于亮亮　宋漢文

摘要：在實(shí)際工程中，工況模態(tài)分析（operational modal analysis，OMA）方法得到了廣泛應(yīng)用。當(dāng)激勵(lì)中含有諧波并且諧波頻率靠近系統(tǒng)固有頻率時(shí)，可以通過添加極點(diǎn)來修改傳統(tǒng)OMA算法以提高模態(tài)辨識(shí)精度。基于自然激勵(lì)技術(shù)（natural excitation technique），推導(dǎo)了添加極點(diǎn)的理論依據(jù)。當(dāng)系統(tǒng)所受的激勵(lì)中含有諧波成分時(shí)，將其響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)表示為系統(tǒng)受白噪聲激勵(lì)時(shí)響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)與一系列諧波的疊加。基于傳統(tǒng)OMA方法進(jìn)行模態(tài)參數(shù)辨識(shí)時(shí)，諧波不會(huì)改變?cè)瓉硐到y(tǒng)極點(diǎn)的數(shù)學(xué)表達(dá)，但是當(dāng)諧波頻率靠近系統(tǒng)固有頻率時(shí)會(huì)影響OMA算法對(duì)系統(tǒng)固有極點(diǎn)的擬合準(zhǔn)確性。在諧波頻率已知時(shí)，通過添加諧波造成的極點(diǎn)，可以有效提高OMA算法對(duì)系統(tǒng)固有頻率和阻尼比的辨識(shí)精度。通過仿真和實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步驗(yàn)證了所提出的理論。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)振動(dòng)；參數(shù)識(shí)別；工況模態(tài)分析；環(huán)境激勵(lì)；最小特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法

中圖分類號(hào)：O327；O321 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1004-4523（2018）01-0074-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.009

引言

工況模態(tài)分析技術(shù)（operational modal analy-sis，OMA）是一類只基于系統(tǒng)工作時(shí)或受環(huán)境激勵(lì)時(shí)的響應(yīng)信號(hào)而進(jìn)行系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)辨識(shí)的方法。由于系統(tǒng)所受的激勵(lì)不可測(cè)量，通常假設(shè)為白噪聲。它的發(fā)展可以追溯到1965年，Clarkson和Mere-er提出使用互相關(guān)函數(shù)估計(jì)承受白噪聲激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)函數(shù)，這也是在激勵(lì)未知的情況下，使用相關(guān)函數(shù)替代脈沖響應(yīng)函數(shù)的思想起源。經(jīng)過40多年的發(fā)展，OMA日趨成熟，并已經(jīng)拓寬到了應(yīng)用更為廣泛的工程領(lǐng)域。

白噪聲是一種理想假設(shè)，而激勵(lì)中含有簡諧成分的情況，在旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)中很常見。例如風(fēng)機(jī)、汽車、船舶等，由于旋轉(zhuǎn)部件偏心質(zhì)量的存在，在受到的環(huán)境激勵(lì)中，往往疊加有簡諧成分。為防止出現(xiàn)虛假結(jié)構(gòu)模態(tài)，最初人們只是簡單地通過“陷波器（Notch Filter）”或者帶阻濾波器的方法將響應(yīng)中的簡諧成分濾除_3]，然而，濾波會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)信號(hào)的相位信息的丟失，并且在實(shí)際應(yīng)用中，濾波通常會(huì)“污染”測(cè)量得到的數(shù)據(jù)，改變系統(tǒng)的極點(diǎn)。Brinck-er給“諧波模態(tài)”作了定義，并且根據(jù)簡諧波與隨機(jī)數(shù)的概率密度函數(shù)（probability density function）的形狀不一樣，定義了一個(gè)諧波指示函數(shù)，通過頻域分解技術(shù)（frequency domain decomposition，F(xiàn)DD）來去除諧波影響。Jacobsen在Brincker的基礎(chǔ)上，先判斷出諧波的頻率，基于單自由度系統(tǒng)，在響應(yīng)的功率譜密度函數(shù)上，通過線性插值法將由諧波引起的峰直接移除。Devriendt將傳遞函數(shù)引入到諧波辨識(shí)模型中，通過兩次不同位置的實(shí)驗(yàn)，分別求傳遞函數(shù)來消除諧波的影響以辨識(shí)系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)。Agneni用概率密度法檢測(cè)出諧波模態(tài)，并與峭度法進(jìn)行了對(duì)比，用Hilbert變換的方法構(gòu)造出“頻響函數(shù)”并識(shí)別出諧波模態(tài)參數(shù)，然后重構(gòu)諧波模態(tài)的“頻響函數(shù)”，再與原“頻響函數(shù)”相減以去除諧波模態(tài)的影響。Araujo和Laier對(duì)不同參考點(diǎn)組成的功率譜密度傳遞矩陣進(jìn)行了奇異值分解，在環(huán)境激勵(lì)為有色噪聲的情況下辨識(shí)了系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)振型。這一方法不依賴于激勵(lì)的形式，也就不要求激勵(lì)必須滿足白噪聲的假設(shè)。對(duì)于諧波頻率接近固有頻率的情形，濾波方法或者插值方法會(huì)對(duì)系統(tǒng)固有頻率的辨識(shí)產(chǎn)生很大的影響。Mohanty在諧波頻率已知的前提下，通過往傳統(tǒng)OMA辨識(shí)算法中添加極點(diǎn)的方式，修改了Ibrahim time do-main technique（ITD），least squares complex ex-ponential method（LSCE），single station timedomain（SSTD），eigensystem realization algo-rithm（ERA）等算法，以辨識(shí)系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。chomette將修改的LSCE算法運(yùn)用在豎琴的模態(tài)參數(shù)辨識(shí)中，驗(yàn)證了該算法的有效性?；贛o-hanty的思路，董霄峰通過修改SSI算法，來辨識(shí)系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，并將這一方法運(yùn)用在陸上風(fēng)機(jī)結(jié)構(gòu)的模態(tài)測(cè)試中，取得了良好效果。

文獻(xiàn)均是通過往現(xiàn)有算法中添加極點(diǎn)的方式來修改已有算法，但沒有給出添加極點(diǎn)的理論依據(jù)。本文在上述工作基礎(chǔ)上，并基于自然激勵(lì)技術(shù)，從相關(guān)函數(shù)出發(fā)，論證了添加極點(diǎn)的理論依據(jù)。首先推導(dǎo)了自然激勵(lì)技術(shù)在復(fù)模態(tài)系統(tǒng)中的推廣形式，然后推導(dǎo)出激勵(lì)中含有諧波成分時(shí)響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)表達(dá)式，證明了激勵(lì)中諧波成分不會(huì)影響辨識(shí)算法中系統(tǒng)極點(diǎn)的數(shù)學(xué)表達(dá)，給出了往現(xiàn)有算法中添加極點(diǎn)的依據(jù)。最后通過仿真及實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步證實(shí)了本文結(jié)論。

1基本原理

1.1系統(tǒng)受白噪聲及諧波的共同激勵(lì)

N（N≥1）自由度線性定常系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)方程用矩陣形式表示為

式（12）等號(hào)右邊的第一項(xiàng)與脈沖響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行比較，有著相似的對(duì)應(yīng)形式，其中包含了振動(dòng)系統(tǒng)模態(tài)頻率、阻尼比和模態(tài)向量等信息，用其替換脈沖響應(yīng)函數(shù)代人到傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析方法中，可以辨識(shí)出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。而式（12）等號(hào)右邊的第二項(xiàng)則為與激勵(lì)諧波同頻率的諧波，在利用傳統(tǒng)ERA方法對(duì)R_ij（T）進(jìn)行曲線擬合時(shí)，將會(huì)得到L個(gè)阻尼為零的極點(diǎn)。

進(jìn)一步，當(dāng)w_k靠近系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，正弦成分的影響會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的固有極點(diǎn)不能夠很好地通過曲線擬合辨識(shí)出來。因此在曲線擬合之前通過修改ERA算法，將諧波成分的極點(diǎn)信息先寫入到ERA算法中。

1.2修改的ERA算法

式（1）描述的系統(tǒng)可由下列狀態(tài)方程表示

（13）式中z（k）為t_k=k△t時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)向量；△t為采樣間隔；x（k）是在k△t時(shí)刻的實(shí)測(cè)響應(yīng)向量；f（k）是在kAt時(shí)刻系統(tǒng)的輸入向量；A為系統(tǒng)矩陣；B為輸入矩陣；C為輸出矩陣。

在OMA中，脈沖響應(yīng)函數(shù)也可以由相關(guān)函數(shù)來代替。因此，自由響應(yīng)的最小實(shí)現(xiàn)問題常用相關(guān)函數(shù)的最小實(shí)現(xiàn)問題來代替。

為辨識(shí)系統(tǒng)矩陣A，首先構(gòu)造Hankel矩陣，

由式（14），分別令k=0，k=1可得H（0）和H（1）。對(duì)于線性定常系統(tǒng)，H（0）與A，JB及c之間存在如下關(guān)系

由式（15）及式（16）可以得到系統(tǒng)矩陣A的最小實(shí)現(xiàn)形式A^r，進(jìn)而可以辨識(shí)系統(tǒng)的模態(tài)頻率、阻尼比和振型。

圖2所示響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)中包含了不衰減的諧波成分，進(jìn)一步考察發(fā)現(xiàn)，諧波頻率與激勵(lì)中諧波頻率相同。這驗(yàn)證了式（12）將相關(guān)函數(shù)寫成兩部分的合理性。

運(yùn)用傳統(tǒng)ERA方法辨識(shí)系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，其穩(wěn)態(tài)圖如圖3（a）所示。

傳統(tǒng)ERA在辨識(shí)第3階模態(tài)參數(shù)時(shí)，由于諧波的頻率離系統(tǒng)的固有頻率很近，導(dǎo)致算法不能夠穩(wěn)定地?cái)M合出系統(tǒng)的極點(diǎn)。其辨識(shí)的第3階頻率及阻尼比如表1所示。

通過表1，對(duì)比辨識(shí)值與給定值，頻率明顯偏小，阻尼也有一定的誤差。

運(yùn)用修改過的ERA方法辨識(shí)系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，穩(wěn)態(tài)圖如圖3（b）所示。通過添加諧波成分形成的極點(diǎn)，曲線擬合的過程中可以快速穩(wěn)定地找到系統(tǒng)固有頻率處的極點(diǎn)。其辨識(shí)的第3階頻率及阻尼比如表2所示。

通過表2，對(duì)比辨識(shí)值與給定值，頻率與給定值相差不大，阻尼也與給定值之間誤差很小。

對(duì)比圖3（a）和圖3（b），修改的ERA算法可以很好地?cái)M合出系統(tǒng)的固有極點(diǎn)，而不受諧波成分的影響。對(duì)比表1和表2，通過添加諧波引起的極點(diǎn)，可以比傳統(tǒng)算法更快速準(zhǔn)確地辨識(shí)出系統(tǒng)的固有頻率和阻尼比。

3實(shí)驗(yàn)研究

為了驗(yàn)證本文的理論，在實(shí)驗(yàn)室所能提供的技術(shù)支持的基礎(chǔ)上，以一根鋼制梁為對(duì)象進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，如圖4所示。

3.1受純白噪聲激勵(lì)

3.2受白噪聲及諧波共同激勵(lì)

對(duì)比圖5（a）與圖5（b），通過添加諧波引起的極點(diǎn)，系統(tǒng)可以快速擬合出系統(tǒng)的固有極點(diǎn)。傳統(tǒng)ERA及修改的ERA辨識(shí)的梁的固有頻率及阻尼比如表4所示。

圖5和表4表明，修改的ERA在辨識(shí)系統(tǒng)的固有頻率與阻尼時(shí)比傳統(tǒng)ERA更穩(wěn)定更準(zhǔn)確更快速。

4結(jié)論

基于NExT理論，從相關(guān)函數(shù)出發(fā)，本文推導(dǎo)了由添加極點(diǎn)來修改傳統(tǒng)OMA算法的理論依據(jù)。結(jié)論如下：

1）當(dāng)系統(tǒng)的激勵(lì)中含有諧波成分時(shí)，推導(dǎo)出響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)，并將其表示為系統(tǒng)受白噪聲激勵(lì)時(shí)響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)與一系列諧波的疊加。

2）當(dāng)激勵(lì)中含有諧波成分時(shí)，證明了基于傳統(tǒng)ERA方法進(jìn)行模態(tài)參數(shù)辨識(shí)，諧波不會(huì)改變?cè)瓉硐到y(tǒng)極點(diǎn)的數(shù)學(xué)表達(dá)，但是當(dāng)諧波頻率靠近系統(tǒng)固有頻率時(shí)會(huì)影響ERA算法對(duì)系統(tǒng)固有極點(diǎn)的擬合準(zhǔn)確性。

3）事先測(cè)試出諧波頻率，通過往傳統(tǒng)ERA算法中添加諧波引起的極點(diǎn)，提高了ERA算法對(duì)系統(tǒng)固有頻率和阻尼比的辨識(shí)精度。

文中提出的方法不僅適用于文中提到的算例和實(shí)驗(yàn)，也適應(yīng)用于其他的工程實(shí)際應(yīng)用。