盧里舉

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?首先，從二次型多項(xiàng)式的正定性判別出發(fā)，研究二次型的極值問題，得到正交變換可保駐點(diǎn)和極值點(diǎn)不變性，并從理論上解決了一般二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次型問題;其次，采用泰勒展開法，將多元函數(shù)在駐點(diǎn)處進(jìn)行二階泰勒展開，并考查系數(shù)矩陣的定性，并依此得到極值判定的充分條件;最后，給出該方法在多元線性回歸中計(jì)算回歸系數(shù)的應(yīng)用.

[關(guān) ? ?鍵 ? 詞] ?二次型;正（負(fù)）定;二次多項(xiàng)式;極值判定;泰勒展開;多元線性回歸

[中圖分類號(hào)] ?G712 ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] ?A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文章編號(hào)] ?2096-0603（2018）27-0148-02

一、二次型的極值

在線性代數(shù)理論中，采用的正交變換使一般二次型多項(xiàng)式成為標(biāo)準(zhǔn)化.而正交變換保證了保角和保長(zhǎng)的性質(zhì)，這表明函數(shù)在表示幾何曲面的意義下，通過正交變換，能保持曲面幾何不變性，只是在位置上發(fā)生一定的變化，同時(shí)，在標(biāo)準(zhǔn)形式下，更容易分析曲面的幾何性質(zhì).事實(shí)上，在代數(shù)形態(tài)下，函數(shù)的某些形態(tài)也具有不變性，在二次型的極值研究中，正交變換還具有保駐點(diǎn)不變和保極值點(diǎn)不變的性質(zhì).二次型標(biāo)準(zhǔn)化的形式為：

f（x）=f（x1，…，xn）=■aiixi2+2■aijxixj=xAxT=■λiyi2

注意到，如果特征根全為正，其標(biāo)準(zhǔn)型存在唯一的極值點(diǎn)（也是最小值點(diǎn)）y=0.于是函數(shù)f（x）的最小值點(diǎn)為：0=y=xP，由正交變換的可逆性，于是x=0.

關(guān)于二次型的定性和極值點(diǎn)的判別：

1.系數(shù)矩陣是正定（負(fù)定）的，特征根全為正（負(fù)），此時(shí)函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn)x=0，也是最?。ù螅┲迭c(diǎn).

2.系數(shù)矩陣是未定型的，同時(shí)存在正的和負(fù)的特征根，此時(shí)函數(shù)存在駐點(diǎn)x=0，但駐點(diǎn)不是極值點(diǎn)，因此，函數(shù)不存在極值點(diǎn);事實(shí)上，不妨設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化中的第一二兩個(gè)特征根分別為正數(shù)和負(fù)數(shù)，那么，第一、二分量的0的鄰域內(nèi)，函數(shù)取值既有正數(shù)和負(fù)數(shù)，而f（0）=0.

3.系數(shù)矩陣是半正定（負(fù)定）的，此時(shí)，特征根為0或者是正（負(fù)）的，并且由矩陣論可知正特征根的個(gè)數(shù)為系數(shù)矩陣的秩，那么函數(shù)存在極值點(diǎn)，也是最?。ù螅┲迭c(diǎn)，這些極值點(diǎn)構(gòu)成超平面S，其維數(shù)滿足r（S）=n-r（A）;事實(shí)上，不妨設(shè)λ1，…，λK>0，k=r（A），在標(biāo)準(zhǔn)型中，只要??？坌y1，…，yk=0，yk+1，…，yn≠0，f（x）=0其對(duì)應(yīng)的x≠0，并且構(gòu)成的空間S維數(shù)為r（S）=n-r（A）.

二、二次型的平移與二次多項(xiàng)式

對(duì)二次型函數(shù)的研究，還可以將之一般化，考慮對(duì)二次型函數(shù)采用平移變換，得到形式：

f（x）=f（x1，…，xn）=■aii（xi-xi0）2+2■aij（xi-xi0）（xj-xj0）

=■aii（xi2-2xixi0+xi02）+2■aij（xixj-xi0xj-xixj0+xi0xj0）

=■aiixi2+2■aijxixj-2■bixi-2■cjxj+d

其極值點(diǎn)的存在性，可與標(biāo)準(zhǔn)二次型的極值進(jìn)行類比討論，決定因素依然是系數(shù)矩陣的定性.比如，在系數(shù)系數(shù)矩陣的特征根全為正（負(fù)）的，函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn)x0=（x10，…，xn0）.

由線性方程的性質(zhì)知：一般二次型函數(shù)通過平移，能化為二次型的充要條件是二次函數(shù)存在駐點(diǎn).針對(duì)一般形式，其平移為二次型的做法就是，對(duì)存在駐點(diǎn)的，先求解駐點(diǎn)，再將之改寫為二次型，而對(duì)駐點(diǎn)不存在的，則不能改寫為二次型.

比如：f（x，y）=x2+y2+2xy+4x+2y，滿足fx=2x+2y+4=0及fy=2y+2x+2=0的點(diǎn)不存在，故而該函數(shù)不能寫成標(biāo)準(zhǔn)二次型.另外，如果該函數(shù)能寫成二次型形式：f（x，y）=（x-a）2+（y-b）2+

k（x-a）（y-b），將其展開，并比較系數(shù)得k=2，a+b=-2，并且a+b=-1，這是不可能的，或者說關(guān)于待定常數(shù)a，b是無解的，這也表明該函數(shù)不能寫成標(biāo)準(zhǔn)二次型.

以上研究表明，不是任意的一般二次函數(shù)形式，都能改寫成標(biāo)準(zhǔn)二次型形式，只有在一定的條件下方可標(biāo)準(zhǔn)化.那么，怎樣的條件，可保證標(biāo)準(zhǔn)化？事實(shí)上，存在駐點(diǎn)的一般二次函數(shù)就具有這種特征.設(shè)一般二次函數(shù)f（x）=f（x1，…，xn）=■aiixi2+■aijxixj-■bixi+d，令■=2aiixi+■aijxj-bi=0，記系數(shù)矩陣列向量αi=（■aij，■aij，…，2aii，…，■aij）T，β=（b1，b2…，bn）T，那么，由線性方程解存在的條件可知，存在駐點(diǎn)的充要條件是系數(shù)矩陣的秩與系數(shù)增廣矩陣的秩相等，即r（α1，…，αn）=r（α1，…，αn，β）=m同時(shí)，如果m=n，此時(shí)駐點(diǎn)是唯一的;如果m

例如f（x，y）=x2+2y2+4xy+2x+4y，滿足fx=2x+4y+2=0及fy=4y+4x+4=0，得到駐點(diǎn)為（-1，0），故而該函數(shù)可寫成二次型f（x，y）=（x+1）2+2y2+4（x+1）y-1.

三、多元函數(shù)的二次型展開與極值判定

在二元函數(shù)極值的問題研究中，眾多文獻(xiàn)均給出了極值判定的充分條件.其依據(jù)是建立在對(duì)二元函數(shù)的二階泰勒展開，同時(shí)，給出在系數(shù)矩陣的正（負(fù)）定時(shí)，極值的判別.以下將針對(duì)更高維度的多元函數(shù)的極值給出判定方法，并指出相應(yīng)的理論依據(jù).

對(duì)于元多函數(shù)f（x）=f（x1，…，xn）.如果存在x0=（x10，…，xn0）使得■|■=0，即存在駐點(diǎn)，記二階偏導(dǎo)數(shù)為fij（x0）=■|■=aij，并且二階偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù).那么函數(shù)在駐點(diǎn)處可以寫成二階泰勒形式：f（x）=f（x0）+■（■aii（xi-xi0）2+2■aij（xi-xi0）（xj-xj0））+o（ρ），其中ρ表示點(diǎn)到駐點(diǎn)的歐氏距離.考慮到混合偏導(dǎo)數(shù)相等，于是，關(guān)于極值的判定矩陣可表示為：Δ=（aij）（n×n），其定性可以通過特征根的計(jì)算，或者采用順序主子式的計(jì)算得以實(shí)現(xiàn).同時(shí)，如果涉及多個(gè)駐點(diǎn)的，要分別給予判別.

結(jié)論：（1）Δ是正定（負(fù)定）的，特征根全為正（負(fù)），此時(shí)函數(shù)存在極小值點(diǎn);（2）Δ是未定型的，同時(shí)存在正的和負(fù)的特征根，此時(shí)駐點(diǎn)不是極值點(diǎn);（3）Δ是半正定（負(fù)定）的，此時(shí)，特征根為0或者是正（負(fù)）的，并且由矩陣論可知正特征根的個(gè)數(shù)為系數(shù)矩陣的秩，那么函數(shù)存在極值點(diǎn)，這些極值點(diǎn)構(gòu)成超平面S，其維數(shù)滿足r（S）=n-r（A）.如此，再將二元函數(shù)的極值問題推廣為更多元函數(shù)時(shí)，其判別思路不是簡(jiǎn)單的性質(zhì)平移，而是要從矩陣的定性來進(jìn)行思考.

在實(shí)際操作中，涉及極值的求解與判斷中，還可以考慮變量之間的線性不相關(guān)的性質(zhì).在一般二次型中，如果某個(gè)分量xk0在駐點(diǎn)x0=（x10，…，xn0）處滿足akj=0（j≠k）.稱該分量與其他分量線性不相關(guān).故對(duì)于此項(xiàng)而言，其極值的問題的研究可以單獨(dú)進(jìn)行考慮.同樣地，對(duì)于一般多元函數(shù)問題，如果在有分量xk0駐點(diǎn)滿足fkj（x0）=■|■=akj=0（j≠k），稱該分量在駐點(diǎn)處與其他分量線性不相關(guān)，此時(shí)，影響判定矩陣定性的，僅僅為其二階純偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，其值表現(xiàn)為判定矩陣的特征根之一.

四、多元函數(shù)極值的應(yīng)用

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，利用最小二乘法原理，對(duì)一元線性回歸方程中的系數(shù)進(jìn)行求解，即認(rèn)為最優(yōu)的擬合直線應(yīng)該滿足實(shí)際測(cè)量值與回歸直線相應(yīng)點(diǎn)處的平方和（絕對(duì)偏差）最小.其數(shù)學(xué)模型表現(xiàn)為：min=■（yi-a（xi+b））2，其中y=ax+b為直線回歸方程，a，b為所求的系數(shù).關(guān)于回歸系數(shù)的存在性，可以通過以下二次型理論證明.事實(shí)上，這是關(guān)于變量a，b的二次型，由最小二乘法目標(biāo)函數(shù)知，該函數(shù)是正定的，因此，存在極小值點(diǎn)（唯一的），只要求出駐點(diǎn)即可.

那么，對(duì)于多元線性回歸，其中回歸方程的系數(shù)依然可采用此法，即系數(shù)滿足實(shí)際測(cè)定值與回歸方程相應(yīng)點(diǎn)的平方和最小，此時(shí)，相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型可以描述為：min=w=■（uj-（■aixij+c））2，其中u=■aixi+c為回歸方程，a1，a2，…，ap，c為所求的系數(shù).這是關(guān)于變量a1，a2，.…，ap，c的二次型，且是正定的，因此，存在極小值點(diǎn)（唯一的），只要求出駐點(diǎn)即可.由駐點(diǎn)的性質(zhì)：■=0=■，于是，駐點(diǎn)滿足線性方程組：

■

對(duì)此，采用線性方程的克萊姆法則即可求出各參數(shù)的值.

在多元統(tǒng)計(jì)線性回歸操作中，在實(shí)際問題處理中，還需要對(duì)變量之間的相關(guān)程度展開研究，認(rèn)為具有高相關(guān)程度的兩個(gè)變量進(jìn)行合并，以減少回歸系數(shù)的運(yùn)算.同時(shí)，也保證了駐點(diǎn)方程解的唯一性.

另外，需要說明的是，在回歸系數(shù)的求解中，以上所給出的是它的理論計(jì)算，在實(shí)際應(yīng)用中，往往采用科學(xué)計(jì)算進(jìn)行實(shí)現(xiàn).可采用專業(yè)的數(shù)學(xué)軟件，以完成相關(guān)的計(jì)算.與此同時(shí)，在線性回歸中，還需要對(duì)回歸的優(yōu)度進(jìn)行檢驗(yàn)，關(guān)于此，本文未給予統(tǒng)計(jì)理論方面的解釋.

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