雷宇

摘要

將一個(gè)基于雙曲函數(shù)的非線性函數(shù)應(yīng)用于三次磁控憶阻混沌系統(tǒng)得到一個(gè)四翼吸引子混沌系統(tǒng)，通過(guò)吸引子相圖、lyapunov指數(shù)分析表明，該多翼混沌吸引子具有更豐富，更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特征，仿真結(jié)果和理論計(jì)算一致，為新的混沌電路的設(shè)計(jì)提供了一種思路。

【關(guān)鍵詞】連續(xù)非線性函數(shù) 憶阻混沌系統(tǒng) 混沌吸引子 lyapunov指數(shù)

1982年，蔡少棠提出了著名的蔡氏電路，在一定參數(shù)條件下，可產(chǎn)生各種分岔、單渦卷和雙渦卷混沌吸引子等非線性現(xiàn)象和混沌動(dòng)力學(xué)行為[1-2]。Itoh和蔡少棠[3]利用一個(gè)分段線性的憶阻器替換蔡氏混沌電路中的蔡氏二極管，得到第一個(gè)憶阻混沌振蕩路。Muthuswamy[4]將一個(gè)不連續(xù)分段線性憶阻器代替蔡氏電路中的二極管，得到新的混沌行為。

包伯成基于一個(gè)具有光滑連續(xù)的三次單調(diào)上升的磁控憶阻器設(shè)計(jì)出憶阻混沌電路，具有豐富而獨(dú)特的動(dòng)力學(xué)特性[5-6]。自1993年suyken等成功構(gòu)造多渦卷系統(tǒng)后，許多學(xué)者分別采用分段線性函數(shù)、時(shí)滯函數(shù)、正弦函數(shù)和飽和函數(shù)[7-10]在Lorenz系統(tǒng)[11-13]、Jer[14]、colpitts[15]等不同混沌系統(tǒng)構(gòu)建了更為復(fù)雜的多渦卷吸引子，被廣泛的應(yīng)用于保密通訊、信息加密、數(shù)字語(yǔ)音等信息領(lǐng)域，這種獲得更為復(fù)雜的混沌吸引子的方式也日益被關(guān)注。

本文設(shè)計(jì)了一個(gè)基于雙曲函數(shù)的連續(xù)非線性函數(shù)，將此函數(shù)應(yīng)用于三次光滑憶阻混沌系統(tǒng)，對(duì)新系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，并對(duì)其進(jìn)行matlab仿真仿真，結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果一致。2新的四翼憶阻混沌系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

（1）包伯成構(gòu)建的光滑憶阻混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

x=A[y-x+Dx-W（w）x]

y=x-y+z

z=-By-Cz

w-x

W（w）憶阻器憶導(dǎo)，W（w）=a+3bw2，式（1）中：x，y，z，w為狀態(tài)變量，A，B，C，D，a，b為系統(tǒng)參數(shù)。當(dāng)選擇參數(shù)A=16.4，B=15，c=o.5，D=1.4，a=0.2，b=0.4時(shí)，系統(tǒng)（1）存在一個(gè)典型的兩渦卷混沌吸引子，如圖1所示。

（2）構(gòu)建一個(gè)基于雙曲函數(shù)的非線性函數(shù)，表達(dá)式為：

F=k*z-p*k*（-tanh（n*z）+tanh（n*z）+tanh（n*（z+2 *p》+tanh（n*z）+tanh（n*z-2 *p》

此函數(shù)由線性函數(shù)和非線性函數(shù)合成，是連續(xù)的，k分別為0 65和0 35時(shí)非線性函數(shù)F（z）的曲線圖如圖2所示，由圖1可知，k可改變非線性函數(shù)的斜率。

（3）將非線性函數(shù)引入到系統(tǒng)（1）第4式，從而構(gòu)建了如下的新的憶阻混沌系統(tǒng)（2）：

x=A[y-x+Dx-W（w）x]

y =x-y+z

z=-By-Cz

w=x+k+z—p*k*（-tanh（n*z）+tanh（n*z）+tanh（n*（z+2*p》）+tanh（n*z）+tanh（n*z-2*p》

3新系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

3.1對(duì)稱(chēng)性

新系統(tǒng)作變換（x，y，z，w）一（-x，-y，-z，-w），系統(tǒng)保持不變，即系統(tǒng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，這種對(duì)稱(chēng)性，對(duì)于所有參數(shù)都成立。

3.2耗散性

散度

vv=

此時(shí)系統(tǒng)是耗散的，當(dāng)在此條件下，當(dāng)t趨近于無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)軌線上每一個(gè)小體積元收斂到零，系統(tǒng)的軌道逐漸趨于一個(gè)吸引子。

3.3混沌吸引子，lyapunov指數(shù)和維數(shù)

設(shè)新混沌系統(tǒng)初始值為（O.l，0.1，O.l，O.l），在matlab中應(yīng)用龍格.庫(kù)塔法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算可以得到吸引子相圖，利用wolf方法可以得到李雅普諾夫指數(shù)。

固定，時(shí)間步長(zhǎng)為0.5，最大時(shí)長(zhǎng)為400，新系統(tǒng)混沌吸引子如圖所示，由圖可看出：相比單向兩渦卷混沌系統(tǒng)相比，該系統(tǒng)在多方向上分離產(chǎn)生四翼吸引子，具有更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。

3.3.1固定P=5，n=30，k=0.95

設(shè)時(shí)間步長(zhǎng)為0 5，最大時(shí)長(zhǎng)為400，新系統(tǒng)混沌吸引子如圖3所示，由圖可看出：相比單向兩渦卷混沌系統(tǒng)，新系統(tǒng)相軌在更多方向上分離，在不同方向拉伸折疊變換，產(chǎn)生四翼吸引子。當(dāng)初始值為（0.1，O.l，O.l，O.l），時(shí)間步長(zhǎng)為0 5，最大時(shí)長(zhǎng)為400，李雅譜諾夫指數(shù)為L(zhǎng)El=0.104657，LE2=0，LE3=-0 851344，LE4=-19.664244，系統(tǒng)的維數(shù)為：

Ei= 2.0051，系統(tǒng)lyapunov指數(shù)一個(gè)為正，一個(gè)為O，兩個(gè)為負(fù)，且lyapunov維數(shù)是分?jǐn)?shù)，因此系統(tǒng)在此參數(shù)下是混沌的。

3.3.2固定P=5，n=3，k=0.4

新系統(tǒng)的混沌吸引子如圖所示4。新系統(tǒng)相軌同樣產(chǎn)生四翼吸引子，但吸引子在x和方向收縮。當(dāng)初始值為（O.1，O.l，O.l，O.l），時(shí)間步長(zhǎng)為0.5，最大時(shí)長(zhǎng)為400，李雅譜諾夫指數(shù)為L(zhǎng)El=0.167547，LE2=0，LE3=-0.792802，LE4=-17.720023，系統(tǒng)的維數(shù)為2 0092，系統(tǒng)lyapunov最大正指數(shù)相比參數(shù)為P=5，n=3，k=0.95時(shí)的狀態(tài)更大，且lyapunov維數(shù)是分?jǐn)?shù)更大，因此系統(tǒng)在此參數(shù)下是混沌復(fù)雜度增大。

3.3.3固定P=5，n=30，k=-0.2

新系統(tǒng)的混沌吸引子如圖5所示。新系統(tǒng)以周期軌道運(yùn)行。當(dāng)初始值為（O.l，O.l，O.l，O.l），時(shí)間步長(zhǎng)為0 5，最大時(shí)長(zhǎng)為1200，新系統(tǒng)李雅譜諾夫指數(shù)為L(zhǎng)El=-0.072336，LE2=-0.131838， LE3=-0.331302， LE4=-26.192317，新系統(tǒng)lyapunov指數(shù)一個(gè)為O，三個(gè)為負(fù)值，可以說(shuō)明系統(tǒng)處于周期態(tài)。

4結(jié)語(yǔ)

本文在一個(gè)二翼憶阻混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上提出了一個(gè)新四翼混沌系統(tǒng)，利用理論分析和matlab數(shù)值計(jì)算分析了新系統(tǒng)，其既能產(chǎn)生不同形狀的四翼吸引子，也能得到周期性軌道，具有更加豐富的動(dòng)力特征。為獲得新的混沌系統(tǒng)提供一種思路，在保密通信中的信息加密具有較高的應(yīng)用價(jià)值，為在通訊安全領(lǐng)域的應(yīng)用提供可行性依據(jù)。

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