馮曉宇， 謝軍偉， 張 晶, 王 博

(1.空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西 西安 710051;2.空軍工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710051)

0 引 言

波束形成器[1，2]的設(shè)計(jì)旨在增強(qiáng)期望信號(hào)的同時(shí)抑制干擾，基于線性約束最小方差(linear constrained minimum variance,LCMV)準(zhǔn)則的自適應(yīng)波束形成算法通過(guò)權(quán)矢量的調(diào)整在保證期望信號(hào)增益的同時(shí)使總功率最小，從而得到對(duì)干擾和噪聲功率的抑制。但在實(shí)際的應(yīng)用中，指向誤差、陣元位置誤差以及陣元相位誤差都會(huì)使得算法性能下降[3]。針對(duì)波束形成對(duì)誤差的敏感性問(wèn)題，文獻(xiàn)中提出的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法有子空間投影算法[4～7]以及各種對(duì)角加載方法[8～10]等，文獻(xiàn)[11]提出了實(shí)現(xiàn)矢量線列陣波束形成的矢量矩陣最小方差無(wú)畸變響應(yīng)(vector array minimum variance distortionless response,VTAMVDR)算法，但以上方法均存在運(yùn)算量大的問(wèn)題。文獻(xiàn)[12]基于線性約束最小均方(least mean square,LMS)更新最優(yōu)權(quán)矢量，通過(guò)搜索相位誤差以補(bǔ)償約束導(dǎo)向矢量從而得到期望信號(hào)的真實(shí)導(dǎo)向矢量，但初始導(dǎo)向矢量必須選在靠近真實(shí)導(dǎo)向矢量的范圍內(nèi)。文獻(xiàn)[13]針對(duì)常規(guī)LCMV算法的矩陣求逆運(yùn)算量大的問(wèn)題，提出了基于最速下降法(steepest descent,SD)搜索權(quán)矢量及導(dǎo)向矢量的改進(jìn)LCMV算法，提高了算法效率。

本文在最速下降法搜索導(dǎo)向矢量的基礎(chǔ)上，更新最優(yōu)權(quán)矢量的求解方法：1)通過(guò)設(shè)置一個(gè)權(quán)重矢量的范數(shù)約束上界更新最優(yōu)權(quán)矢量，得到基于可變加載約束的LCMV算法；2)通過(guò)牛頓法計(jì)算最優(yōu)權(quán)矢量，得到Newton-SD-LCMV算法。在存在指向誤差、陣元位置誤差和陣元相位誤差的情況下與線性約束LMS算法及遞歸穩(wěn)健LCMV算法進(jìn)行了仿真對(duì)比，仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提算法的穩(wěn)健性。

1 研究背景

1.1 LCMV波束形成

設(shè)L個(gè)互不相關(guān)的窄帶信號(hào)入射到陣元數(shù)為(L

(1)

式中s1(k)為期望信號(hào)的復(fù)包絡(luò)；si(k),i=2,…,L為非期望信號(hào)的復(fù)包絡(luò)；a(θi)為入射角為θi的信號(hào)導(dǎo)向矢量；N(k)為噪聲矢量。當(dāng)期望信號(hào)、干擾和噪聲互不相關(guān)時(shí)，接收數(shù)據(jù)的相關(guān)矩陣的理論表達(dá)式為

R=E[xH(k)x(k)]

(2)

R=Rs+Ri+Rn

(3)

式中Rs,Ri和Rn分別為期望信號(hào)、干擾信號(hào)和噪聲的相關(guān)矩陣;H為共軛轉(zhuǎn)置。

波束形成器的輸出可表示為

y(k)=wHx(k)

(4)

式中w為權(quán)矢量。

實(shí)際陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣可通過(guò)快拍數(shù)得到

(5)

LCMV實(shí)際用于求解如下約束問(wèn)題

(6)

(7)

1.2 線性約束LMS算法

以權(quán)矢量為自變量使用拉格朗日乘子法構(gòu)造代價(jià)函數(shù)

(8)

使權(quán)矢量沿最速下降方向即負(fù)梯度方向搜索最優(yōu)值的迭代表達(dá)式如下

(9)

(10)

通過(guò)式(5)中的瞬時(shí)值估算得到的協(xié)方差矩陣往往與真實(shí)值的誤差較大，LMS算法中通過(guò)疊加的方式更新協(xié)方差矩陣，以降低估計(jì)誤差

(11)

1.3 遞歸穩(wěn)健LCMV算法

文獻(xiàn)[12]提出了一種遞歸的穩(wěn)健LCMV波束形成算法。當(dāng)假定的導(dǎo)向矢量與實(shí)際的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量失配時(shí)，通過(guò)搜索相位誤差以補(bǔ)償約束導(dǎo)向矢量從而得到期望信號(hào)的真實(shí)導(dǎo)向矢量。當(dāng)相位誤差Δφ相對(duì)較小時(shí)，真實(shí)的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量可采用一階泰勒展開(kāi)的方式表示為

a(Δφ)=a(0)+a′(0)Δφ

(12)

將式(6)的最優(yōu)化問(wèn)題等效表示為

(13)

當(dāng)Δφ較小時(shí)，將式(12)代入式(13)中可得最優(yōu)解

(14)

當(dāng)Δφ較大時(shí)，可采用負(fù)梯度搜索的方法迭代得出Δφ

Δφ(n+1)=Δφ(n)-μΔφΔφJ(rèn),n=0,1,…

(15)

2 Newton-SD-LCMV算法

最速下降在最優(yōu)值附近存在的鋸齒抖動(dòng)現(xiàn)象會(huì)使最優(yōu)值的收斂速度減緩。對(duì)于二次凸函數(shù)，牛頓法經(jīng)過(guò)有限次迭代必然達(dá)到極小值，且具有二次終止性。針對(duì)式(6)的最優(yōu)化問(wèn)題，以權(quán)矢量為自變量使用拉格朗日乘子法構(gòu)造代價(jià)函數(shù)

(16)

式中J2為二次可微函數(shù)；wn為J2極小點(diǎn)的一個(gè)估計(jì)。在wn將J2展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)并取二階近似

(17)

由上式可得權(quán)矢量的迭代公式為

(18)

在波達(dá)方向估計(jì)存在偏差，假定導(dǎo)向矢量及真實(shí)導(dǎo)向矢量失配的情況下，可通過(guò)搜索方法求得真實(shí)的導(dǎo)向矢量，由文獻(xiàn)[13]可得如下約束條件

(19)

(20)

由文獻(xiàn)[12]知ε的取值對(duì)算法性能的影響較小，本文中取ε=1.5。沿負(fù)梯度方向進(jìn)行搜索可得導(dǎo)向矢量迭代公式

a(n+1)=a(n)-μ3[2-1a(n)+

(21)

式中μ3為步長(zhǎng)因子。采用式(11)估計(jì)協(xié)方差矩陣，-1a(n)可近似為w(n+1)，導(dǎo)向矢量的最終迭代公式為

a(n+1)=a(n)-μ3[2w(n+1)+2λ3a(n)-

(22)

(23)

3 基于可變加載約束的SD-LCMV算法

(24)

通過(guò)對(duì)權(quán)重矢量的范數(shù)設(shè)置一個(gè)上界約束，提高波束形成器的穩(wěn)健性能，將式(6)的優(yōu)化問(wèn)題模型改寫(xiě)如下

(25)

采用拉格朗日乘子法構(gòu)造代價(jià)函數(shù)

(26)

采用最速下降方向即負(fù)梯度方向作為搜索方向，得到權(quán)矢量的迭代公式如下

(27)

(28)

得到權(quán)重迭代公式如下

w(n+1)=P[w(n)-μyH(n)x(n)]+F-ημPw(n)

(29)

b1η2+b2η+b3=0

(30)

式中b1=[μPw(n)]H[μPw(n)];b2=-2Re{[μ·Pw(n)]H[P(w(n)-μyH(n)x(n))+F]};b3=‖P[w(n)-μyH(n)x(n)]+F‖2-δ。

采用式(22)在最速下降方向上搜索真實(shí)導(dǎo)向矢量。

4 仿真及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

仿真條件：8陣元半波長(zhǎng)均勻線陣，期望信號(hào)的方向?yàn)?°，干擾信號(hào)的方向?yàn)?0°，信噪比及干噪比均為10 dB，μ1=0.000 01，Δφ=0.05，μ3=0.000 01，δ=9.965 6×10-4，μ=0.01，噪聲為高斯白噪聲，以下仿真結(jié)果通過(guò)100次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)得到。

1)期望信號(hào)存在角度指向誤差時(shí)算法的穩(wěn)健性分析。假設(shè)期望信號(hào)存在Δθ= 5°的角度指向誤差，從圖1、圖2(圖1的零陷位置放大圖)可以看出，線性約束LMS算法不具備對(duì)誤差的穩(wěn)健性，波束指向在誤差方向上，在干擾位置沒(méi)有形成零陷，遞歸穩(wěn)健LCMV算、Newton-SDLCMV以及基于可變加載約束的SD-LCMV算法均可以在真實(shí)期望信號(hào)方向是形成主波束，并在干擾方向上形成零陷，其中Newton-SD-LCMV、基于可變加載約束的SD-LCMV算法在干擾信號(hào)方向可以形成更深的零陷。

圖1 指向誤差為5°的陣列天線方向圖

圖2 零陷位置

圖3為輸出信干噪比(signal to interference plus noise power radio,SINR)隨快怕數(shù)變化的情況，線性約束LMS性能非常差，有10 dB以上的損失，而遞歸穩(wěn)健LCMV算法、Newton-SD-LCMV以及基于可變加載約束的SD-LCMV均可以收斂到理論值附近。其中收斂速度由快到慢依次為Newton-SD-LCMV、遞歸穩(wěn)健LCMV算法、以及基于可變加載約束的SD-LCMV算法。

圖3 SINR隨快拍數(shù)的變化曲線

2)存在陣元位置誤差條件下各算法的穩(wěn)健性仿真。假設(shè)陣元位置誤差服從0至信號(hào)半波長(zhǎng)之間的均勻分布，從圖4的方向圖可以看出：線性約束LMS的波束指向出現(xiàn)偏移并且在干擾位置沒(méi)有形成零陷，Newton-SD-LCMV對(duì)陣元位置誤差的穩(wěn)健性最好，遞歸穩(wěn)健LCMV算與基于可變加載約束的SD-LCMV算法性能近似，圖5的SINR曲線反映出Newton-SD-LCMV、基于可變加載約束的SD-LCMV算法的性能仍?xún)?yōu)于線性約束LMS，與遞歸穩(wěn)健LCMV算法一樣均可以收斂到理論值附近。

圖4 存在陣元位置誤差的陣列天線方向圖

圖5 SINR隨快拍數(shù)的變化曲線

3)各陣元存在隨機(jī)相位誤差分析。假設(shè)隨機(jī)相位誤差服從0～2π均勻分布。從圖6的方向圖可以看出：Newton-SD-LCMV、基于可變加載約束的SD-LCMV算法主波束都能準(zhǔn)確指向真實(shí)期望信號(hào)方向，并在干擾方向形成零陷，而線性約束LMS算法及遞歸穩(wěn)健LCMV算法已失效。從圖7的SINR曲線看出，線性約束LMS及RLSVL均有較大的性能損失，但Newton-SD-LCMV、基于可變加載約束SD-LCMV算法的穩(wěn)態(tài)性能仍能較為接近理論值。

圖7 SINR隨快拍數(shù)的變化曲線

5 結(jié) 論

本文針對(duì)最優(yōu)權(quán)矢量解算，提出了基于牛頓法及可變加載約束的改進(jìn)SD-LCMV算法，在存在指向誤差的情況下，將兩者與線性約束LMS算法及遞歸穩(wěn)健LCMV算法進(jìn)行仿真對(duì)比，結(jié)果驗(yàn)證了改進(jìn)算法對(duì)指向誤差、陣元位置誤差和陣元相位誤差的穩(wěn)健性。但最速下降法存在鋸齒抖動(dòng)問(wèn)題，在最優(yōu)值附近進(jìn)行迭代尋優(yōu)效率較低，下一步將對(duì)此展開(kāi)進(jìn)一步的分析研究。

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