呂 中，張永輝

（中建西部建設(shè)西南有限公司，四川 成都 610040）

0 引 言

跳頻多址擴(kuò)頻系統(tǒng)由于它的抗干擾性、安全性、多址性，被廣泛應(yīng)用于藍(lán)牙、軍事電臺通信、移動通信、現(xiàn)代雷達(dá)和聲納回聲定位系統(tǒng)等[1]。在這些系統(tǒng)中，跳頻擴(kuò)頻通信技術(shù)[2]通過載波率持續(xù)不同的跳變，最終保障頻譜展寬。利用偽隨機(jī)碼實現(xiàn)對信號載波頻率的操作，在規(guī)劃范圍中順利進(jìn)行運(yùn)作，實現(xiàn)合成器頻率始終保持著變化。由于偽隨機(jī)碼可以使接收器得到良好的控制，使得接收端與發(fā)射端在變化規(guī)律上具有同步性。此外，偽隨機(jī)序列在跳頻系統(tǒng)中不主要用于信道選擇，并不會以直接的形式進(jìn)行傳輸?；谒墓ぷ髟?，偽隨機(jī)碼有了一個全新的代名詞，即跳頻序列，又名調(diào)跳頻碼。通常情況下，在碼分多址環(huán)境中，總是希望保持發(fā)射機(jī)之間的相互干擾在盡可能低的水平[3-4]。當(dāng)兩個或多個發(fā)射機(jī)同時在同一頻率上傳輸時，易發(fā)生相互干擾，而相互干擾的程度和跳頻序列的漢明相關(guān)性緊密相連。從這一點(diǎn)可以看出，對于跳頻技術(shù)的研究，首要是能夠設(shè)計出具備漢明特性的跳頻序列。

2003年，Ye等人[5-6]首次提出LHZ/NHZ跳頻序列的概念。低碰撞區(qū)跳頻序列是一種具有特殊性質(zhì)的跳頻序列，系統(tǒng)對多址干擾抗性的能力，很大程度上取決于臨近零時延序列的漢明性能[7-9]。

本文主要研究低碰撞區(qū)跳頻序列的設(shè)計，剩余部分組織如下：第2部分，給出關(guān)于跳頻序列的一些預(yù)備知識；第3部分，介紹交織序列理論；第4部分，構(gòu)造一類具有新參數(shù)的最優(yōu)低碰撞區(qū)跳頻序列集；第5部分是對本文的總結(jié)。

1 預(yù)備知識

首先給出跳頻序列漢明相關(guān)函數(shù)的定義。將F={ f0,f1,…, fq-1}作為頻隙集，其大小設(shè)定成q，N的跳頻序列組成的集合根據(jù)F上M個長度S來代表。

定義1：設(shè)頻隙集F={ f0, f1,…, fq-1}，x={x0, x1,…, xN-1}，y={y0, y1,…, yN-1}，（xi, yi∈ F,i=0,1,…,N-1）為頻隙集F上兩個長度為N的跳頻序列，x和y在相對時延τ的周期漢明互相關(guān)函數(shù)為：

式中，i+τ按模 N 運(yùn)算。當(dāng)x=y時，H(x y·,τ)稱為周期漢明自相關(guān)函數(shù)；當(dāng)x≠y時，H(x y·,τ)被叫做周期漢明互相關(guān)函數(shù)。

跳頻序列集S為已知的前提下，序列集的三個最大周期的漢明自相關(guān)Ha(S)、Hc(S)以及Hm(S)的定義如下：

Ha(S)=max{H(x x·,τ)|x ∈ S,0 ＜ τ＜ N}

Hc(S)=max{H(x y·,τ)|x,y∈ S, x≠ y,0 ≤ τ＜ N}

Hm(S)=max{Ha(S),Hc(S)}

為了簡化和方便，令Ha=Ha(S)，Hc=Hc(S)，Hm=Hm(S)。

跳頻序列集的最大周期漢明相關(guān)值的下界于2004年被建立[10]。

引理1（Peng-Fan界）：令F是一個大小為q的頻隙集，S為F上M個長度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，有：

對于任意跳頻序列集S，令整數(shù)Ha≥0，Hc≥0，F(xiàn)作為頻隙集，其大小設(shè)定成q，S是F上M個長度為N的低碰撞區(qū)跳頻序列構(gòu)成的集合。如此，LH、LAH、LCH的定義如下：

如果Ha=Hc=0時，S的低碰撞區(qū)稱為S的無碰撞區(qū)NH。S作為一個具備LH≥0或NH≥0的跳頻序列集，被叫做無碰撞區(qū)跳頻序列集，代表涉及周期漢明相關(guān)的低碰撞區(qū)跳頻序列集。以Peng為代表[11]的研究學(xué)者，于2004年對LHZ跳頻序列集的周期漢明相關(guān)理論界進(jìn)行了推導(dǎo)。

引理2（Peng-Fan-Lee界）：令F是一個大小為q的頻隙集，F(xiàn)上M個長度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合代表S，序列集S關(guān)于周期漢明相關(guān)函數(shù)的低碰撞區(qū)代表LH。所有整數(shù)Z，0≤Z≤LH，有：

2 交織序列理論

交織序列理論在1995年由Gong首先提出[12]，本節(jié)將對交織理論進(jìn)行簡單介紹。

設(shè)a=(a0,a1,…,aN-1)是一個F上頻隙集大小為q、長度為N、最大漢明自相關(guān)值為Ha的跳頻序列。設(shè)e=(e0,e1,…,eT-1)是ZN上的移位序列，其長度為T。則由序列a與移位序列e能夠組成N×T的矩陣U：

這里，按模N運(yùn)算下標(biāo)。按行間順序讀出矩陣U中的元素，能夠獲得周期為NT的序列u=(u0,u1,…,uNT-1)。此時a可叫做基序列，u又叫做交織序列，而e則叫做移位序列。序列u的矩陣表示為矩陣U。優(yōu)化后將u=I(Le0(a),Le1(a),…,LeT-I(a))表示為交織序列u，其中I表示交織操作。

令g=(g0,g1,…,gT-1)為ZN上長度為T的移位序列，可生成交織序列：

v=I(Lg0(a),Lg1(a),…,LgT-I(a)) （5）

對于時延 τ=Tτ1+τ2(0 ≤ τ1＜ N,0 ≤ τ2＜ T)，序列 v的移位Lτ(v)的矩陣表示為：

顯然，Lτ(v)是另外一個交織序列，可以表示為：

交織序v與u處于時延τ時的漢明相關(guān)函數(shù)，根據(jù)式（4）和式（6）中列序列內(nèi)積的和的計算可以得出：

3 最優(yōu)低碰撞區(qū)跳頻序列集的構(gòu)造

將基于上述交織技術(shù)構(gòu)造新的最優(yōu)LHZ FHS集。設(shè)F={ f0, f1,…, fq-1}是一個大小為q的頻隙集，其序列集構(gòu)造如下。

構(gòu)造1：低碰撞區(qū)跳頻序列集的一般化構(gòu)造

步驟1：選取F上頻隙集大小為q的l個長度為N、最大漢明相關(guān)值為Hm的跳頻序列構(gòu)成的集合A=(N,q,l,Hm)：

步驟2：對于給定的T，令M為正整數(shù)，滿足gcd(N,T)=1，生成移位序列集H={E,G}，有：

步驟3：構(gòu)造低碰撞區(qū)跳頻序列集S={SA,SB}。

①由基序列集A={ai=(ai0,ai1,…,)|0≤i＜l}和移位序列集E進(jìn)行交織，得到LHZ FHS集SA={|0≤x＜Ml}，其中x=iM+j(0≤i＜l,0≤j＜M)。對于任意的0≤x＜Ml，有：

②通過序列集A得到基序列B={a0,a1,…,al-1},由該基序列B和移位序列集G進(jìn)行交織，得到LHZ FHS集SB=|0≤y＜M(T-2l+1)}，其中0≤k＜M(T-2l+1)且k∈Z，對于任意的0≤k＜M(T-2l+1)，有：

下面給出最優(yōu)低碰撞區(qū)跳頻序列集的具體構(gòu)造。

構(gòu)造2：最優(yōu)低碰撞區(qū)跳頻序列集的構(gòu)造

步驟1：選擇一個在F={ f0, f1,…, fq-1}上的最優(yōu)跳頻序列集A=(N,q,l,Hm)：

步驟2：令M、w和T為三個正整數(shù)，且滿足：

構(gòu)造移位序列集H={E,G}，有：

其中2l-2＜r＜T且r∈Z。

步驟3：構(gòu)造最優(yōu)低碰撞區(qū)跳頻序列集S={SA,SB}。①由基序列集A和移位序列集E進(jìn)行交織，得到LHZ FHS集SA={|0≤ x＜ Ml}：

其中 x=iM+j(0≤i＜ l,0≤ j＜ M)。

②由基序列B和移位序列集G進(jìn)行交織，得到LHZ FHS集SB={|0≤ y＜ M(T-2l+1)}：

其中0≤j＜M，2l≤T，2l-2＜r＜T且r∈Z。

定理1：在構(gòu)造2中，如果參數(shù)滿足：

（1）T=λw+1,λ≥ 0,T≥ 2l,w ＞ l

則生成的跳頻序列集S是一個最優(yōu)的(lN,q(T-l+1)M,l-1;lHm)低碰撞區(qū)跳頻序列集。

證明：首先證明跳頻序列的低碰撞區(qū)。

與參考文獻(xiàn)[9]中定理2的證明類似，可以得出，當(dāng)T=λw+1,λ≥0時，由基序列集A與移位序列集E進(jìn)行交織構(gòu)造的低碰撞區(qū)跳頻序列集SA的低碰撞區(qū)=w-1。

與參考文獻(xiàn)[9]中定理1的證明類似，可以得出由基序列B與移位序列集G進(jìn)行交織構(gòu)造的低碰撞區(qū)跳頻序列集SB的低碰撞區(qū)LBH=wl-1。

由此容易得出：低碰撞區(qū)跳頻序列集SA和SB之間的低碰撞區(qū)LABH=l-1。

綜上所述，可以得出上述低碰撞區(qū)跳頻序列集的低碰撞區(qū)為：

構(gòu)造2中的跳頻序列集參數(shù)如下：序列長度為lN，序列個數(shù)為(T-l+1)M，頻隙集F的大小為q。令Z=LH，根據(jù)Peng-Fan-Lee界[11]，跳頻序列集S的最大漢明相關(guān)應(yīng)為：

由于最優(yōu)跳頻序列集A滿足Peng-Fan界[10]，于是可以得出：

可以看出，在Peng-Fan-Lee界的要求內(nèi)容上，低碰撞區(qū)跳頻序列集S的最大漢明相關(guān)均可以滿足。因此，最優(yōu)的低碰撞區(qū)跳頻序列集完全可以以序列集S作為定義。證明結(jié)束。

例1：

步驟1：選擇一個最優(yōu)的（16，7，3，2）跳頻序列集A={a0,a1,a2}，其中：

步驟2：選擇s=1，T=8，w=8，則有M=N/w=2。

生成移位序列集H={E,G}的矩陣表示為：

H=[E G] （27）

步驟3：根據(jù)構(gòu)造2的方法構(gòu)造低碰撞區(qū)跳頻序列集：

跳頻序列集S的最大漢明自相關(guān)和最大漢明互相關(guān)，通過計算完全可以得出結(jié)果，見圖1。

圖1 例1中序列集S的最大漢明相關(guān)

通過簡單的證明可以得出，任意兩個跳頻序列的漢明互相值關(guān)不一定總是相同，但對于跳頻序列集S來說，即取其最大值。同理，漢明自相關(guān)值不一定總是相同，但對于跳頻序列集S來說就取其最大值。當(dāng)τ＜3時序列集的最大漢明相關(guān)Hm=6。因此，S是最優(yōu)的（48，7，12，2；6）低碰撞區(qū)跳頻序列集。

4 結(jié) 論

基于交織技術(shù)構(gòu)造了一類具有新參數(shù)的最優(yōu)LHZ FHS集。通過選擇一些已知的最優(yōu)FHS集，然后在滿足特定條件下可以構(gòu)造出最優(yōu)的低碰撞區(qū)FHS。通過使用不同的移位序列，可以構(gòu)造出參數(shù)設(shè)置更靈活的低碰撞區(qū)FHS集。該FHS集可以應(yīng)用到準(zhǔn)同步的跳時/跳頻碼分多址系統(tǒng)中，用于消除多址干擾。

[1] 梅文華，楊義先.跳頻通信編碼地址理論[M].北京：國防工業(yè)出版社，1996.

[2] 梅文華，王淑波，邱永紅.跳頻通信[M].北京：國防工業(yè)出版社，2005.

[3] Wu T，Chao C，Chen K.Capacity of Synchronous Coded DSSFH and FFH Spread-spectrum Multiple-access for Wireless Local Communications[J].IEEE Trans. on Commun.，1997（45）：200-212.

[4] Torrieri D J.Mobile Frequency-hopping CDMA Systems[J].IEEE Trans.Commun.，2000，48（8）：1318-1327.

[5] Ye W X，F(xiàn)an P Z.Two Class of Frequency-hopping Sequences with No-hit Zone[C].Proceedings of the Seventh International Symposium on Communications Theory and Applications（ISCTA’2003），2003：304-306.

[6] Wang X N，F(xiàn)an P Z.A Class of Frequency Hopping Aequences with no Hit Zone[C].Proceedings of the Fourth International Conference on Parallel and Distributed Computing，pplications and Technologies（PDCAT’2003），2003：27-29.

[7] WANG Chang-yuan，PENG Dai-yuan，Limengnan Z.New Constructions of Optimal Frequency-Hopping Sequence Sets with Low-Hit-Zone[J].International Journal of Foundations of Computer Science，2016，27（1）：53-66.

[8] Ma W P，Sun S H.New Designs of Frequency Hopping Sequences with Low Hit Zone[J].Designs，Codes and Cryptography，2010：145-153.

[9] Niu X H，Peng D Y，Zhou Z C.New Classes of Optimal Low Hit Zone Frequency Hopping Sequence with New Parameters by Interleaving Techniques[J].IEICE Transactions on Fundamentals of Electronics，Communications and Computer Science，2012，E95-A (11):（11）：1835-1842.

[10] Peng D Y，F(xiàn)an P Z.Lower Bounds on the Hamming Auto and Cross Correlations of Frequency-hopping Sequences[J].IEEE Trans. Inform.Theory.，2004，50（9）：2149-2154.

[11] Peng D Y，F(xiàn)an P Z，Lee M H.Lower Bounds on the Periodic Hamming Correlations of Frequency Hopping Sequences with Low Hit Zone[J].Science in China，2006，49（2）：208-218.

[12] Gong G.Theory and Applications of q-ary Interleaved Sequences[J].IEEE Trans. Inform. Theory.，1995，41（2）：400-411.