■浙江省天臺(tái)中學(xué)高二(15)班　何秉烜(指導(dǎo)教師:徐 鳳)

有一類數(shù)列試題,是需要求通項(xiàng)公式的,課本只是在作業(yè)里提了一下,意思是不作高要求。其實(shí),高考中這類題十分重要,經(jīng)?？嫉?。如2014年高考數(shù)學(xué)全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷理科第17題就是一道數(shù)列與不等式的常規(guī)題,該題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列通項(xiàng)公式的求解以及數(shù)列中不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)。原題如下:

原題 已知數(shù)列an{}滿足a1=1,an+1=3an+1。

證明{an+}是等比數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式。

下面進(jìn)行探究。

證法1：(構(gòu)造法) 由an+1=3an+1得

證法3：(歸納猜想法)由已知得:

……

這里的證明用數(shù)學(xué)歸納法就行。

評(píng)析：上述證法1是參考答案提供的原證法,這種證法的第一步“由an+1=3an+1是利用“添項(xiàng)法”完成的,對(duì)一般同學(xué)來說,通常會(huì)遇到兩個(gè)問題:一是為什么要添項(xiàng)?二是添什么項(xiàng)?這兩個(gè)問題容易導(dǎo)致有些同學(xué)思維障礙的形成。雖然在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,老師也講過這種類型的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法,但是,因?yàn)橛行┩瑢W(xué)對(duì)這兩個(gè)問題較難理解,再加上這種“添項(xiàng)法”又具有一定的技巧性,所以這種證法很多同學(xué)容易出錯(cuò)。證法2則緊扣等比數(shù)列的定義,按照求路,利用“代入法”,將條件“an+1=3an+1”代3”變得自然、優(yōu)美,而且貼近我們的思維。因此,證法2優(yōu)于證法1。證法3從求數(shù)列{an+}的通項(xiàng)公式入手,首先想到了歸納猜想法,這種方法是一種習(xí)慣性的常規(guī)思維,符合多數(shù)同學(xué)的實(shí)際,雖然過程復(fù)雜了一些,但卻是可行和有效的。

二、關(guān)于an{　}的通項(xiàng)公式的求法

原題將“求{an}的通項(xiàng)公式”放到了“證明{an+}是等比數(shù)列”之后,這里邊明顯存在著一種暗示,就是先求{an+}的通項(xiàng)公式,然后從中可以得出{an}的通項(xiàng)公式,于是就有:

受證法1的啟發(fā),可得:

解法2：由an+1=3an+1得2an+1=6an+2,兩邊同時(shí)加上1,得:

2an+1+1=6an+3=3(2an+1)。

所以{2an+1}是首項(xiàng)為2a1+1=3,公比為3的等比數(shù)列,于是得2an+1=3×3n-1,整理得

解法3:由已知得:

a1=1,

a2=3a1+1=3+1,

a3=3a2+1=32+3+1,

……

猜想:an=3n-1+3n-2+…+32+3+1。②

將②式右邊求解,得:

評(píng)析：將上述證法3和解法3這兩種歸納猜想法比較可以發(fā)現(xiàn),前者通過歸納猜想法得到①式很容易,但是后者如果將前3項(xiàng)寫成:a1=1,a2=4,a3=13,那么就發(fā)現(xiàn)不了各項(xiàng)之間的規(guī)律,使歸納猜想法陷入困境。相反,解法3正是注意到了這一危險(xiǎn)境地,巧妙地避險(xiǎn)排難,采取將前3項(xiàng)中的各個(gè)加法項(xiàng)擱置起來,使各項(xiàng)之間的規(guī)律性得以充分彰顯,從而讓②式順利浮出水面。