鄧　兵， 孫正波， 楊　樂

(1. 盲信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610041;2. 江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，江蘇 無錫 214122)

作為一個(gè)經(jīng)典問題，無源定位技術(shù)在雷達(dá)、通信、導(dǎo)航和無線網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域存在著廣泛的應(yīng)用[1-5]．一般常見的定位方法是利用諸如到達(dá)時(shí)間差(Time Difference Of Arrival，TDOA)[1]、到達(dá)角度(Angle Of Arrival，AOA)[2]等測量參數(shù)或者它們的組合來實(shí)現(xiàn)目標(biāo)定位．如果觀測站與目標(biāo)之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，則到達(dá)頻率差(Frequency Difference Of Arrival，F(xiàn)DOA)[3]也可以被加以利用．截止目前，對(duì)TDOA、FDOA、AOA單一或者兩兩組合定位體制的研究已有較多成果[4-8]，但針對(duì)三者聯(lián)合的定位體制研究較少．此外，由于測量參數(shù)與目標(biāo)位置、速度之間的高度非線性，使得目標(biāo)狀態(tài)求解成為一個(gè)必須面對(duì)的難題．

解決這一問題典型的方法包括泰勒級(jí)數(shù)(Talyor-series)迭代求解算法[9]、兩步加權(quán)最小二乘(Two Step Weighted Least Square，TSWLS)算法[10]等．泰勒級(jí)數(shù)算法需要較為精確的初始位置信息來進(jìn)行迭代求解，否則容易發(fā)散[1，9]．兩步加權(quán)最小二乘算法通過引入中間變量構(gòu)造偽線性方程來求解目標(biāo)狀態(tài)，但該方法在第二級(jí)加權(quán)最小二乘估計(jì)求解時(shí)涉及到開方運(yùn)算，容易產(chǎn)生模糊的定位結(jié)果，并且有可能出現(xiàn)虛數(shù)解[1]．并且這些方法[9-10]都忽略了方程線性化后的二階誤差項(xiàng)，這將導(dǎo)致在求解目標(biāo)的位置和速度時(shí)出現(xiàn)不可預(yù)知的估計(jì)誤差．如果能夠有直接簡單的閉式解，將能夠大大提升目標(biāo)定位的精度．文獻(xiàn)[11]在TDOA/AOA定位體制下，提出了一種測量轉(zhuǎn)換思路，通過將目標(biāo)狀態(tài)與測量方程進(jìn)行變換，使之滿足線性關(guān)系，進(jìn)而利用加權(quán)最小二乘算法求得目標(biāo)狀態(tài)．

因此，文中主要考慮TDOA/FDOA/AOA混合定位體制自身特點(diǎn)，利用文獻(xiàn)[11]量測轉(zhuǎn)換思路，提出一種TDOA/FDOA/AOA定位閉式求解算法．首先給出典型定位模型，接著提出一種代數(shù)閉式解．然后通過與定位克拉美羅界(Cramer-Rao Low Bound，CRLB)的對(duì)比，分析所提算法的性能，證明了算法的統(tǒng)計(jì)有效性．最后通過計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證了文中算法在不同的參數(shù)測量誤差條件下的定位效果．

圖1　TDOA/FDOA/AOA聯(lián)合定位示意圖

1　定位模型

(1)

進(jìn)一步，根據(jù)幾何關(guān)系可以得到，第i個(gè)傳感器測得的方位角θi及俯仰角φi真實(shí)值可以表示為

(2)

其中，θi和φi分別表示帶有測量誤差Δθi和Δφi的方位角和俯仰角測量值．

2　定位算法

(3)

(4)

利用式(3)和式(4)，可以得到距離差等價(jià)測量方程為

(5)

(6)

(7)

(8)

考慮測量誤差，聯(lián)合式(5)、式(6)和式(8)可以得到變換后的定位方程，即

h=Gα+Tε,

(9)

(10)

且式中0(m-1)×(m-1)和02m×(m-1)分別表示一個(gè)(m-1)維和2m×(m-1)維零矩陣．Im-1代表 (m-1)× (m-1) 維單位矩陣．由于誤差符合高斯分布，則式(9)中Tε的協(xié)方差矩陣為

W=TQTT．

(11)

進(jìn)一步，式(9)為關(guān)于α的線性方程，則可以通過加權(quán)最小二乘法得到α的估計(jì)及其協(xié)方差，即

實(shí)際當(dāng)中，首先將W設(shè)為單位矩陣以獲得目標(biāo)狀態(tài)初始解，再利用初始結(jié)果求得較為精確的W值，進(jìn)而求得目標(biāo)更為精確的狀態(tài)估計(jì)，重復(fù)以上步驟直至收斂．仿真表明，1～2次迭代即可得到收斂估計(jì)值．

3　性能分析

(14)

進(jìn)一步，根據(jù)圖1幾何約束關(guān)系，有

li=ricosφi，i=1，…，m．

(15)

(16)

(17)

重新定義i=2，…，m，且有

(18)

同理，對(duì)距離變化率方程進(jìn)行變換得到

(20)

則根據(jù)式(15)～式(20)可以推出

T-1G=?m/?α．

(21)

將式(21)帶入式(13)，并同式(14)比較，可以得到

(22)

該式說明所提閉式求解算法可以在誤差較小時(shí)達(dá)到克拉美羅界，是一種無偏最優(yōu)估計(jì)．

4　仿真分析

表1　傳感器位置與速度矢量

注：i為接收機(jī)編號(hào)．

圖2 目標(biāo)定位誤差隨σr變化情況圖3 目標(biāo)定位誤差隨σf變化情況

圖4 目標(biāo)定位誤差隨σAOA變化情況

圖2仿真分析了泰勒級(jí)數(shù)展開算法與文中所提閉式求解算法隨σr變化的定位結(jié)果，仿真過程中，σf= 0.1 m，σAOA= 0.5°．圖3仿真說明了兩種算法隨σf變化的定位結(jié)果，其中，σr= 0.1 m，σAOA= 0.5°．圖4則主要分析在σAOA變化下的定位情況，σr=σf= 0.1 m．從仿真結(jié)果可以看出，文中所提算法在誤差較小時(shí)能夠達(dá)到CRLB理論下限，并且隨著測量誤差的增加，如σAOA超過2.5°，閉式解算法比泰勒級(jí)數(shù)迭代算法擁有更好的定位精度，而后者此時(shí)由于初始迭代值誤差，已經(jīng)出現(xiàn)門限效應(yīng)．此外，從仿真結(jié)果可以看出，文中所提算法對(duì)頻差、測向量測信息具有較好的抗誤差特性．相比于泰勒級(jí)數(shù)完全忽略二階及二階以上誤差項(xiàng)來線性化求解，文中所提算法性能提升的原因來自于僅忽略二階誤差項(xiàng)．

5　結(jié)　　論

針對(duì)實(shí)際當(dāng)中TDOA-FDOA-AOA聯(lián)合定位問題，利用幾何關(guān)系，通過將非線性測量方程轉(zhuǎn)換為與目標(biāo)狀態(tài)成線性的定位方程，然后利用加權(quán)最小二乘算法估計(jì)出目標(biāo)狀態(tài)．性能分析表明，所提算法在誤差較小時(shí)能夠達(dá)到CRLB理論下限．仿真結(jié)果說明，同泰勒級(jí)數(shù)迭代算法相比，所提算法具有較好的定位性能．文中閉式求解算法可以進(jìn)一步推廣到其他定位體制中去，如TDOA-AOA、FDOA-AOA定位場景，且能適應(yīng)目標(biāo)或觀測站運(yùn)動(dòng)或靜止的情況，只需要在表達(dá)式上做相應(yīng)的細(xì)微調(diào)整即可．

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