耿盛楠 金強(qiáng)

摘 要：陣列誤差的存在將導(dǎo)致采用子空間類超分辨算法的信源波達(dá)角（Direction of Arrival， DOA）估計精度嚴(yán)重下降，對此給出了一種基于陣元位置誤差自校正的DOA估計算法。首先采用Toeplitz處理和特征值重構(gòu)相結(jié)合的迭代方法對陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進(jìn)行處理，從而消除陣元位置誤差對導(dǎo)向矢量造成的影響，進(jìn)而采用MUSIC算法進(jìn)行DOA估計。仿真實(shí)驗(yàn)表明該算法在陣元位置誤差存在的情況下可極大地提升子空間類超分辨算法的DOA估計性能。

關(guān)鍵詞：DOA估計；陣元位置誤差；自校正；Toeplitz處理

中圖分類號：TN911.23 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：2095-2945（2018）10-0018-04

Abstract： The existence of array errors will lead to a serious decline in the estimated accuracy of the source DOA （Direction of Arrival）by subspace-like super-resolution algorithm. A self-calibration DOA estimation algorithm based on the position error of array elements is presented in this paper. Firstly， the covariance matrix of array received data is processed using the iterative method of Toeplitz processing and eigenvalue reconstruction， which eliminates the influence of position error of array element on the guidance vector， and then uses MUSIC algorithm to estimate DOA. The simulation results show that the proposed algorithm can greatly improve the DOA estimation performance of the subspace super-resolution algorithm when the array element position error exists.

Keywords： DOA estimation； arrayelement position error； self-calibration； Toeplitz processing

引言

信源波達(dá)角（Direction of Arrival， DOA）估計是陣列信號處理中一個重要的研究方向，其應(yīng)用推動著現(xiàn)代雷達(dá)、無線通信等相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展。目前超分辨DOA估計方法通?？煞譃榛谔卣鹘Y(jié)構(gòu)的子空間類方法（如MUSIC算法[1]、ESPRIT算法[2]）、加權(quán)子空間擬合類算法和[3]基于最大似然原理的算法[4]。相比較而言，子空間類算法最具廣泛應(yīng)用與研究價值，MUSIC算法是該類算法的典型代表，在一定程度上這類算法的估計精度極高，均方差可接近克拉美羅界，在DOA估計方面具有極高的分辨性能，但要求陣列導(dǎo)向矢量精確已知，實(shí)際應(yīng)用中，陣列不可避免地存在各種誤差，如陣列位置誤差、陣列幅相誤差及陣列互耦誤差等[5][6]。這些誤差的存在使得實(shí)際陣列流形偏離理想陣列流形，從而導(dǎo)致上述超分辨DOA估計方法性能惡化，因此研究陣列誤差校正對實(shí)現(xiàn)高精度DOA估計具有重要意義。

當(dāng)前陣列誤差校正主要有兩種方法——有源校正法和自校正法[7][8]。有源校正法是在信號源已知的前提下對方向信息進(jìn)行估計的一種方法，計算量小且精度較高，理論上陣列誤差可在此方法作用下得到完全消除，但在實(shí)際操作過程中，輔助信源信息并不能非常精確，此時這類算法會對參數(shù)估計帶來較大誤差，且需要額外增加信源操作負(fù)擔(dān)和系統(tǒng)成本。自校正算法無需輔助信源，操作簡便、實(shí)現(xiàn)成本低，但估計精度較差，因而需要對其進(jìn)行優(yōu)化和改進(jìn)以實(shí)現(xiàn)較高的估計精度。

實(shí)際應(yīng)用中，接收陣元由于生產(chǎn)技術(shù)、安裝放置、客觀環(huán)境等因素而產(chǎn)生的位置誤差經(jīng)常存在，且難以消除，即使增加采樣數(shù)也無法達(dá)到預(yù)期效果。本文以此為出發(fā)點(diǎn)，針對陣元位置誤差的存在，研究一種基于Toeplitz處理和特征值重構(gòu)迭代的自校正方法對陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進(jìn)行處理，從而應(yīng)用MUSIC算法實(shí)現(xiàn)高精度DOA估計。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 陣列測向基本模型

假設(shè)空間中有N個信號源（遠(yuǎn)場窄帶信號）入射到陣元數(shù)目為M的均勻線陣上（M>>N），且陣元與陣元間距為d（如圖1所示），入射方向?yàn)?？?。

對其進(jìn)行譜峰搜索，峰值所對應(yīng)的方位角度即為所求DOA估計，也就是經(jīng)典的MUSIC算法。

1.2 陣元位置誤差模型

由于生產(chǎn)技術(shù)、安裝標(biāo)準(zhǔn)等的影響，實(shí)際的天線間隔常常無法滿足均勻直線陣的要求，真實(shí)陣元位置會發(fā)生偏移。同時，對于一些工作在惡劣地形環(huán)境下的陣列，由于地形條件限制，陣元位置往往無法按照預(yù)期進(jìn)行設(shè)置。另外，如果接收陣列安裝在飛機(jī)、艦艇等非固定平臺上，在外力作用下也會導(dǎo)致真實(shí)的陣元位置產(chǎn)生偏離。以上幾種情況，都會造成陣元位置誤差的存在，從而對方向估計的精度和準(zhǔn)確性產(chǎn)生嚴(yán)重影響，導(dǎo)致性能的下降。

由式（7）（8）可知，陣元位置是陣列接收向量的變量，陣元位置誤差使接收向量發(fā)生變化。假設(shè)第m個陣元的位置誤差為△dm，則其接收的第i個信源的信號會產(chǎn)生相應(yīng)的相位誤差，該誤差可以表示為：

可以看出當(dāng)存在陣元位置誤差時，DOA估計性能將嚴(yán)重惡化。因此若想利用MUSIC譜估計進(jìn)行高精度DOA估計就必須對陣元位置誤差進(jìn)行校正。

2 陣元位置誤差自校正算法

由上節(jié)推導(dǎo)可知，在不存在誤差的情況下，陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣具有Hermite Toeplitz 結(jié)構(gòu)，MUSIC算法得以應(yīng)用[11]。而真實(shí)條件下位置誤差的存在將破壞該特性，使得MUSIC算法無法實(shí)現(xiàn)高分辨的準(zhǔn)確估計。以此作為切入點(diǎn)，對受陣元位置誤差影響的接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進(jìn)行預(yù)處理，還原其Toeplitz特性，以達(dá)到誤差校正的目的。

2.1 位置誤差條件下的Toeplitz預(yù)處理

受誤差影響的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣不滿足Toeplitz特性，對其主對角線以及平行于主對角線的斜線上的元素在數(shù)值上取平均值，然后用得到的平均值替換所在斜線上的值，即可將原矩陣變換為Toeplitz矩陣。變換公式如下：

假設(shè)RT表示經(jīng)過Toeplitz處理后的協(xié)方差矩陣，記作

其中T[·]表示對矩陣做Toeplitz變換。avR（n）表示RT中在主對角線上方的第n條斜線上的值，avL（n）表示RT中在主對角線下方的第n條斜線上的值。

經(jīng)過Toeplitz變換后，采用MUSIC算法對所得矩陣作處理，通過譜峰搜索即可估計出信號的方位。

2.2 基于Toeplitz預(yù)處理的迭代算法

由上節(jié)可知，Toeplitz處理后將會得到數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣RT，當(dāng)接收陣列數(shù)量M非無窮大時，與理想狀態(tài)下噪聲子空間對應(yīng)的M-N個最小特征值均等于噪聲功率？滓2不同，RT噪聲子空間對應(yīng)的M-N個最小特征值是不相等的。因此為滿足特征值特性，需要進(jìn)行特征值重構(gòu)。

特征值重構(gòu)算法的基本思想是對協(xié)方差矩陣原有的特征值進(jìn)行處理，得到新的所需特征值，利用這些新的特征值構(gòu)造新的矩陣。矩陣重構(gòu)的公式如下：

在上式中，B[·]表示對矩陣做特征值重構(gòu)處理。λ1？叟λ2？叟...？叟λM是M個誤差條件下的信號特征值，λav是M-N個誤差條件下的最小特征值的平均值，此處將其看作是噪聲特征值。

經(jīng)過上式變換，即可滿足噪聲子空間M-N個最小特征值均擁有相同值，然而重構(gòu)后得到的矩陣并不能保證具有Toeplitz特性。因此，單獨(dú)地進(jìn)行Toeplitz變換或是特征值重構(gòu)，得到的矩陣都無法滿足預(yù)期要求，無法有效地消除位置誤差對協(xié)方差矩陣的影響。

考慮將兩種算法進(jìn)行交替迭代，以達(dá)到上述目的，使得迭代處理后得到的矩陣同時具有Toeplitz性質(zhì)和特征值特性。迭代過程如下：

2.3 算法流程

基于Toeplitz預(yù)處理迭代進(jìn)行陣元誤差自校正的DOA算法實(shí)現(xiàn)流程如下：

3 算法仿真及性能分析

3.1 Toeplitz預(yù)處理

設(shè)置仿真參數(shù)：信源個數(shù)為3，來波方向?yàn)?10°，10°，30°，接收陣列為均勻直線陣，陣元個數(shù)為8，陣元間距d=？姿/2，快拍數(shù)為1000，信噪比為10dB，傳播信道為高斯信道，且陣元位置誤差在[-Δd，Δd]內(nèi)服從均值為零的隨機(jī)分布。分別在理想條件、加入位置誤差及進(jìn)行Toeplitz預(yù)處理后的三種條件下采用MUSIC算法進(jìn)行DOA估計，空間譜對比情況如圖2所示：

圖中可見，加入位置誤差后，譜峰不再尖銳明顯，位置出現(xiàn)偏差，DOA估計精確度嚴(yán)重下降；進(jìn)行Toeplitz處理后，譜圖有了明顯的改善，估計精度得到顯著提高，但觀察圖形可看出，關(guān)鍵位置處的角度估計仍存在一定的偏差，也表明了對算法進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化的必要性。

3.2 基于Toeplitz預(yù)處理和特征值重構(gòu)的迭代算法

仿真條件設(shè)置同上，誤差估計采用預(yù)處理與特征值重構(gòu)迭代的方法，對校正后的接收陣列作MUSIC處理，僅作Toeplitz預(yù)處理和進(jìn)行迭代處理的方向譜圖對比如圖3所示。

觀察圖3可發(fā)現(xiàn)與單純進(jìn)行Toeplitz處理相比，結(jié)合特征值重構(gòu)的迭代方法所得的譜圖峰值變得更加尖銳，且能量更加集中，DOA性能得到極大提升。

3.3 性能分析

在上述仿真參數(shù)和場景的基礎(chǔ)上，對經(jīng)Toeplitz處理和改進(jìn)后基于迭代處理的陣元位置誤差自校正算法的性能作分析比較，采用均方根誤差作為其性能衡量參數(shù)。應(yīng)用場景分別為存在位置誤差、經(jīng)過Toeplitz預(yù)處理校正后以及經(jīng)過迭代處理校正后，分別進(jìn)行500次重復(fù)蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)一：分析不同場景下DOA估計的均方根誤差與信噪比的關(guān)系。信噪比以3dB為步長不斷變化，其余仿真參數(shù)不變，性能曲線如圖4所示。

可見當(dāng)信噪比較低時，接收信號主要為噪聲分量，此時進(jìn)行特征值重構(gòu)將會產(chǎn)生較大的誤差，因此迭代處理的效果較差；但隨著信噪比的提升，經(jīng)過Toeplitz處理和迭代處理后性能大幅提升，且迭代處理的結(jié)果更優(yōu)。

實(shí)驗(yàn)二：分析不同場景下DOA估計的均方根誤差與快拍數(shù)的關(guān)系。快拍數(shù)以50為步長不斷變化，其余仿真參數(shù)不變，性能曲線如圖5所示。

結(jié)果表明均方根誤差隨快拍數(shù)的變化趨勢是一致的，在快拍數(shù)大于100后均方根誤差趨于穩(wěn)定，且迭代處理較之Toeplitz處理的校正效果有明顯提升。

4 結(jié)束語

本文以陣列誤差模型為基礎(chǔ)，研究了一種基于迭代處理陣元位置誤差自校正的DOA估計算法。在陣元存在位置誤差的情況下對實(shí)際接收的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣做Toeplitz預(yù)處理，再結(jié)合特征值重構(gòu)，將兩種方法進(jìn)行迭代，盡可能還原其滿足理想狀態(tài)下的矩陣特性，在此基礎(chǔ)上利用MUSIC算法進(jìn)行DOA估計。多種場景下進(jìn)行的仿真實(shí)驗(yàn)表明，就陣元位置誤差自校正算法而言，進(jìn)行Toeplitz處理在一定條件下可以提升估計性能，結(jié)合特征值重構(gòu)改進(jìn)后的迭代算法可使DOA估計精度得到明顯提升。本方法可推廣至其他子空間類超分辨算法，具有一定的適應(yīng)性。

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