張 琳，何 玲， 龐 嵩，劉長江

(1.中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司，四川成都 610031； 2. 成都理工大學(xué)，四川成都 610059)

張拉平面膜結(jié)構(gòu)主要用于會(huì)展中心、停車場(chǎng)和體育館等公共設(shè)施的平面型屋蓋結(jié)構(gòu)中[1]。由于這種結(jié)構(gòu)自重輕、剛度小，因而在外荷載作用下容易產(chǎn)生振動(dòng)，以致膜面松弛變形，甚至導(dǎo)致整個(gè)膜結(jié)構(gòu)失效。因此對(duì)膜結(jié)構(gòu)的動(dòng)力設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化控制具有重要意義。

目前，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)薄膜結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)作了一定的研究。1999年，Vega等對(duì)帶有內(nèi)部斜撐的矩形薄膜的自由振動(dòng)進(jìn)行了研究，得到了其振動(dòng)頻率的解析解[2]。2002年和2004年，Kang等對(duì)傾斜和彎曲復(fù)合矩形薄膜的自由振動(dòng)進(jìn)行了研究，得到了傾斜度和彎曲度對(duì)其振動(dòng)頻率的影響[3]。2009年，Reutskiy發(fā)展了一種新的數(shù)值分析方法對(duì)任意形狀的薄膜的非線性振動(dòng)進(jìn)行了研究，該方法基于頻譜分析系統(tǒng)物理響應(yīng)的數(shù)學(xué)模擬[4]。在國內(nèi)，2010年，林文靜等構(gòu)造六節(jié)點(diǎn)三角形單元，用于平面薄膜自由振動(dòng)的有限元分析，給出了三個(gè)典型算例表明，六節(jié)點(diǎn)三角形單元的計(jì)算結(jié)果比ANSYS三角形單元更接近理論解，即六節(jié)點(diǎn)三角形單元具有更高的精度[5]。

以上的這些研究都是針對(duì)均勻的膜結(jié)構(gòu)進(jìn)行的研究，且沒有進(jìn)行沖擊荷載下膜結(jié)構(gòu)的受迫振動(dòng)的研究。因此，本文將采用近似解析方法和數(shù)值分析對(duì)正交異性的平面張拉建筑膜結(jié)構(gòu)在沖擊荷載下的無阻尼受迫振動(dòng)問題進(jìn)行研究，為膜結(jié)構(gòu)的動(dòng)力設(shè)計(jì)提供一定的理論依據(jù)。

1 建立振動(dòng)控制方程

開展正交異性的平面張拉建筑膜結(jié)構(gòu)在沖擊荷載下的無阻尼受迫振動(dòng)問題的理論研究，核心任務(wù)是確定沖擊荷載，并建立振動(dòng)控制方程。

1.1沖擊荷載

四邊固支的正交異性矩形薄膜結(jié)構(gòu)的x方向邊長為a，y方向的邊長為b，x方向初始拉力為Nox，y方向初始拉力為Noy，沖擊荷載為一垂直于膜面入射的小球，其質(zhì)量為M，初始速度為v0，如圖1所示。當(dāng)沖擊點(diǎn)位于膜面上的點(diǎn)(x0,y0)處時(shí)，沖擊荷載可表示為：

p(x,y,t)=F(t)δ(x-x0)(y-y0)

(1)

其中，F(xiàn)(t)為膜面所受沖擊力；δ(x)為Dirac函數(shù)。

圖1 四邊固支的正交異性矩形薄膜受小球撞擊示意

沖擊荷載是在一很短的時(shí)間內(nèi)作用的荷載，因此將小球與膜面的碰撞視為彈性碰撞，根據(jù)動(dòng)量定理建立沖擊力F(t)與薄膜撓度w(x,y,t)的關(guān)系式，有：

(2)

對(duì)式(2)求一次導(dǎo)計(jì)算，得：

(3)

1.2 控制方程和邊界條件

根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)達(dá)朗貝爾原理[6]和馮·卡門大撓度理論[7-8]，便可以得到正交異性矩形薄膜在沖擊荷載作用下的運(yùn)動(dòng)和受迫振動(dòng)控制方程，通過推理獲得受迫振動(dòng)控制方程組簡化式：

(4)

(5)

式中：N0x表示x向預(yù)張力；N0y表示y向預(yù)張力；Nx表示x向拉力；Ny表示y向拉力；w=w(x,y,t)為薄膜撓度；ρ為膜材的面密度。

2 控制方程求解

對(duì)已建立的受迫振動(dòng)控制方程進(jìn)行求解，得到振動(dòng)位移函數(shù)。設(shè)振動(dòng)位移函數(shù)和應(yīng)力函數(shù)的表達(dá)式如下：

(6)

(7)

式(6)中:0≤x≤a，0≤y≤b，a和b分別為薄膜的長短邊長度；φmn(x,y)和Tmn(t)為未知函數(shù)；Tmn(t)為時(shí)間的函數(shù)，它反映振動(dòng)隨時(shí)間變化的規(guī)律；m和n取正整數(shù)，表示x方向和y方向的正弦半波數(shù)或稱為節(jié)線數(shù)。

為簡化運(yùn)算符號(hào)，令Tmn(t)=T(t)，φ(x,y,t)=φ，φmn(x,y)=φ(x,y)=φ，Wmn(x,y)=W(x,y)=W=sin(mπx/a)sin(nπy/b

將式(6)、式(7)只取其中的一項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，再將最終得到的結(jié)果按照式(6)、式(7)式進(jìn)行求和計(jì)算，即：

w(x,y,t)=T(t)·W(x,y)

(8)

φ(x,y,t)=T2(t)·φ(x,y)

(9)

把式(9)代入式(5)得：

(10)

根據(jù)式(10)的結(jié)構(gòu)，設(shè)滿足式(10)的解有如下形式：

γ1x3+γ2x2+γ3y3+γ4y2

(11)

將式(11)代入式(10)得：

(12)

下面計(jì)算沖擊薄膜的瞬間，薄膜與小球一起運(yùn)動(dòng)的初速度。在沖擊時(shí)，沖擊時(shí)間非常短暫，薄膜與小球組成的系統(tǒng)近似為保守系統(tǒng)，動(dòng)量守恒定理適用?？紤]膜面不同點(diǎn)的速度的不同，則有：

(13)

其中，W為薄膜的初始變形函數(shù)。v0為小球的初速度，v0′為小球與薄膜沖擊點(diǎn)在t=0時(shí)刻的初始速度。設(shè)薄膜初始變形的形函數(shù)為：

(14)

將式(14)代入式(13)，計(jì)算可得：

(15)

將式(1)、式(7)和式(8)代入式(4)，由伽遼金法得[9]：

(16)

將應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式(12)代入式(16)并進(jìn)行簡化得：

(17)

將式(3)代入式(17)并簡化得：

(18)

方程式(18)是關(guān)于T(t)的非線性微分方程，其精確解析解很難求解。因此，采用L-P攝動(dòng)法求解非線性方程式(18)的近似解析解，可得：

T(τ)=T0(τ)+εT1(τ)+0(ε2)=

(19)

(20)

設(shè)在t=0時(shí)刻，薄膜沖擊點(diǎn)與沖擊物體有相同的初速度v0′，即令初始條件為：

(21)

將式(21)代入(20)式得：

(22)

求解可得：

(23)

將式(23)代入式(22)，可得：

(24)

將式(23)、式(24)代入式(20)得：

(25)

將式(25)代入雙Fourier級(jí)數(shù)展開的位移表達(dá)式(6)得薄膜受迫振動(dòng)位移函數(shù)：

(26)

3 數(shù)值計(jì)算與理論推導(dǎo)結(jié)果對(duì)比分析

為驗(yàn)證理論推導(dǎo)過程和結(jié)果的可靠性，采用大型通用有限元分析軟件ANSYS中的LS-DYNA計(jì)算模塊進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并將解析理論分析結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較分析。計(jì)算參數(shù)：工程中常用的建筑膜材，面密度ρ為1.7 kg/m2；膜材厚度h為1 mm；膜材長寬分別為a=0.4 m和b=0.2 m,x和y方向的彈性模量分別為E1=1.4×106kN/m2，E2=0.9×106kN/m2，膜材預(yù)張力為N0x=N0y=10 kN/m，小球質(zhì)量M為10-2kg。

3.1 位移時(shí)程曲線對(duì)比

將膜面沖擊點(diǎn)無阻尼振動(dòng)理論分析時(shí)程曲線和數(shù)值計(jì)算時(shí)程曲線繪入圖2中進(jìn)行對(duì)比。圖2中 曲線橫坐標(biāo)單位為秒(s)，縱坐標(biāo)：理論分析單位為米(m)，數(shù)值計(jì)算單位為毫米(mm)。

從圖2可以看出，理論計(jì)算的時(shí)程曲線與數(shù)值分析的時(shí)程曲線很接近，只是沖擊點(diǎn)的最大位移理論值略小于數(shù)值計(jì)算值。

3.2 最大位移值對(duì)比

薄膜在小球v0=15 m/s沖擊作用下的位移云圖如圖3所示。從數(shù)值計(jì)算結(jié)果和理論計(jì)算結(jié)構(gòu)中讀取薄膜的最大位移值，并將其列入表1中對(duì)比分析，計(jì)算數(shù)值計(jì)算結(jié)果與理論分析結(jié)果的相對(duì)差。

從表1可以看出，數(shù)值計(jì)算的最大位移與理論分析最大位移相差較小，最大相對(duì)差為僅11.9 %。由此可知，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與理論分析結(jié)果吻合良好。數(shù)值結(jié)果與理論結(jié)果的相對(duì)差值隨著小球初速度的增加而減小，且理論計(jì)算結(jié)果略小于數(shù)值分析結(jié)果。

(a)理論分析曲線

(b)數(shù)值計(jì)算曲線圖2 膜面沖擊點(diǎn)的無阻尼振動(dòng)時(shí)程曲線(v0=15m/s)

圖3 薄膜位移云圖(v0=15m/s)

速度等級(jí)v0/(m·s-1)152025理論計(jì)算結(jié)果/mm5.47.39.0有限元模擬結(jié)果/mm6.12967.72479.1287相對(duì)差/%11.905.501.41

4 結(jié)論

本文利用達(dá)朗貝爾原理和薄膜大撓度理論，建立了四邊固支矩形正交異性膜結(jié)構(gòu)在沖擊荷載作用下的非線性無阻尼振動(dòng)的理論分析模型和控制方程組。采用L-P攝動(dòng)法求解了所得控制方程租，得到了振動(dòng)頻率表達(dá)式和振動(dòng)的位移函數(shù)表達(dá)式。采用ANSYS中的LS-DYNA模塊進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，并通過算例將理論推導(dǎo)公式解析解與數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較分析，從而驗(yàn)證了理論分析的準(zhǔn)確性。本文建立的正交異性膜結(jié)構(gòu)在沖擊荷載作用下的振動(dòng)解析理論計(jì)算方法對(duì)膜結(jié)構(gòu)的動(dòng)力分析和設(shè)計(jì)具有一定的理論指導(dǎo)意義和實(shí)用價(jià)值。

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