鄭廣春，張弘，李智

（四川大學(xué)電子信息學(xué)院，成都 610065）

0 引言

隨著無線電通信等領(lǐng)域信號頻率和帶寬的不斷提高，使得以奈奎斯特理論為指導(dǎo)的傳統(tǒng)采樣方法面臨著采樣率過高的巨大壓力，信號采樣已成為制約數(shù)字信號處理系統(tǒng)發(fā)展的一個(gè)瓶頸，ADC采樣率的提高不僅增加了硬件的成本，同時(shí)也增加了數(shù)據(jù)處理的難度。2006年，由Donoho與Candes等[1]人提出的壓縮感知（Compressed Sensing,CS）理論是一個(gè)充分利用信號稀疏性或可壓縮性的全新信號采集、編解碼理論。該理論表明，當(dāng)信號具有稀疏性或可壓縮性時(shí)，通過采集少量信號投影值就可以實(shí)現(xiàn)信號的準(zhǔn)確或近似重構(gòu)。2010年麻省理工學(xué)院的Y.C.Eldar教授及其研究團(tuán)隊(duì)在隨機(jī)解調(diào)模型和多倍集采樣體系的基礎(chǔ)上，發(fā)展出了一種基于多通道隨機(jī)混頻的模擬信號欠采樣體系——調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器（Modulated Wideband Converter,MWC）[2]。2011年該研究團(tuán)隊(duì)把MWC應(yīng)用到寬帶頻譜感知[3]，采用低配置的ADC和DSP實(shí)現(xiàn)了對寬帶頻譜的精確、實(shí)時(shí)感知。2012年該團(tuán)隊(duì)把MWC應(yīng)用到CR中的循環(huán)平穩(wěn)特征檢測[4]，利用欠采樣序列實(shí)現(xiàn)了對目標(biāo)信號循環(huán)平穩(wěn)特征的精確檢測。2016年，學(xué)者徐自勇在文獻(xiàn)[5]中首次提出分布式調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的思想，作者將DMWC（Distributed Modulation Broadband Converter）中每一個(gè)通道作為一個(gè)感知節(jié)點(diǎn)分布在源信號的周圍，各感知節(jié)點(diǎn)協(xié)同感知，通過一個(gè)數(shù)據(jù)收集中心把所有感知節(jié)點(diǎn)的欠采樣數(shù)據(jù)匯總、處理、做出統(tǒng)一的感知判決，從而計(jì)算出原始信號的支撐集。DMWC相對于MWC的唯一區(qū)別在于每個(gè)欠采樣通道的輸入信號不再完全相等，相互之間存在路徑傳輸衰減。在衰減不大的時(shí)候，DMWC方法中常用OMP算法能夠較準(zhǔn)確地計(jì)算出源信號的支撐集。但是OMP算法在計(jì)算源信號支撐集的時(shí)候需要源信號的稀疏度和最大子帶寬，然而在實(shí)際的寬頻段多窄帶信號感知問題中，信號的稀疏度和最大子帶寬都是未知的，因此這使得DMWC在應(yīng)用上存在一定局限性。為解決這一局限性本文在DMWC方法中引入信號稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤算法（SAMP）。

1 調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的采樣原理

1.1 建立系統(tǒng)模型

DMWC與MWC的主要區(qū)別在于DMWC的每個(gè)通道作為獨(dú)立的一個(gè)感知節(jié)點(diǎn)分布在不同的區(qū)域，由于各節(jié)點(diǎn)與源信號的距離不同，所以各節(jié)點(diǎn)之間存在信號的傳輸衰減；DMWC全盲協(xié)作頻譜感知網(wǎng)絡(luò)（FBCSSN）的模型由如圖1所示：

圖1 DMWC全盲協(xié)作頻譜感知網(wǎng)絡(luò)

該模型主要包括四個(gè)部分：發(fā)射基站（BS），多個(gè)感知節(jié)點(diǎn)（SN），數(shù)據(jù)收集中心（DCC），數(shù)據(jù)處理中心（FC）；其中發(fā)射基站到每個(gè)傳感節(jié)點(diǎn)間的距離記做di(i=1,2,3,…,m)。由于各感知節(jié)點(diǎn)分布的位置不同，各感知節(jié)點(diǎn)到源信號的發(fā)射基站的距離也就不同，因而信號在傳輸過程中必定會(huì)產(chǎn)生一定的衰減，傳輸距離的不同導(dǎo)致衰減的程度也不同，傳輸衰減因子可以同公式（1）計(jì)算得到；

其中Pa是接收功率，Pt是發(fā)射功率，G是系統(tǒng)增益，F(xiàn)表示系統(tǒng)損耗因子[6]。顯然，衰減因子θ越小，表示信號傳輸過程中衰減越大。數(shù)據(jù)收集中心主要收集各個(gè)感知節(jié)點(diǎn)采樣所得到的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)處理中心將利用數(shù)據(jù)收集中心收集的數(shù)據(jù)來計(jì)算源信號的支撐集。

1.2 分布式調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器理論

DMWC是在MWC理論基礎(chǔ)上提出的新的理論方法。其結(jié)構(gòu)框圖如圖2（a）所示。

如圖2所示，x(t)為發(fā)射源信號，pi(t)為周期偽隨機(jī)序列，h(t)為截止頻率為的低通濾波器；DMWC中m個(gè)通道彼此分離，每個(gè)通道等同于一個(gè)感知節(jié)點(diǎn)，各個(gè)感知節(jié)點(diǎn)相對于發(fā)射源的距離不同（如圖1所示），由公式（1）可計(jì)算各感知節(jié)點(diǎn)經(jīng)過不同的傳輸路徑后信號的不同衰減度。這里我們假設(shè)信號的衰減度為θi∈(0,1],1≤i≤m，由于存在傳輸路徑的問題，那么每個(gè)感知節(jié)點(diǎn)接收到的信號實(shí)則為θix(t)，當(dāng)θi的值很?。ń咏?）時(shí)，噪聲功率將大于感知節(jié)點(diǎn)所接收到的信號功率，源信號將被淹沒在噪聲中；當(dāng)θi的值接近1時(shí)，表示該通道沒有傳輸損耗，這在理論上等同于MWC。感知節(jié)點(diǎn)所接收到的信號θix(t)與偽隨機(jī)序列pi(t)卷積混頻，混頻的實(shí)質(zhì)則為頻譜的搬移，如圖3所示，經(jīng)過多次頻譜的搬移，寬頻帶內(nèi)的多個(gè)子頻帶將被搬移到低頻帶上，低頻帶上的疊加頻譜包含了整個(gè)寬頻帶內(nèi)的所有頻譜信息；然后混頻器的輸出通過截止頻率為的低通濾波器h(t)。的速率進(jìn)行采樣得到采樣序列yi[n]。每個(gè)ADC通道輸出序列yi[n]的離散時(shí)間傅里葉變換Yi(ej2πfTs)與x(t)的傅里葉變換X(f)之間的關(guān)系滿足等式：

圖2 DMWC主要參數(shù)

圖3 頻譜搬移示意圖

濾波器的輸出端接ADC模塊，并且以

式（2）可用矩陣的形式表示為：

y(f)是m×1維向量，第i個(gè)元素為，矩陣A是m×L維矩陣 (m

偽隨機(jī)序列的長度M=L=2L0+1其中，頻譜搬移的步長，l為頻譜搬移的步數(shù)。

2 SAMP重構(gòu)算法

DMWC中OMP算法準(zhǔn)確地計(jì)算出源信號支撐集的條件是已知源信號的稀疏度和子帶的最大帶寬；如果不知道源信號的稀疏度和子帶最大帶寬時(shí)，則容易出現(xiàn)對稀疏度過估計(jì)或者欠估計(jì)，導(dǎo)致無法準(zhǔn)確計(jì)算出源信號的支撐集而重構(gòu)失敗。然而實(shí)際感知寬頻段多窄帶信號時(shí)，稀疏度和子帶最大帶寬都是無法準(zhǔn)確預(yù)知的，所以引入無需頻帶數(shù)和子帶最大寬度為先驗(yàn)知識的SAMP算法作為DMWC支撐集恢復(fù)算法，該算法的引入使得DMWC得到更廣泛的應(yīng)用。

SAMP重構(gòu)算法的算法流程如下：

輸出：支撐集F，

（1）初始化殘差r0=v，支撐集F0=?，步長L=S，迭代次數(shù)t=1；

（2）計(jì)算余項(xiàng)與測量矩陣各列的相關(guān)性u=，選擇u中L個(gè)最大值，將這些值對應(yīng)A的序列號j構(gòu)成集合Sk；

（3）更新選取的A的列序號：令Ck=Ft-1?Sk，表示矩陣A的第j列，從A中選擇對應(yīng)的列組成新的矩陣At；

（4）求v=AtKt的最小二乘解，

（7）①如果殘差rnew=0則停止迭代進(jìn)入第（8）步；②如果，更新步長L=L+S返回第（2）步繼續(xù)迭代；③如果①②兩個(gè)條件都不滿足，則F=Λt，rt=rnew，t=t+1，如果t≤M停止迭代進(jìn)入第（8），否則返回第（2）步繼續(xù)迭代；

（8）輸出稀疏度估計(jì)值K^tL和支撐集F。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證DMWC的全盲協(xié)作頻譜感知系統(tǒng)的有效性，我們模擬產(chǎn)生頻譜稀疏信號:

其中Ei，Bi，fi，τi，N分別表示i個(gè)子頻帶的能量系數(shù)、帶寬、載波頻率、時(shí)間延時(shí)和子頻帶數(shù)。這里我們假設(shè)，N=4，Ei=[1.251.79]，Bi∈[30MHz80MHz]，fi∈(-fnyq/2fnyq/2)，τi=[0.40.7]，隨機(jī)序列長度M=195，通道數(shù)m=50，由MWC理論可知頻譜搬移的步長fp=fnyq/M=51.28MHz，即奈奎斯特率為fnyq的信號被切成若干長度為fp的頻譜切片。

DMWC中OMP算法能夠準(zhǔn)確計(jì)算支撐集的條件是知道原始信號的頻帶數(shù)N和子帶最大帶寬，然而實(shí)際在解決寬頻段多窄帶信號問題中，子頻帶的帶寬和頻帶數(shù)都是不確定的，這些苛刻的條件就限制了DMWC在實(shí)際中的應(yīng)用。在仿真中我們假設(shè)Bi∈[30MHz80MHz]，這樣fp與Bmax的大小關(guān)系就隨機(jī)的，在本文中我們引入稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤算法（SAMP）來計(jì)算支撐集，SAMP算法在計(jì)算支撐集的過程中不需要知道先驗(yàn)知識N和Bmax，圖4給出了當(dāng)N=4，衰減因子θi=0.8，SNR=15dB時(shí)，在SAMP算法下DMWC恢復(fù)時(shí)域、頻域波形對比結(jié)果圖。

圖4表明，在SNR=15dB時(shí)，即使通道傳輸過程中存在一定的衰減，DMWC全盲協(xié)作頻譜感知系統(tǒng)仍然能夠很好地恢復(fù)出原始信號的頻譜。

圖4 DMWC系統(tǒng)信號重構(gòu)結(jié)果

3.1 驗(yàn)證SAMP 算法恢復(fù)成功率與傳輸衰減θi 和信噪比的關(guān)系

（1）衰減因子θi=0.8時(shí)，恢復(fù)率與信噪比的關(guān)系如圖5。

從上圖可以看出，當(dāng)SNR=10dB時(shí)，恢復(fù)率高達(dá)90%，隨著信噪比的提高恢復(fù)率也在不斷提高。實(shí)驗(yàn)證明了即使信號在傳輸過程中存在一定程度的衰減，在可觀的性噪比下仍能夠得到很高概率的恢復(fù)。然而不同節(jié)點(diǎn)的位置不同導(dǎo)致信號的傳輸路徑也就不同，因此傳輸過程中信號的衰減程度也就不同，下面我們需要驗(yàn)證不同衰減下，信號的恢復(fù)率。

（2）不同信噪比下，恢復(fù)率與衰減因子的關(guān)系圖6。

圖6 衰減因子在不同信噪比下與恢復(fù)率之間的關(guān)系

從上圖可知在信噪比一定的情況下，恢復(fù)率隨衰減因子的增加而提高，當(dāng)θi=1時(shí)，即認(rèn)為信號在傳輸過程中沒有衰減，此時(shí)恢復(fù)率達(dá)98%；當(dāng)衰減因子很小時(shí)（θi=1），恢復(fù)率低于45%；上圖還表明了在衰減因子不同的情況下，信噪比與恢復(fù)率的關(guān)系，很明顯，隨著信噪比的增加恢復(fù)率也有相應(yīng)的提高。

3.2 驗(yàn)證不同稀疏度信號在SAMP 算法下恢復(fù)成功率與通道數(shù)的變化關(guān)系

圖7 不同子帶下恢復(fù)率隨通道的變化關(guān)系

圖7給出了θi=0.8，SNR=15dB信時(shí)不同稀疏信號隨通道數(shù)的關(guān)系；當(dāng)通道數(shù)一定時(shí)，信號越稀疏，恢復(fù)率越高；當(dāng)子頻帶數(shù)N=2時(shí)，通道數(shù)為25時(shí)恢復(fù)率接近100%；當(dāng)子頻帶數(shù)N=4時(shí)，通道數(shù)為40時(shí)恢復(fù)率接近95%；當(dāng)子頻帶數(shù)N=6時(shí)，通道數(shù)為50時(shí)恢復(fù)率接近95%；當(dāng)子頻帶數(shù)為8或10時(shí)，通道數(shù)為60時(shí)恢復(fù)率仍低于80%；說明隨著子帶個(gè)數(shù)越多，需要越多的通道數(shù)來匹配。在實(shí)際應(yīng)用中可以通過調(diào)節(jié)DMWC的通道個(gè)數(shù)（感知節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)）來匹配信號稀疏度，使得支撐集的恢復(fù)更準(zhǔn)確。

4 結(jié)語

本文基于DMWC方法中OMP算法在實(shí)際應(yīng)用中的缺陷，我們引入稀疏度自適應(yīng)算法（SAMP），SAMP算法與DMWC方法的完美結(jié)合不僅充分考慮到實(shí)際信號在傳輸過程中存在衰減問題，還能在未知源信號的稀疏度和最大子帶寬度的情況高概率的恢復(fù)源信號的支撐集。大量實(shí)驗(yàn)證明DMWC方法與SAMP算法結(jié)合不僅能夠快速、準(zhǔn)確地恢復(fù)寬帶稀疏信號的頻譜，而且能夠靈活地匹配信號稀疏度與通道之間的關(guān)系，使得DMWC理論的應(yīng)用前景更廣闊。

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