文/陸豐市龍山中學 郭小青
數(shù)學是一門創(chuàng)造性的藝術,蘊含著豐富的美,而靈活、巧妙的構(gòu)造令人拍手叫絕,能為數(shù)學問題的解決增添色彩,更具研究和欣賞價值。構(gòu)造法是一種極其富有技巧性和創(chuàng)造性的解題方法,體現(xiàn)了數(shù)學中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸的思想,滲透著猜想、探索、特殊化等重要的數(shù)學方法。美國著名數(shù)學教育家波利亞說過,掌握數(shù)學就意味著要善于解題。運用構(gòu)造法解數(shù)學題可激發(fā)學生的發(fā)散思維,利于培養(yǎng)學生思維的敏捷性、創(chuàng)造性和解題能力。下面通過幾個實例說明構(gòu)造法的巧妙應用。
引例:已知:a,b∈R+且a+b=1.求證:
要證明上述問題,方法很多,如比較法、分析法、綜合法,但是此題是一個無理不等式,直覺上是要先轉(zhuǎn)化為有理不等式,再通過平方后變形化簡運用基本不等式即可完成。但問題是我們能否通過聯(lián)想、構(gòu)造法來解決這一問題呢,如何構(gòu)造相對應的數(shù)學模型呢?本文以下簡述幾種常用的構(gòu)造方法。
先仔細觀察此題結(jié)構(gòu),聯(lián)想相應的幾何背景,借助背景圖形的直覺功能,使較為抽象的數(shù)量關系轉(zhuǎn)化為更直觀的幾何圖形,以形助數(shù),簡單明了地抓住問題的本質(zhì)。
三角形來證明;
圖1
如圖 1所示:AB=BC=CD=1,BE=a, CE=b, 則
顯然有AE+DE≥AD,故原不等式成立,當且僅當E為BC的中點,即a=b時,等號成立。
鞏固練習1:若水杯中的b克糖水里含有a克糖,假如再添上m克糖,糖水會變得更甜,試將這一事實用數(shù)學關系式反映出來,并證明之。
思路分析:此題反映的事實質(zhì)上是化學問題,由濃度概念 (糖水加糖甜更甜)轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題:已知實數(shù) a, b, m∈R+且 a<b, 求證:
圖2
證明: (構(gòu)造幾何圖形)如圖2 示, 在 RtΔABC 及 RtΔADF 中,AB=a,AC=b,BD=m,作CE∥BD
∵ΔABC∽ΔADF, 顯然 CF>CE,
證明2:觀察不等式結(jié)構(gòu)聯(lián)想到平面內(nèi)兩點距離公式,能否建立兩者間的關系呢?
顯然原不等式中含有兩個變量a、b, 不防消去變量 b,可得到,即
容易發(fā)現(xiàn):左邊表示x軸上動點 P (a, 0)(0<a<1)與兩定點 A(0,1), B (1,1) 的距離之和, 即|
可構(gòu)造圖3:取B點關于x軸對稱點 C (1, -1), 則|PA|+|PB|≥|即證。
圖3
證明3:通過均值代換構(gòu)造兩
解析:
注意到此時觀察式子結(jié)構(gòu)特點,從而聯(lián)想到平面兩點距離公式,
圖4
通過觀察結(jié)構(gòu)特征,發(fā)揮聯(lián)想,對已有的認知結(jié)構(gòu)模式相類比,從而探索問題新的意義,突破思維定勢,構(gòu)造新的模型,達到優(yōu)化解題效果。
可 設 Z1=a+i, Z2=b+i.則 |Z1|=再根據(jù)復數(shù)模定理|Z1+Z2|≤|Z1|+|Z2|, 即證
由關系式 a+b=1直接聯(lián)想cos2θ+sin2θ=1, 可采用三角代換, 將不等式問題轉(zhuǎn)化到三角函數(shù)問題。
證明 5: 令 a=cos2θ, b=sin2θ則有:
本題表面上看是無理不等式的證明,并有兩個變量相互制約,常采用純不等式的方法去證明。但如何仔細挖掘此題的結(jié)構(gòu)特征,能否聯(lián)想到相關的函數(shù)模型,利用函數(shù)的圖像、性質(zhì)解決,是否更有效呢?
此解法思路頗為新穎,知識性較綜合,具有較大的靈活性和技巧性。在運用過程中,應有目的、有意識地進行函數(shù)模型構(gòu)造,始終“盯住”要證、要解的目標。有利于訓練學生的思維能力和想象能力。
由以上例題可看出構(gòu)造法可以使某些抽象的代數(shù)問題直觀化、生動化,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)。構(gòu)造法其實質(zhì)就是通過對條件和結(jié)論的分析,構(gòu)造輔助元素,它可以是一個圖形、一個方程 (組)、一個等式、一個函數(shù)、一個等價命題等,架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁,從而使問題迎刃而解,解題過程簡捷明了。
由此可見,構(gòu)造法是多么的重要。但由于它異于常規(guī)的思維,因此掌握起來有一定難度。只要同學們平時多加強這方面的訓練,在做題中要注意培養(yǎng)這種思想意識,開拓自己的思維視野,不斷在實踐中摸索,去粗取精,相信會取得很好的效果。