思考。

（1）恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)要有大局觀。

問(wèn)題要有明確目標(biāo)，并相互關(guān)聯(lián)、承上啟下。因此教師必須要認(rèn)真鉆研教材，要知道這部分知識(shí)在整個(gè)知識(shí)體系中所處的位置，作用是什么；還要知道這部分知識(shí)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間有何關(guān)聯(lián)，要能夠找出一條“線”，所有的問(wèn)題都要圍繞這條線來(lái)進(jìn)行。

這節(jié)課就是圍繞著如何“算”展開(kāi)的。在學(xué)生產(chǎn)生了算平均數(shù)的需求時(shí)，教師提出了“如何算平均數(shù)”的問(wèn)題；在應(yīng)用平均數(shù)公式列式計(jì)算的工作量比較大時(shí)，教師提出了能不能把式子列短一點(diǎn)的問(wèn)題；對(duì)于B組數(shù)據(jù)采用公式和用加權(quán)公式計(jì)算難度差不多時(shí)，教師提出了能不能把數(shù)據(jù)縮小的問(wèn)題；在介紹完第三種計(jì)算方法后，教師又提出了能否隨意減小的問(wèn)題。所有的這些問(wèn)題都在學(xué)生的討論中得到了解決，所有的知識(shí)點(diǎn)和注意點(diǎn)都通過(guò)學(xué)生自己的“說(shuō)”得以呈現(xiàn)。

（2）恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)要符合學(xué)生實(shí)際。

恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)要符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和認(rèn)知特點(diǎn)。首先，應(yīng)從學(xué)生熟悉的知識(shí)入手，激發(fā)學(xué)生興趣。本節(jié)課從學(xué)生熟悉的NBA球員的身高入手，激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)平均數(shù)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生思考如何對(duì)球隊(duì)實(shí)力進(jìn)行評(píng)價(jià)，讓學(xué)生產(chǎn)生了計(jì)算平均數(shù)的需求，學(xué)生又因自主計(jì)算產(chǎn)生了簡(jiǎn)單運(yùn)算的需求，所有的知識(shí)出現(xiàn)得非常自然。

其次， 數(shù)學(xué)的課堂應(yīng)該是“做中學(xué)”的課堂，教師要引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手實(shí)施，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的探求的過(guò)程，從而獲得直觀真實(shí)的感受；教師要引導(dǎo)學(xué)生理性地思考，在理性的思考與推理中完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2.怎樣才能自然地生成？

什么是自然生成？ 就課堂教學(xué)而言，自然生成就是在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生自主探究，發(fā)現(xiàn)新的問(wèn)題，掌握新知識(shí)、新方法，從而形成數(shù)學(xué)探究、思維、表達(dá)的能力。

（1）預(yù)設(shè)是自然生成的保證。

預(yù)設(shè)是課堂自然生成的保證，什么問(wèn)題在何時(shí)呈現(xiàn)或如何啟發(fā)學(xué)生質(zhì)疑、面對(duì)具體問(wèn)題學(xué)生可能會(huì)產(chǎn)生什么情況、什么時(shí)間節(jié)點(diǎn)生成什么知識(shí)、什么時(shí)候滲透什么方法……教師都應(yīng)做到心中有數(shù)。當(dāng)學(xué)生自主探究時(shí)，教師要知道什么時(shí)候“放”、什么時(shí)候“收”、什么時(shí)候“點(diǎn)睛”。在本節(jié)課教學(xué)中，筆者做到了充分的預(yù)設(shè)，在關(guān)鍵時(shí)刻提出問(wèn)題或進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，引領(lǐng)學(xué)生的探究活動(dòng)，助推知識(shí)的自然生成。

（2）“意外”是自然生成的資源。

課堂生成的過(guò)程是一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程。除了預(yù)設(shè)之中的生成，還有預(yù)料之外的生成。當(dāng)學(xué)生在練習(xí)中出現(xiàn)偏差時(shí)、對(duì)問(wèn)題有出乎意料的回答時(shí)、當(dāng)學(xué)生提出了預(yù)設(shè)之外的要求時(shí)……這些“意外”都是自然生成的資源。教師應(yīng)當(dāng)捕捉生成時(shí)機(jī)，抓住課堂中的這些“意外”，相機(jī)引導(dǎo)，生成意外的精彩。如本節(jié)課中，在引出第三種計(jì)算方法后提問(wèn)：“剛才同時(shí)減去170，我們可不可以選擇20作為標(biāo)準(zhǔn)？”教師本意是學(xué)生能回答“不可以”，但有學(xué)生說(shuō)“可以”，教者沒(méi)放過(guò)這種“意外”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論，形成了“算是可以的，但簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)的目的沒(méi)達(dá)到”的共識(shí)，學(xué)生由此對(duì)什么時(shí)候選擇第三種計(jì)算方法有了更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，體味到數(shù)學(xué)追求“大道至簡(jiǎn)”的簡(jiǎn)潔美。

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）