吳玉彬, 張合新, 惠俊軍, 李國梁, 周　鑫, 孫大為

(1. 火箭軍工程大學(xué)控制工程系, 陜西 西安710025; 2.中國人民解放軍96037部隊, 陜西 寶雞 721013; 3. 火箭軍士官學(xué)?；A(chǔ)系, 山東 青州 262500)

0　引　言

現(xiàn)實世界的許多動力學(xué)模型系統(tǒng),例如網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)、過程控制系統(tǒng)以及核反應(yīng)堆控制系統(tǒng)等,在數(shù)據(jù)和物質(zhì)的傳輸過程中,都包含非常明顯的時滯。在眾多的時滯類型中,區(qū)間變時滯更具代表性,它的時滯下界不一定為零,且時滯處于一個變化的區(qū)間內(nèi),常見于化學(xué)反應(yīng)器、內(nèi)燃機和網(wǎng)絡(luò)控制等工程實際應(yīng)用中。因而近年來,區(qū)間變時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析[1-30]成為熱門的研究領(lǐng)域。

對于區(qū)間時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,最常見的方法是采用基于時域內(nèi)直接構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函(Lyapunov-Krasovskii function, LKF)并結(jié)合線性矩陣不等式(linear matrix inequality, LMI)對其穩(wěn)定性進(jìn)行分析。在此框架下,如何降低所得結(jié)論的保守性便成為普遍關(guān)注的熱點問題。就分析方法而言,有增廣泛函法、自由權(quán)矩陣方法和時滯分割方法等。這些方法的共同點在于能充分利用系統(tǒng)的時滯信息,有效降低結(jié)論的保守性。但是隨著矩陣變量的過多引入及分割數(shù)目的不斷增加勢必給理論分析和工程計算帶來負(fù)擔(dān);于是,具有形式簡單、含矩陣變量少的積分不等式界定技術(shù)作為新穎的分析方法逐漸給時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析帶來了推動作用。例如,文獻(xiàn)[2]最早把Jensen’s不等式引入到時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中,隨后文獻(xiàn)[9-11]對Jensen’s不等式做了進(jìn)一步推廣,從而得到結(jié)論保守性更低的相關(guān)結(jié)論。

文獻(xiàn)[13-14]通過凸組合技術(shù),獲得時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的新穎方法。文獻(xiàn)[13]采用交互式凸組合技術(shù),給出LMI形式保守性更低的穩(wěn)定性新判據(jù)。同樣，文獻(xiàn)[14]借助于Jensen’s不等式和交互式凸組合技術(shù),推導(dǎo)出非線性時變時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。文獻(xiàn)[21]采用凸組合技術(shù)估計附加時變項,獲得嚴(yán)格約束的非線性時變系數(shù),所得結(jié)論在穩(wěn)定性方面更具優(yōu)越性。

文獻(xiàn)[22]新構(gòu)造的LKF包含三重積分泛函項,優(yōu)化了時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件。文獻(xiàn)[23-24]針對時變時滯的線性系統(tǒng),通過構(gòu)造包含三重積分泛函項的LKF,得到了保守性更低的穩(wěn)定性判據(jù)。文獻(xiàn)[25]構(gòu)造了包含時變時滯信息的新LKF,基于新的積分不等式界定技術(shù)得到了區(qū)間時變時滯系統(tǒng)的時滯相關(guān)魯棒穩(wěn)定性判據(jù)。文獻(xiàn)[29]通過構(gòu)造時滯分割LKF,避開凸組合技術(shù)和自由權(quán)矩陣方法,僅僅采取更嚴(yán)格的界定不等式條件,給出了區(qū)間時變時滯離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。文獻(xiàn)[30]研究了一類不確定T-S模糊區(qū)間時變時滯系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性,通過構(gòu)造包含時滯分割特性的適當(dāng)LKF,借助于更緊密界定技術(shù)的積分不等式處理交叉項,最后用數(shù)例證明了給出的穩(wěn)定性條件在計算效率上具有更小的保守性。

本文針對一類區(qū)間變時滯不確定系統(tǒng),提出形式簡單、保守性更低的魯棒穩(wěn)定判據(jù)。該判據(jù)采用新型的時滯分割法,把時滯區(qū)間分成不均勻的兩個分割區(qū)間,針對每一分割區(qū)間構(gòu)造新的LKF,并采用積分不等式和交互式凸組合技術(shù)給出不包含任何多余參量的LMI形式結(jié)論。不同于以往方法,①在構(gòu)造LKF時加入包含更多時滯信息的四重積分項和增廣泛函項;②在處理泛函導(dǎo)數(shù)的交叉項時,在未忽略有用項的前提下,利用縮放程度更小的積分不等式進(jìn)行界定,有利于降低結(jié)論的保守性;③采用交互式凸組合技術(shù)推導(dǎo)出保守性更低的穩(wěn)定性判據(jù)。最后的數(shù)值仿真對比驗證了本文所提判據(jù)的有效性與優(yōu)越性。

1　問題描述

考慮線性區(qū)間變時滯不確定系統(tǒng)

(1)

式中,x(t)∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)向量;A和B為適當(dāng)維數(shù)的系統(tǒng)矩陣;h(t)為系統(tǒng)狀態(tài)時變時滯且滿足:0≤hm≤h(t)≤hM,ΔA(t)和ΔB(t)為具有范數(shù)有界不確定性的時變結(jié)構(gòu)未知矩陣且滿足

(2)

式中,D、Ea和Eb為適當(dāng)維數(shù)的已知矩陣;F(t)是具有可測元的不確定矩陣,且滿足

F(t)TF(t)≤I,?t.

(3)

當(dāng)F(t)=0時,系統(tǒng)(1)變?yōu)闃?biāo)稱系統(tǒng)(4)。

為證明方便,現(xiàn)將需用到的引理歸納如下。

引理2[22]假定任意的矩陣M=MT>0,標(biāo)量和向量函數(shù)x(t):[0,h]→Rn,則有不等式成立，即

其中

2　主要結(jié)論

本小節(jié)分兩步討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性,首先給出標(biāo)稱系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù),其次分析區(qū)間變時滯不確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。

系統(tǒng)(1)的標(biāo)稱系統(tǒng)為

(4)

針對系統(tǒng)(4),通過構(gòu)造包含時滯信息增廣項和四重積分項的L-K新泛函,結(jié)合引理1～引理3有如下結(jié)論。

定理1對于給定標(biāo)量hm、hM和λ1、λ2(λ1>λ2),且若存在正定對稱矩陣Pi(i=1,2,3,4,5)、Q1、Q2、U1、U2、Xj、Rj(j=1,2,3,4),使得式(5)成立,則標(biāo)稱系統(tǒng)(4)漸近穩(wěn)定。

Φ=(Φi,j)10×10<0

(5)

其中

Φ13=X2,Φ14=0,Φ15=2P2+hmR2

Φ16=(2-ε)(hM-hm)R4

Φ17=(1+ε)(hM-hm)R4

Φ23=-(α-2)X4,Φ24=(1+α)X4

Φ25=Φ26=Φ27=Φ28=Φ29=Φ210=0

Φ33=Q2-Q1-X2+(α-2)X4

Φ35=-2P2,Φ36=Φ37=2P3

Φ34=Φ38=Φ39=Φ310=0

Φ44=-Q2-(1+α)X4,Φ46=Φ47=-2P3

Φ45=Φ48=Φ49=Φ410=0,Φ55=-X1-R2

Φ56=Φ57=Φ59=Φ510=0,Φ58=-2P4

Φ66=(α-2)X3-(2-ε)R4,Φ67=Φ68=0

Φ69=Φ610=-2P5,Φ77=-(α+1)X3-(1+ε)R4

Φ78=0,Φ79=Φ710=-2P5,Φ88=-R1-U1

Φ89=Φ810=0,Φ99=-(2-ε)R3-U2

Φ910=-U2,Φ1010=(1+ε)R3-U2

證明令hΔ=γhm+(1-γ)hM, 0<γ<1，則有hm

情形1當(dāng)hΔ≤h(t)≤hM時,設(shè)計LKF為

V(x(t))=V1(x(t))+V2(x(t))+

V3(x(t))+V4(x(t))+V5(x(t))

(6)

其中

計算LKFV(x(t))沿系統(tǒng)(4)的導(dǎo)數(shù),即

(7)

其中

xT(t-hΔ)Q2x(t-hΔ)-xT(t-hM)Q2x(t-hM)

由引理1與引理2可得

(8)

(9)

其中,ζ(t)同引理3中hm=hΔ時定義一致。

由引理3可得

(10)

同樣可以得到

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

ζT(t)[αΓ1+(1-α)Γ2+εΓ3+(1-ε)Γ4]ζ(t)

(18)

其中

因為0≤α,ε≤1,根據(jù)凸組合技術(shù),不等式(19)、不等式成立，即

α(Γ1+λ1I)+(1-α)(Γ2+λ1I)<0

(19)

ε(Γ3-λ2I)+(1-ε)(Γ4-λ2I)<0

(20)

即

αΓ1+(1-α)Γ2<-λ1I

(21)

εΓ3+(1-ε)Γ4<λ2I

(22)

由于λ1>λ2,合并式(21)、式(22),可得

αΓ1+(1-α)Γ2+εΓ3+(1-ε)Γ4<(λ2-λ1)I<0

(23)

情形2當(dāng)hm≤h(t)≤hΔ時,設(shè)計LKF為

V0(x(t))=V01(x(t))+V02(x(t))+

V03(x(t))+V04(x(t))+V05(x(t))

(24)

其中

其中

Pi(i=1,2,3,4,5)、Q1、Q2、U1、U2、Xj、Rj(j=1,2,3,4)

同式(8)中所定義的矩陣。利用同樣的方法,可得

εΓ03+(1-ε)Γ04]ζ0(t)

(25)

其中

對式(18)或式(25)應(yīng)用引理3,則其等價于式(5)。

證畢

注2在式(5)中,新的穩(wěn)定性判據(jù)沒有涉及冗余的自由權(quán)矩陣,只是巧妙地采用新穎的積分不等式來界定LKF導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的交叉項,并利用極少數(shù)自由矩陣表示相關(guān)項之間的關(guān)系,因此大大減少了理論推導(dǎo)和計算上的復(fù)雜性,從而降低了結(jié)論的保守性。

注3在式(10)、式(11)和式(14)中,交互式凸組合處理技術(shù)[13,27]作為非傳統(tǒng)方法用來更有效地界定LKF導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的交叉項,可以得到保守性更低的穩(wěn)定性結(jié)論。

定理2對于給定標(biāo)量hm、hM和λ1、λ2(λ1>λ2)、μ,且若存在正定對稱矩陣Pi(i=1,2,3,4,5)、Q1、Q2、Q3、U1、U2、Xj、Rj(j=1,2,3,4),使得LMIs成立，即

(26)

下面針對區(qū)間變時滯不確定系統(tǒng)(1)的魯棒穩(wěn)定性問題進(jìn)行研究。

定理3對于給定標(biāo)量0λ2),若存在正定對稱矩陣Pi(i=1,2,3,4,5)、Q1、Q2、Q3、U1、U2、Xj、Rj(j=1,2,3,4),標(biāo)量?>0和適當(dāng)維數(shù)的自由矩陣T1、T2,使得LMIs成立，即

(27)

則不確定系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定。其中

證明對于不確系統(tǒng)(1),分別以A+ΔA(t),B+ΔB(t)代替式(4)中的A和B,仿照定理1的證明,可得到系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定。

證畢

3　數(shù)值仿真與比較

通過3個具有代表性的數(shù)值例子來比較說明本文方法的優(yōu)越性。利用Matlab的LMI工具箱很容易求得所需要的可行性解。最大允許時延(maximum allowable delay bound, MADB)定義為保證系統(tǒng)穩(wěn)定的最大允許時滯上界值,是比較時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性結(jié)論保守性最普遍的衡量標(biāo)準(zhǔn)。

例1首先考慮區(qū)間變時滯閉環(huán)控制系統(tǒng)為

針對不同的時滯下界hm,根據(jù)式(26)和式(5),分別從時滯變化率μ=0.3和時滯變化率μ取任意值兩個角度,仿真給出相應(yīng)的MADB值即hM如表1和表2所示。

表1　例1中針對不同的時滯下界,不同方法仿真給出的MADB值

表2　例1中當(dāng)時滯變化率未知時,不同方法仿真給出的MADB值

由表1和表2可知，本文提出的方法明顯優(yōu)于已有文獻(xiàn)的結(jié)論。

例2考慮區(qū)間變時滯不確定系統(tǒng)，即

式中,δ1,δ2,δ3和δ4為未知參數(shù),滿足:|δ1|≤1.6,|δ2|≤0.05,|δ3|≤0.1,|δ4|≤0.3。

針對不同的時滯下界hm,根據(jù)式(26),仿真給出相應(yīng)的MADB值即hM如表3所示。

表3　例2中針對不同的時滯下界,不同方法仿真給出的MADB值

由表3的比較結(jié)果可知,對于本例而言,本文方法改善了現(xiàn)有文獻(xiàn)[5,9,16,25]的結(jié)論。

例3考慮另一區(qū)間變時滯不確定系統(tǒng),其系統(tǒng)參數(shù)為

根據(jù)式(27),針對不同的時滯下界hm,當(dāng)時滯變化率未知時,仿真給出相應(yīng)的MADB值即hM如表4所示。

表4　例3中針對不同的時滯下界,不同方法仿真給出的MADB值

由表4可知,本文所提出的穩(wěn)定性判據(jù)擴大了保證系統(tǒng)穩(wěn)定的最大允許時滯上界范圍,具有更低的保守性。

4　結(jié)　論

針對一類區(qū)間變時滯不確定系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題進(jìn)行了分析研究?；谛滦偷姆蔷鶆驎r滯分割法,通過構(gòu)造包含四重積分增廣泛函項的新LKF,提出了基于LMI的穩(wěn)定性新判據(jù)。為了提高計算效率并簡化結(jié)論,該判據(jù)避免使用模型變換與自由權(quán)矩陣界定技術(shù),取而代之的是采用具有更緊密界定技術(shù)的積分不等式和交互式凸組合技術(shù),從而充分利用了時滯下界信息,獲得了保守性更低的結(jié)論。最后,數(shù)值仿真證明了所得判據(jù)相比較已有文獻(xiàn)中的方法,擴大了系統(tǒng)穩(wěn)定所允許的最大時滯上界范圍,更具優(yōu)越性與競爭性。

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