福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)(363100) 蘇藝偉

雙曲線的離心率是雙曲線一個(gè)非常重要的幾何性質(zhì),求雙曲線的離心率或者取值范圍經(jīng)常出現(xiàn)在各級(jí)各類的試題當(dāng)中.其求解方法較多,沒有固定的模式可套,要結(jié)合具體的問題具體分析.在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中,筆者總結(jié)了幾類較為常見的雙曲線離心率問題及其求解策略,現(xiàn)說明如下.

一.利用結(jié)論

識(shí)記雙曲線中一些常見的結(jié)論,能夠幫助我們迅速求解離心率,事半功倍,省去了很多計(jì)算上的麻煩.以下結(jié)論需要熟記.

圖1

例1如圖1,已知F2是雙曲線的右焦點(diǎn),過F2作一條漸近線的垂線,垂足為A,與另外一條漸近線的交點(diǎn)為 B,,求離心率e.

解析由已知有,由于A為BF2中點(diǎn),故.將點(diǎn)B坐標(biāo)代入y=?bx得a e=2.

例2如圖2,已知雙曲線,過x軸上點(diǎn) P的直線l與雙曲線的右支交于M,N兩點(diǎn)(M 在第一象限),直線MQ交雙曲線左支于點(diǎn)Q,連接 QN. 若 ∠MPO=60°,∠MNQ=30°,求離心率 e 的值.

圖2

解析M,Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,而且N在雙曲線上,因而根據(jù)結(jié)論,解得

例3已知雙曲線的任意一點(diǎn)P,過點(diǎn)P向兩條漸近線作垂線,垂足分別為M,N.若求離心率e的值.

解析由已知有即解得

二.利用平面幾何知識(shí)

借助平面幾何的相關(guān)性質(zhì)可以巧妙求解雙曲線的離心率,往往能夠化繁為簡(jiǎn),柳暗花明.

1.三角形的相似性質(zhì)

在解題中經(jīng)?？梢缘玫絻蓚€(gè)三角形相似,然后利用相似比得到線段的關(guān)系,從而求出離心率或取值范圍.

圖3

例4如圖3所示,已知F2是雙曲線的右焦點(diǎn),A是雙曲線的右頂點(diǎn),過F2作AF2的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn),過B,C分別作AC,AB的垂線,兩垂線交于點(diǎn)D.若點(diǎn)D到直線BC的距離小于,求離心率e的取值范圍.

解析由已知條件可知點(diǎn)D在x軸上,BD⊥AC,垂足為T.在直角三角形BTC中,∠CBT+∠BCT=90°,在直角三角形 AF2B 中,∠BAF2+ ∠ABF2=90°,又∠BCT=∠ABF2,所以 ∠CBT=∠BAF2,故△DBF2相似于△BAF.因此有2,解得令得,所以

2.三角形中位線的性質(zhì)

一方面,由三角形的中位線可以得到兩直線平行及成倍數(shù)關(guān)系,另一方面,如果已知平行且一邊有中點(diǎn),可以得到另外一邊也有中點(diǎn).

例5如圖4所示,已知F2是雙曲線的右焦點(diǎn),M,N分別在雙曲線的漸近線上,滿足∠MF2O=,求離心率e.

解析延長(zhǎng)MF2,交另一條漸近線于點(diǎn)Q,則OM=OQ.由于F2為MQ中點(diǎn),NF2//OM,所以N為OQ中點(diǎn).又MN⊥OQ,故MO=MQ.所以△MOQ為正三角形,故因此

3.直角三角形的勾股定理

借助直角三角形的勾股定理可以得到線段長(zhǎng),從而求出離心率e.

例6如圖5,已知F2是雙曲線的右焦點(diǎn),過F2的直線交雙曲線同一支于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn).若CF2⊥AB 且 CF2=F2B,求離心率e.

圖5

解析找出該雙曲線的左焦點(diǎn),設(shè)為F1.易知四邊形 AF1CF2為矩形.設(shè) AF2=x,則AF1=2a+x,CF2=F2B=2a+x,AB=2a+2x,BF1=4a+x.在直角三角形F1AB中,由,得a=x.在直角三角形中,由,得5a2=2c2,故有

4.三角形的內(nèi)角平分線定理

例7如圖6,已知F2是雙曲線的右焦點(diǎn),過F2作一條漸近線的垂線,垂足為M,與另外一條漸近線的交點(diǎn)為 N,同向.若△OMN的面積是,求離心率e.

圖6

解析易知OF2=c,OM=a,MF2=b,由于,故.在直角三角形OMN中,.由于OF2是∠MON的內(nèi)角平分線,故有,即.故.因此有,解得

5.菱形的判定定理與性質(zhì)定理

在雙曲線的圖形中可以構(gòu)造出平行四邊形或者菱形,要熟記平行四邊形以及菱形的判定定理和性質(zhì)定理.

例8如圖7,已知F1,F2分別是雙曲線的左,右焦點(diǎn),若在雙曲線右支上存在一點(diǎn)M 使得,且|MF1|=,求離心率e.

圖7

解析以O(shè)M,OF2為鄰邊做一個(gè)平行四邊形OMNF2,顯然該平行四邊形為菱形.由于OM=OF2=OF1,所以MF1⊥MF2.設(shè) MF1=r1,MF2=r2,則有r1?r2=2a,解得得.由

三.從設(shè)角度入手

在雙曲線中,兩漸近線所成的角是其中一條漸近線與x軸所成的角的兩倍,恰好可以利用二倍角的相關(guān)公式求解.因此可以從設(shè)角度入手解決離心率問題.

例9(同例1)已知F2是雙曲線的右焦點(diǎn),過F2作一條漸近線的垂線,垂足為A,與另外一條漸近線的交點(diǎn)為求離心率e.

解析易知OF2=c,OA=a,AF2=b,由于OA⊥BF2,AB=AF2,所以 △OBF2為等腰三角形,∠AOB= ∠AOF2.設(shè)∠AOF2=θ,則∠AOB= θ.故3θ=180°,θ=60°.由因此e=2.曲線

例10如圖8,已知F2是雙的右焦點(diǎn),過F2作一條漸近線的垂線,垂足為A,與另外一條漸近線的交點(diǎn)為 B,反向.若|OA|,|AB|,|OB|構(gòu)成等差數(shù)列,求離心率e.

圖8

解析易知OF2=c,OA=a,AF2=b.聯(lián)立2AB=OA+OB,OA2+AB2=OB2,解得設(shè)∠AOF= θ,則2即所以得 tanθ=2.因此

例11(同例7)已知F2是雙曲線的右焦點(diǎn),過F2作一條漸近線的垂線,垂足為M,與另外一條漸近線的交點(diǎn)為 N,同向.若△OMN的面積是,求離心率e.

解析易知OF2=c,OM=a,MF2=b,由于,故.設(shè)∠MOF2= θ,則.在直角三角形因此有OMN 中,解得

四.利用向量的線性運(yùn)算

例12如圖9,已知F1,對(duì)于某些求解離心率的試題,借助向量的線性運(yùn)算,可以減少計(jì)算量,提高解題速度.F2分別是雙曲線1的左,右焦點(diǎn),雙曲線上存在一點(diǎn)P,使得∠F1PF2=60°,|OP|=3b,求離心率 e的值.定理有

圖9

解析設(shè)PF1=m,PF2=n,在△PF1F2中,根據(jù)余弦整理可得mn=4b2.由于,兩邊同時(shí)平方得

整理得36b2=4a2+3mn.因此有36b2=4a2+12b2,解得

五.利用雙曲線線的第二定義

根據(jù)雙曲線的第二定義可知,雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之比為離心率.借助這一性質(zhì)可以巧妙求解過焦點(diǎn)的同支弦的定比分點(diǎn)問題.雙曲線的右焦例13如圖10,已知F2是點(diǎn),過F2且斜率為的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn).若,求離心率e的值.

圖10

解析作出雙曲線的準(zhǔn)線l,過點(diǎn)A,B分別向l引垂線,垂足為 M,N.作 BD⊥AM.由于,故設(shè)BF2=t,AF2=4t.根據(jù)雙曲線的第二定義有故在直角三角形BDA中,,所以,解得

不難發(fā)現(xiàn),雙曲線的離心率問題經(jīng)常與其余知識(shí)點(diǎn)交匯,涉及到方方面面.在實(shí)際解題中,要根據(jù)題目條件靈活選取適當(dāng)?shù)姆椒?將題目條件不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化,直至得出結(jié)論.

[1]李文明.解題要?jiǎng)?chuàng)新反思要悟道.[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2018(1):8-10.