法　林　張曉琳　席冰潔　周　鑫　牟錦鵬　楊　宏

(①西安郵電大學(xué)電子工程學(xué)院，陜西西安 710121； ②西安郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，陜西西安 710121)

1　引言

彈性各向異性在地球內(nèi)部是一種常見(jiàn)的現(xiàn)象，許多地球物理學(xué)家已觀察到各向異性介質(zhì)中的極化現(xiàn)象[1-4]并對(duì)反射/折射系數(shù)、極化等方面進(jìn)行了廣泛的研究[5-11]，其研究成果已應(yīng)用到勘探地震數(shù)據(jù)的反演解釋中[12-15]。人們通常把沉積巖(例如頁(yè)巖)視為橫向各向同性(TI)介質(zhì)，理論上VTI介質(zhì)力學(xué)性質(zhì)可用六角晶體的彈性張量進(jìn)行描述[3，4]。

在地球物理勘探中，巖石的各向異性對(duì)聲波的極化、傳播和反射/折射有很大影響，正確地評(píng)估巖石各向異性的這些影響對(duì)地球物理勘探的正演建模和地震勘探數(shù)據(jù)反演至關(guān)重要。在許多已發(fā)表的文獻(xiàn)中，可見(jiàn)各向異性巖層中傳播的均勻平面波的極化特性方面的研究[1，4，16-19]，以及在各向異性巖層界面上產(chǎn)生的非均勻折射P波的極化特性方面的研究，例如，對(duì)于存在和不存在異常入射角的兩種情況，法林等[10，20]推導(dǎo)了非均勻折射P波極化系數(shù)的嚴(yán)格數(shù)學(xué)表達(dá)式。

對(duì)于存在異常入射角的VTI介質(zhì)界面的情況，在異常入射角對(duì)非均勻折射P波橢圓極化狀態(tài)的影響下能夠正確地計(jì)算出反射/折射系數(shù)的幅度及其相位與入射角之間的變化關(guān)系。如果忽略異常入射角引起的非均勻折射P波對(duì)極化狀態(tài)的影響，則不能正確地在過(guò)異常入射角區(qū)域計(jì)算出VTI巖石界面的PP波的反射系數(shù)以及反射P波相對(duì)入射P波在界面上產(chǎn)生的渡越時(shí)間。因而對(duì)于大角度入射而獲得的地震勘探數(shù)據(jù)就不能進(jìn)行精確的AVO反演分析，對(duì)上述地震勘探數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)—深轉(zhuǎn)換時(shí)也會(huì)引起較大的誤差。

本文對(duì)各向異性巖石界面上產(chǎn)生的非均勻折射P波的極化狀態(tài)進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，用類似“Poincaré球”的可視化方式描述了巖石各向異性和異常入射角對(duì)其橢圓極化狀態(tài)的影響。在VTI介質(zhì)界面的反射系數(shù)和極化系數(shù)及前異常入射角區(qū)域非均勻模式轉(zhuǎn)換波的極化系數(shù)表達(dá)式的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了過(guò)異常入射角區(qū)域?qū)?yīng)的非均勻模式轉(zhuǎn)換波的極化系數(shù)的表達(dá)式，并首次建立了相應(yīng)的橢圓極化方程，同時(shí)計(jì)算了入射角與橢圓極化軌跡之間的關(guān)系，并論證了這個(gè)異常入射角[10]不僅可以使橢圓極化軌跡的形狀發(fā)生突變，而且還會(huì)使橢圓極化旋轉(zhuǎn)方向發(fā)生改變。

2　理論背景

對(duì)于VTI介質(zhì)，可以用六角晶系固體的彈性剛度張量

(1)

描述其主要力學(xué)性質(zhì)[4，21]。式中Cij與各向異性巖石參數(shù)之間的關(guān)系[22]為

(2)

式中：ε、δ和γ是巖石各向異性參數(shù)；α和β分別是P波和SV波的垂直相速度；ρ是介質(zhì)密度。

對(duì)于角頻率為ω的簡(jiǎn)諧P波，其在x-z平面上傳播并入射到VTI介質(zhì)界面上(圖1)，入射P波、反射P波、折射P波、反射SV波和折射SV波的質(zhì)點(diǎn)位移矢量的表達(dá)式為

(3)

式中：θ為入射角、反射角或折射角；R0定義為1，R表示反射或折射系數(shù)；ux和uz為極化系數(shù)；k為波數(shù)。

圖1　　　　各向異性巖石界面模型的入射P波和模

對(duì)于不存在外力的情況，入射P波和在界面上產(chǎn)生的模式轉(zhuǎn)換波的極化系數(shù)ux和uz可以通過(guò)求解簡(jiǎn)化的Christoffel方程

(4)

獲得。式中

(5)

其中：A1=A11-A44；A2=A44-A33；A3=A13+A44；vm是五種波的相速度解[20]。在不存在異常入射角的情況下，對(duì)于入射、反射和折射P波式(5)中Qm取“+”，對(duì)于反射、折射SV波Qm取“-”；在存在異常入射角的情況下，在過(guò)異常入射角區(qū)域，對(duì)于折射P波Qm取“-”。

3　模型建立

根據(jù)測(cè)量出的巖石各向異性參數(shù)[22-24]，經(jīng)大量計(jì)算后發(fā)現(xiàn)對(duì)于大多數(shù)各向異性巖石構(gòu)成的界面不存在異常入射角，而對(duì)某些特殊各向異性巖石界面存在著異常入射角的現(xiàn)象[10]。選擇各向異性頁(yè)巖(A頁(yè)巖)、泰勒砂巖(T砂巖)以及油頁(yè)巖(O頁(yè)巖)構(gòu)成兩種各向異性巖石界面模型：以A頁(yè)巖作為入射介質(zhì)、T砂巖作為折射介質(zhì)，構(gòu)成第一種各向異性巖石界面模型；以A頁(yè)巖作為入射介質(zhì)、O頁(yè)巖為折射介質(zhì)，構(gòu)成第二種各向異性巖石界面模型。三種巖石的彈性參數(shù)如表1所示[22]。

表1　三種VTI介質(zhì)巖石的彈性參數(shù)

3.1　模型1：不存在異常入射角情況

考慮不存在異常入射角的各向異性巖石界面系統(tǒng)，重點(diǎn)是對(duì)應(yīng)折射P波的過(guò)臨界角入射。由于巖石介質(zhì)橫向各向同性，有Wx,2=Wy,2，則模型可簡(jiǎn)化為二維。由斯奈爾定理，當(dāng)sinθ2變?yōu)榇笥?的實(shí)數(shù)時(shí)，式(3)可以轉(zhuǎn)換為質(zhì)點(diǎn)位移分量表達(dá)式形式，即折射波質(zhì)點(diǎn)位移的兩個(gè)獨(dú)立分量可表示為

(6)

(7)

瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)位移的表達(dá)式為

(8)

由上式可得非均勻折射P波的橢圓極化方程為

(9)

式中

(10)

其中上標(biāo)“*”表示復(fù)共軛。將橢圓極化軌跡末端與x軸之間的夾角稱為非均勻折射P波的橢圓極化旋轉(zhuǎn)角，可表示為

tan(ωt-k0xsinθ0+φ2)]

(11)

上式表明橢圓極化旋轉(zhuǎn)角隨著時(shí)間的增大而增大，因此非均勻折射P波是右旋橢圓極化波。

對(duì)于給定的各向異性巖石界面，可以得到非均勻折射P波的橢圓極化軌跡與入射角之間的關(guān)系。對(duì)于A頁(yè)巖和T砂巖組成的界面模型，不存在對(duì)應(yīng)折射P波的異常入射角，僅存在一個(gè)對(duì)應(yīng)折射P波的入射臨界角(θ0C=48.34°)。在超過(guò)臨界角區(qū)域，非均勻折射P波是右旋橢圓極化波，計(jì)算的非均勻折射P波的橢圓極化狀態(tài)如圖2a所示，可以看出，橢圓極化軌跡的大小相對(duì)于入射角的增大而減??；圖2b為不同入射角的橢圓極化軌跡在Wx,2-Wz,2平面的投影；圖2c是橢圓極化初始旋轉(zhuǎn)角與入射角的關(guān)系，其絕對(duì)值隨著入射角的增大而單調(diào)遞增，當(dāng)入射角接近90°時(shí)初始旋轉(zhuǎn)角趨近于-90°。

3.2　模型2：存在異常入射角情況

對(duì)于A頁(yè)巖作為入射介質(zhì)、O頁(yè)巖作為折射介質(zhì)構(gòu)成界面模型2，存在一個(gè)入射臨界角(θ0C=32.99°)和一個(gè)異常入射角(θ0A=62.16°)。在前入射角區(qū)域，即θ0∈(θ0C，θ0A)，非均勻折射P波的橢圓極化狀態(tài)的理論分析同模型1，非均勻折射P波的極化狀態(tài)數(shù)學(xué)表達(dá)式相同，是一個(gè)右旋橢圓極化波。

在過(guò)異常入射角區(qū)域θ0∈(θ0A，90°)，由斯奈爾定理可知，當(dāng)cosθ2變?yōu)榇笥?的實(shí)數(shù)時(shí)，式(3)可以轉(zhuǎn)換為質(zhì)點(diǎn)位移分量表達(dá)式形式，即非均勻折射P波質(zhì)點(diǎn)位移的兩個(gè)獨(dú)立分量可以表示為

(12)

即

(13)

式中因子χ2=iωcosθ2/v2是正數(shù)[12，13]。由上式可得折射P波的橢圓極化方程

(14)

其中

(15)

圖2　界面模型1的非均勻折射P波的極化狀態(tài)

(a)折射P波的橢圓極化軌跡與入射角的關(guān)系； (b)橢圓極化軌跡投影到Wx,2-Wz,2平面上； (c)在坐標(biāo)原點(diǎn)處的橢圓極化的初始旋轉(zhuǎn)角

同理，非均勻折射P波的橢圓極化旋轉(zhuǎn)角可表示為

×

cot(ωt-k0xsinθ0+φ2)}

(16)

由上式可知，橢圓極化旋轉(zhuǎn)角隨著時(shí)間增加而減小，橢圓極化軌跡隨著時(shí)間沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，因此當(dāng)θ0∈(θ0A，90°)，非均勻折射P波是左旋橢圓極化波。

圖3為界面模型2的非均勻折射P波的橢圓極化狀態(tài)。從圖3a可以看出，橢圓極化軌跡的大小隨入射角增加而減小，在異常入射角處，非均勻折射P波的橢圓極化軌跡突然增大，在過(guò)異常入射角區(qū)域θ0∈(θ0A，90°)，極化軌跡也是隨著入射角的增大而

圖3　界面模型2的非均勻折射P波的極化狀態(tài)

(a)橢圓極化軌跡的左旋偏振和右旋偏振； (b)橢圓極化軌跡投影到Wx,2-Wz,2平面上； (c)在坐標(biāo)原點(diǎn)處的橢圓極化旋轉(zhuǎn)的初始狀態(tài)減小。圖3b為不同入射角得到的橢圓極化軌跡在Wx,2-Wz,2平面上的投影，可以看出，在小于異常入射角區(qū)域非均勻折射P波為左旋橢圓極化波，在大于異常入射角區(qū)域非均勻折射P波為右旋橢圓極化波。從圖3c可以看出，非均勻折射P波的橢圓極化旋轉(zhuǎn)初始角(絕對(duì)值)隨入射角的增大而增大，當(dāng)入射角向異常入射角的方向增大時(shí)，橢圓極化旋轉(zhuǎn)初始角接近-90°； 在異常入射角處，橢圓極化旋轉(zhuǎn)初始角(絕對(duì)值)突然減小，其旋轉(zhuǎn)方向發(fā)生改變；在過(guò)異常入射角區(qū)域θ0∈(θ0A，90°)，橢圓極化旋轉(zhuǎn)初始角相對(duì)較小，且變化較為緩慢(圖3c中線段CD)。

4　結(jié)束語(yǔ)

基于兩種真實(shí)的VTI介質(zhì)界面模型，即A頁(yè)巖與T砂巖之間界面以及A頁(yè)巖與O頁(yè)巖之間界面，本文推導(dǎo)了兩種界面模型的非均勻折射P波的橢圓極化方程，分析了在上述兩種界面上產(chǎn)生的非均勻折射P波的極化狀態(tài)。在此基礎(chǔ)上，給出了上述兩種界面產(chǎn)生的非均勻折射P波的三維橢圓極化狀態(tài)圖(Poincaré球)。對(duì)于上述兩種界面模型，其橢圓極化軌跡隨著入射角的增大而減小。

對(duì)于存在異常入射角的VTI介質(zhì)界面(界面模型2)，在異常入射角處，非均勻折射P波橢圓極化不但經(jīng)歷了形狀突變、軌跡銳增和橢圓極化旋轉(zhuǎn)初相角銳減的變化過(guò)程，而且由右旋橢圓極化波突變?yōu)樽笮龣E圓極化波。

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