初元紅 馬紅娟 鄭喜英

摘 要 為了求解奇異問(wèn)題，在Hilbert空間中，將割線法和外推技巧相結(jié)合得到新的迭代格式，其收斂速率為0.3.未改進(jìn)的割線法的收斂速率0.618，改進(jìn)的割線法收斂速率得到大大的提高.同時(shí)，該算法對(duì)于一般的Banach空間同樣適用.最后，通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這一結(jié)果.

關(guān)鍵詞 Hilbert空間；改進(jìn)的割線法；奇異問(wèn)題；幾何特征；收斂速率

中圖分類(lèi)號(hào) O241文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A文章編號(hào) 1000-2537（2017）06-0087-06

Abstract In Hilbert space， we modified secant method with the extrapolation technique in order to solve the singular problems. The convergence rate of the new iteration is 0.3 rather than 0.618 of the original. So the convergence rate of the modified secant method is distinctively improved， which is also applicable to the general Banach space. Finally， numerical experiment is presented to confirm this result.

Key words Hilbert space； modified secant method； singular problems； geometry character； convergence rate

計(jì)算科學(xué)的快速發(fā)展，使很多實(shí)際問(wèn)題如工程問(wèn)題、生物問(wèn)題等轉(zhuǎn)化為求解非線性方程.對(duì)于一般常規(guī)方程如非奇異問(wèn)題，比較成熟的方法如Newton法、割線法等.其基本思想是利用前面獲得的關(guān)于方程左端函數(shù)的信息—在函數(shù)充分光滑的前提下，逐步迭代轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)的信息[1-4].當(dāng)導(dǎo)算子的逆不存在時(shí)如奇異問(wèn)題，無(wú)論是算法的收斂條件、收斂性還是收斂速率都受到很大的影響，于是Rall，Decker和Kelley[5-8]等人針對(duì)奇異問(wèn)題進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)Newton法在一個(gè)星形區(qū)域內(nèi)雖然收斂，但收斂速度較慢僅為線性收斂.之后，在奇異點(diǎn)處算法的收斂性和加速成為眾多學(xué)者關(guān)心的一個(gè)課題[9-12].潘狀元[10]證明了割線法收斂速度相對(duì)較快并得到了漸進(jìn)收斂率為0.618.本文修正了割線法，使得漸進(jìn)收斂率提高到0.30，進(jìn)一步提高了算法的效用.

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