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圖的齊次因子分解

2018-05-07 09:44:46繆應(yīng)鐵
關(guān)鍵詞:自同構(gòu)斷言科學(xué)出版社

繆應(yīng)鐵

【摘要】本文主要對(duì)圖的因子分解進(jìn)行研究,得出了一些重要的性質(zhì)和結(jié)論。

【關(guān)鍵詞】圖;齊次分解

【中圖分類號(hào)】O157.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089(2017)33-0265-01

定義1.設(shè)Γ=(VΓ,AΓ),若存在弧集Aг的一個(gè)分類P={P1,P2,…Pk},k≥2,

M≤G≤Aut(Γ),使得:

M在Vг上傳遞,且對(duì)任意的x∈M都有Pix=Pi,i=1,2,…k;

對(duì)任意的Pi∈P,g∈G,都存在某個(gè)j∈{1,2,…,k}使得Pix=Pi且G在P上的作用是傳遞的,則稱(г,P)是一個(gè)指數(shù)為K的(M,G)齊次因子分解。

性質(zhì)1.1.若(г,P)是一個(gè)指數(shù)為k的(M,G)齊次因子分解,令K為G作用在P上的核,則M≤K?G,且(г,P)是一個(gè)指數(shù)為k,(K,G)齊次因子分解。

性質(zhì)1.2.若(г,P)是一個(gè)(M,G)齊次因子分解,則Val(Γ)=|P|Val(Γi),其中Γi是圖г分解后的任意一個(gè)子圖。

性質(zhì)1.3.若(г,P)是一個(gè)指數(shù)為k的(M,G)齊次因子分解,則存在Q,R≤H,使得(г,Q)是一個(gè)指數(shù)為p的(R,H)齊次因子分解,其中p為素?cái)?shù),P|k且H/RZp。

性質(zhì)1.4.設(shè)(г,P)是一個(gè)(M,G)齊次因子分解,若G在Vг是非本原的,則存在Vг的G-不變分類β,且對(duì)于任意的B∈β,有(г[B],PB)是一個(gè)指數(shù)為k的(MBB,GBB)齊次因子分解,其中PB={(P1)B,(P2)B,…,(Pk)B},(Pi)B=Pi∩(B×B)=Pi∩(A(Γ[B]))。

性質(zhì)1.5.對(duì)任意的n≥3,則存在指數(shù)為n的圖г使得г有齊次因子分解。

性質(zhì)1.6.設(shè)M是任意給定的群,則存在(г,P)是一個(gè)(M,G)齊次因子分解的充要條件三|M|≥3。

證明“”因?yàn)閨Vг|≥2,且M在Vг上傳遞,所以|Vг||M|,故|M|≥2。

若|M|=2,|Vг|=2,則г=K2,所以M在弧集Aг上的作用是傳遞的。又因?yàn)镸≤Aut(гi),則所有的弧都在Aut(гi)中,得出矛盾。故|M|≥3。

“”斷言:階數(shù)大于等于3的群一定有非平凡的自同構(gòu)。事實(shí)上,如果M是一個(gè)非交換群,則Inn(M)M/Z(M)≠1,如果M是一個(gè)交換群,則M=〈a1〉×〈a2〉×…×〈as〉,其中(ai)=piri,其中pi是素?cái)?shù)。若存在(ai)≥3,則可定義一個(gè)映射

φ:aiai-1

ajaj(j≠i)

易證φ是M的自同構(gòu),且φ≠1。

若(a1)=(a2)=…=(as)=2,澤s≥2。令

τ:a1→a2

a2→a1

ai→ai(i≠1,2)

則τ∈Aut(M)\{idM}。所以Aut(M)≠1。故斷言成立。取σAut(M),σ≠1,令N=,記V:=M,則在V上正則。因?yàn)?(2),又N,所以有(2)=M≤N≤NSym(M)()。存在(г,P)是一個(gè)(M,G)齊次因子分解。

性質(zhì)1.7設(shè)г=Kn,且n-1為素?cái)?shù),則г有齊次分解的充要條件是n=2r或者n=3。

性質(zhì)1.8設(shè)(г,P)是一個(gè)(M,G)齊次因子分解,且Val(г)=p,其中p是一個(gè)素?cái)?shù),則P=p,Val(гi)=1,гi是г分解后的一個(gè)子圖。即(г,P)是一個(gè)(M,G)齊次因子分解。此時(shí),гi=或гi=n/2K2。

參考文獻(xiàn)

[1]徐明曜,有限群導(dǎo)論引[M],北京:科學(xué)出版社,1999.

[2]張遠(yuǎn)達(dá),有限群構(gòu)造[M],北京:科學(xué)出版社,1982

[3]王萼芳,有限群論基礎(chǔ)[M],北京:北京大學(xué)出版社,1985.

[4]王福榮,素?cái)?shù)階對(duì)稱圖的齊次分解,首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)自然科學(xué)版,2006.

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