田振國(guó)　梁金奎

摘要：磁流變彈性體材料制成的構(gòu)件在機(jī)械荷載和強(qiáng)磁場(chǎng)共同作用下時(shí)，材料的彈性模量隨外加磁場(chǎng)的變化而變化，構(gòu)件的變形也使得構(gòu)件內(nèi)、外的磁場(chǎng)隨之改變，因此這是一個(gè)耦合場(chǎng)問(wèn)題，而且本構(gòu)關(guān)系是非線性的。在載流薄板的運(yùn)動(dòng)方程、物理方程及磁流變本構(gòu)關(guān)系的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了由磁流變彈性體制成的薄板在電磁場(chǎng)與機(jī)械荷載共同作用下的磁彈性動(dòng)力屈曲方程，應(yīng)用Galerkin原理將屈曲方程整理為Mathieu方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，并將動(dòng)力屈曲問(wèn)題歸結(jié)為對(duì)Mathieu方程的求解。利用Mathieu方程解的穩(wěn)定性，及系數(shù)λ和η之間的本征關(guān)系，導(dǎo)出了磁流變彈性薄板動(dòng)力屈曲臨界狀態(tài)的判別方程。討論了磁場(chǎng)強(qiáng)度、薄板厚度、顆粒體積分?jǐn)?shù)、薄板長(zhǎng)度等參量對(duì)四邊簡(jiǎn)支磁流變彈性薄板臨界失穩(wěn)荷載的影響。

關(guān)鍵詞：動(dòng)力穩(wěn)定性；磁流變彈性體；磁彈性；臨界失穩(wěn)荷載；Mathieu方程

中圖分類號(hào)：0347.2；TB122 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1004-4523（2018）01-0125-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.015

引言

磁流變彈性體是通過(guò)物理或化學(xué)手段，將微米級(jí)軟磁性顆粒散布在黏塑性態(tài)的高分子聚合物基體中，固化后形成的高彈性復(fù)合材料。在磁場(chǎng)的作用下，磁流變彈性體內(nèi)部的顆粒被磁化后，產(chǎn)生相互作用力，并進(jìn)而影響其彈性模量和阻尼等力學(xué)、電學(xué)、磁學(xué)性能。

目前，對(duì)磁流變彈性體的理論研究主要集中在材料制備、力學(xué)性能測(cè)試以及建立本構(gòu)關(guān)系方面。Dorfmann等分別利用不變量理論及選用應(yīng)變能函數(shù)對(duì)磁流變彈性體在平板剪切及圓柱軸向剪切下的力學(xué)性能進(jìn)行了分析。Guan等對(duì)磁流變彈性體的磁致伸縮性能進(jìn)行了研究，結(jié)果顯示垂直于顆粒鏈結(jié)構(gòu)方向上的磁致伸縮效應(yīng)較明顯。顆粒體積比越高，磁致伸縮效應(yīng)越強(qiáng)，多次循環(huán)加、卸磁場(chǎng)后會(huì)出現(xiàn)殘余磁致伸縮效應(yīng)。楊飏等提出了應(yīng)用磁流變阻尼裝置的頂層隔振控制方法，分析了磁流變阻尼器半主動(dòng)控制的效果。寇發(fā)榮分析了磁流變減振器基本原理和力學(xué)模型，開展了磁流變減振器阻尼特性試驗(yàn)和磁流變半主動(dòng)座椅懸架臺(tái)架試驗(yàn)研究。黃苗玉等研究了系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧路面作用下隨激勵(lì)頻率、激勵(lì)幅值的分岔特性，并利用相平面圖、Poincare截面和功率譜等詳細(xì)描述了通向混沌振動(dòng)的路徑。趙丹俠等提出一種多級(jí)徑向流動(dòng)型磁流變液減振器；建立了磁流變液徑向流動(dòng)控制方程，得出了基于準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)與非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的磁流變液減振器阻尼力計(jì)算方法。

近年來(lái)，磁流變彈性體構(gòu)件的力學(xué)性能引起了人們的關(guān)注，梁金奎等分析了磁流變彈性體環(huán)形的應(yīng)力應(yīng)變?cè)趶?qiáng)磁場(chǎng)中的變化規(guī)律。朱秘等研究了在不同磁場(chǎng)下磁流變彈性體緩沖裝置的緩沖性能，探索了磁流變彈性體在半主動(dòng)/主動(dòng)隔振緩沖領(lǐng)域的應(yīng)用方法。劉子良等設(shè)計(jì)了以磁流變彈性體作為主要彈性元件的支撐結(jié)構(gòu)，搭建了簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下懸臂梁碰撞故障實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，研究了系統(tǒng)在不同控制電流下的移頻降幅性能，以及碰撞工況下的振動(dòng)響應(yīng)。

從目前的研究成果來(lái)看，針對(duì)于磁流變彈性體本構(gòu)關(guān)系、材料特性及相關(guān)的實(shí)驗(yàn)研究較多，但對(duì)于磁流變彈性體二維構(gòu)件的穩(wěn)定性相關(guān)理論研究較少。本文研究了磁流變彈性體矩形板的動(dòng)力穩(wěn)定性問(wèn)題，在磁流變彈性體本構(gòu)關(guān)系的基礎(chǔ)上，結(jié)合磁彈性問(wèn)題的穩(wěn)定性方程，得到了由磁流變彈性體制成的薄板在電磁場(chǎng)與機(jī)械荷載共同作用下的各向異性的磁彈性動(dòng)力屈曲方程，應(yīng)用Galerkin原理將屈曲方程整理為Mathieu方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，并將動(dòng)力屈曲問(wèn)題歸結(jié)為對(duì)Mathieu方程的求解。利用Mathieu方程解的穩(wěn)定性，系數(shù)λ和η的本征關(guān)系，導(dǎo)出了磁流變彈性體薄板動(dòng)力屈曲臨界狀態(tài)的判別方程，分析了磁感應(yīng)強(qiáng)度、顆粒體積分?jǐn)?shù)及板的幾何尺寸與臨界荷載的關(guān)系。

1磁流變彈性體薄板的磁彈性動(dòng)力穩(wěn)定方程

1.1磁流變彈性體的彈性模量

在偶極子模型中，由磁場(chǎng)引起的磁流變彈性體的剪切模量為

1.2磁流變彈性體薄板的動(dòng)力穩(wěn)定方程

由薄板的磁彈性動(dòng)力穩(wěn)定性方程

2馬丟方程形式動(dòng)力穩(wěn)定性方程的建立

若僅考慮通人外部電流的洛倫茲力，而忽略法向磁力作用的情況，將動(dòng)力穩(wěn)定性方程（7）整理后可得

對(duì)上式進(jìn)行積分運(yùn)算，并化簡(jiǎn)后整理可得

3磁流變彈性薄板磁彈性動(dòng)力失穩(wěn)臨界狀態(tài)的判別

式（18）的Mathieu方程是一種周期函數(shù)方程。這個(gè)方程最重要的性質(zhì)是當(dāng)它的系數(shù)間滿足某種給定的關(guān)系時(shí)，方程得到無(wú)限增長(zhǎng)的解。方程的系數(shù)λ與η之間的本征值關(guān)系是方程穩(wěn)定解與非穩(wěn)定解區(qū)域的分界。利用Mathieu方程的此種性質(zhì)可確定磁流變彈性體矩形薄板失穩(wěn)時(shí)臨界的狀態(tài)。方程的本征值關(guān)系是一種連分式的表達(dá)形式，表達(dá)式為

將式（23）和（24）編制成MATLAB計(jì)算程序，即可討論各參量對(duì)磁流變彈性薄板的動(dòng)力穩(wěn)定性的影響。

4算例分析

薄板問(wèn)題的屈曲波形是很多個(gè)波形的相互疊加，每一種失穩(wěn)模態(tài)形式都有可能存在，但只有最低階的失穩(wěn)模態(tài)更最具有實(shí)際應(yīng)用意義，因此，下面的計(jì)算分析中只給出了四邊簡(jiǎn)支矩形磁流變體薄板最低階的失穩(wěn)模態(tài)。討論薄板厚度、顆粒濃度等量變化時(shí)，式（16）中的荷載幅值大小P與薄板失穩(wěn)的關(guān)系。

圖2討論了邊長(zhǎng)為0.1m×0.1m的磁流變彈性體薄板在外加磁感應(yīng)強(qiáng)度B。不同的情況下，失穩(wěn)臨界狀態(tài)的荷載幅值大小P隨薄板厚度的改變而發(fā)生變化。薄板厚度從2mm增長(zhǎng)到12ram，相應(yīng)的失穩(wěn)臨界荷載也隨著發(fā)生呈拋物線形的增長(zhǎng)，而當(dāng)板厚趨向于零時(shí)，臨界荷載也趨向于零。并且從此圖中還能清楚的看到外加磁場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)失穩(wěn)臨界荷載的取值有著很重要的影響。當(dāng)板厚為12mm，B₀=0.2T時(shí)，失穩(wěn)臨界荷載為63Pa；但是當(dāng)B₀=1.0T時(shí)，失穩(wěn)臨界荷載卻升高到1876Pa，大約是前者的30倍。圖3顯示了當(dāng)磁流變彈性體顆粒濃度發(fā)生變化時(shí)相應(yīng)的失穩(wěn)臨界荷載相應(yīng)的改變情況。在磁場(chǎng)強(qiáng)度一定的情況下，隨著顆粒體積濃度的增長(zhǎng)，失穩(wěn)臨界荷載迅速增大。

圖4和5分別顯示了不同的顆粒體積分?jǐn)?shù)條件下和不同板厚的情況下磁場(chǎng)與臨界荷載的關(guān)系曲線。在圖4中，當(dāng)顆粒體積分?jǐn)?shù)一定時(shí)，隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增大，失穩(wěn)臨界荷載也會(huì)相應(yīng)的升高。圖5中顯示，當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度較小范圍內(nèi)變化0.1～0.5T時(shí)，臨界荷載增長(zhǎng)緩慢；當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度較大范圍內(nèi)變化0.5～1.0T時(shí)，臨界荷載增長(zhǎng)的非常迅速，這種變化情況隨著薄板厚度的增長(zhǎng)表現(xiàn)的尤其明顯?？梢钥闯霎?dāng)外加磁場(chǎng)強(qiáng)度增大，構(gòu)件的剛度增大，因此失穩(wěn)的臨界荷載隨之增大，這與文獻(xiàn)得到的磁流變彈性體支撐能在外部磁場(chǎng)控制下增大剛度的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是一致的。

圖6為不同顆粒體積分?jǐn)?shù)情況下，矩形薄板的長(zhǎng)度與臨界荷載的關(guān)系曲線，從圖中可以看出，顆粒體積分?jǐn)?shù)一定的情況下，隨著板長(zhǎng)的增加，臨界荷載呈相應(yīng)的下降趨勢(shì)，且當(dāng)板長(zhǎng)無(wú)限增大時(shí)，臨界荷載趨向于零。

當(dāng)外部施加的磁場(chǎng)沿各向不同時(shí)，圖8為外加磁場(chǎng)B_x=0和B_y=1.0T，無(wú)外加機(jī)械載荷情況下，不同板厚時(shí)臨界電流密度幅值與外加磁感應(yīng)強(qiáng)度分量B_z的關(guān)系曲線。圖中可見：板厚越厚，導(dǎo)致矩形板失穩(wěn)的臨界電流密度越大；而在板厚度一定時(shí)，隨著外加磁感應(yīng)強(qiáng)度的增加，臨界外加電流密度的幅值在減小，這是由于外加磁場(chǎng)引起的洛倫茲力加大，導(dǎo)致臨界電流密度的減小。

5結(jié)論

磁流變彈性體在工程應(yīng)用中，除了其材料功能性和結(jié)構(gòu)強(qiáng)度外，還需考慮其動(dòng)力穩(wěn)定性。通過(guò)本文算例分析可知，磁流變彈性體構(gòu)件的臨界荷載與磁場(chǎng)強(qiáng)度、薄板厚度、顆粒體積分?jǐn)?shù)、構(gòu)件的幾何參量有關(guān)。在幾何尺寸固定、外加磁場(chǎng)強(qiáng)度一定的情況下，提高顆粒體積分?jǐn)?shù)可以有效提高結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。綜合來(lái)看，顆粒體積分?jǐn)?shù)越高、板厚越厚、板長(zhǎng)越小、外加磁場(chǎng)強(qiáng)度越大，構(gòu)件的穩(wěn)定性越強(qiáng)。薄板的厚度增加和板長(zhǎng)減小使得板的穩(wěn)定性提高，這是一般材料制成的薄板都具備的性質(zhì)，而對(duì)于外加磁場(chǎng)強(qiáng)度及顆粒體積分?jǐn)?shù)這兩個(gè)影響因素，是因?yàn)榇艌?chǎng)強(qiáng)度和顆粒體積分?jǐn)?shù)的提高會(huì)使得磁流變彈性體的彈性模量提高，從而提高構(gòu)件的剛度，進(jìn)而使得薄板得穩(wěn)定性提高。