魏蘇林，沈 月，謝偉杰，涂登琴，張子振

（ 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

0．引言

時(shí)滯在種群動(dòng)力學(xué)中是一種普遍存在的現(xiàn)象。近年來(lái)，很多國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)時(shí)滯種群動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性[1-3]、持久性[4]、以及周期混沌現(xiàn)象[5-7]進(jìn)行了大量研究。種群動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為在很大程度上取決于系統(tǒng)中功能性反應(yīng)函數(shù)。Beddington[8]和DeAngelis等人[9]提出Beddington-DeAngelis類功能性反應(yīng)函數(shù)，此類功能性反應(yīng)函數(shù)考慮到了捕食者種群內(nèi)部之間的相互干擾，表現(xiàn)出了更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。因此，具有Beddington-DeAngelis類功能性反應(yīng)的時(shí)滯捕食系統(tǒng)模型的研究受到廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[10]提出并研究了如下同時(shí)具有Beddington-DeAngelis類和修正的Leslie-Gower類功能性反應(yīng)的時(shí)滯捕食系統(tǒng)：

其中，x( t)和y( t)分別表示食餌種群和捕食者種群在時(shí)刻t的數(shù)量。r表示食餌種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率，K表示食餌種群的環(huán)境容納量；a表示捕食者種群對(duì)食餌種群的捕食能力系數(shù)；D和d表示環(huán)境對(duì)食餌種群的保護(hù)能力系數(shù)；c表示捕食者種群的增長(zhǎng)率；b表示捕食者種群的最大平均死亡率；D1表示由于所偏愛食餌的缺乏而導(dǎo)致捕食者種群數(shù)量的減少率；τ表示捕食者種群的妊娠時(shí)滯。文獻(xiàn)[10]研究了時(shí)滯τ對(duì)系統(tǒng)(1)穩(wěn)定性的影響。受文獻(xiàn)[10]啟發(fā)，并考慮到食餌種群的消極負(fù)反饋時(shí)滯，本文研究具有消極負(fù)反饋的時(shí)滯捕食系統(tǒng)：

其中τ表示食餌種群的消極負(fù)反饋時(shí)滯。下面研究食餌種群的消極負(fù)反饋時(shí)滯τ對(duì)系統(tǒng)(2)穩(wěn)定性的影響。

1．Hopf分岔的存在性

根據(jù)文獻(xiàn)[10]的分析可知，如果 b＞cD1，a＞r并

如果系統(tǒng)(2)的系數(shù)給定，則可以利用Matlab軟件求解出方程(7)的所有根。因此，為了給出本文主要結(jié)果，我們給出下列假設(shè)

(H1)：方程(7)至少存在一個(gè)正根。

若條件(H1)滿足，則存在ω0＞0使得方程(4)具有一對(duì)純虛根±ω0。對(duì)于ω0，根據(jù)方程(6)可以得到

對(duì)方程(4)左右兩邊同時(shí)求λ關(guān)于τ的導(dǎo)數(shù)，有

因此，

根據(jù)文獻(xiàn)[11]中的結(jié)論，如果 h'( v0) ≠ 0，則系統(tǒng)(2)產(chǎn)生Hopf分支的橫截性條件成立。于是，由[11]中的Hopf分支存在性定理可得下列結(jié)論。

2．仿真示例

為了驗(yàn)證以上所得理論結(jié)果的正確性，我們選取文獻(xiàn)[10]中相同的參數(shù)：r=1，K=100，a=1，D= 1，d=0.01，c=0.01，b=0.2，D1=10.給出下列仿真示例：

借助于Matlab軟件，經(jīng)過(guò)直接計(jì)算得到示例系統(tǒng)(11)的 唯 一 正 平 衡 點(diǎn) E*(10,9.9).進(jìn) 而 得 到ω0= 1.2081，τ0= 10.0517.根據(jù)本文所得理論結(jié)果可知，當(dāng)食餌種群的消極負(fù)反饋時(shí)滯τ∈ (0,τ0= 10.0517)時(shí)，示例系統(tǒng)(11)的唯一正平衡點(diǎn)E*(10,9.9)是局部漸近穩(wěn)定的。仿真效果如圖1-2所示。一旦食餌種群的消極負(fù)反饋時(shí)滯τ的取值超越時(shí)滯臨界點(diǎn)τ0= 10.0517，那么正平衡點(diǎn) E*(10,9.9)將失去穩(wěn)定性，并在τ0= 10.0517附近產(chǎn)生局部Hopf分支和一簇分支周期解。仿真效果如圖3-4所示。

圖1 τ=8.65＜ τ0時(shí)， E* (10,9.9)局部漸近穩(wěn)定

圖2 τ=8.65＜ τ0時(shí)， x( t) -y( t)相圖

圖3 τ=11.21＞ τ0時(shí)， x( t) -y( t)相圖

圖4 τ=11.21＞τ0，E* (10,9.9)失去穩(wěn)定并產(chǎn)生Hopf分支

3．小結(jié)

本文在文獻(xiàn)[10]的工作啟發(fā)下，提出了一類同時(shí)具有Beddington-DeAngelis類和修正的Leslie-Gower類功能性反應(yīng)的時(shí)滯捕食系統(tǒng)模型。主要研究了系統(tǒng)中食餌種群的消極負(fù)反饋時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。研究表明，當(dāng)系統(tǒng)中食餌種群的消極負(fù)反饋時(shí)滯足夠小時(shí)，即 τ∈ [0,τ0)時(shí)，系統(tǒng)處于一種理想的穩(wěn)定狀態(tài)；而一旦時(shí)滯的取值超越了臨界點(diǎn)τ0，則系統(tǒng)將失去理想的穩(wěn)定狀態(tài)，在一定的條件下，食餌種群和捕食者種群將以周期震蕩形式共存。文獻(xiàn)[10]只考慮了系統(tǒng)中捕食者種群的妊娠時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，本文繼續(xù)考慮了系統(tǒng)中食餌種群的消極負(fù)反饋時(shí)滯對(duì)其穩(wěn)定性的影響，因此本文所得結(jié)果是對(duì)文獻(xiàn)[10]工作的一點(diǎn)補(bǔ)充。

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