楊瑞敏，丁建文，章振寧，吳偉東(.安徽科技學院建筑學院，安徽 滁州　3300； .東南大學巖土工程研究所，江蘇 南京　0096)

天然沉積軟黏土具有非均質、多孔等結構性特征。沈珠江等[1-6]認為必須考慮土體變形中結構的破壞，建立結構性土模型是當代土力學的核心問題，為此一種新的巖土力學分析理論——巖土破損力學被提出。巖土破損力學[3-9]是一種基于準連續(xù)介質進行宏觀分析的力學理論，研究對象為破碎嚴重的巖體和結構性土體。結構性巖土體被抽象為由膠結元與摩擦元組成的二元介質，加載過程中膠結元逐步破損，并向摩擦元轉化。沈珠江[4]基于非均勻材料的均勻化理論，推導出變形協調條件下巖土二元介質的破損力學方程。而巖土二元介質中，膠結元與摩擦元不僅變形是協調的，應力也是連續(xù)的。復雜應力狀態(tài)下二元介質破損規(guī)律的研究是巖土破損力學研究的熱點問題?？紤]膠結元與摩擦元的應力連續(xù)性條件探討二元介質的破損規(guī)律是破損力學的一個重要補充。在破損力學的理論框架下，本文將結構性巖土體抽象為由膠結元和摩擦元組成的二元介質，基于Voigt和Reuss模型分別導出滿足變形協調和應力連續(xù)條件的張量形式的巖土破損力學本構方程，探討三軸復雜應力狀態(tài)下巖土二元介質的破損規(guī)律、荷載及變形分擔情況。

1　基于Voigt模型的巖土二元介質本構關系

巖土體類似于復合材料，可借用復合材料的均勻化理論進行分析[12-13]。從巖土體中取出一個代表單元，宏觀上無限小，在巖土體中可被當作一個點，微觀上無限大，包含巖土體的所有力學與幾何統(tǒng)計信息。設代表單元的體積為V，膠結元與摩擦元的體積分別為VI和VF，則膠結元和摩擦元的平均應力與應變可定義為：

令λ=VF/V，為體積破損率，則二元介質的平均應力與平均應變?yōu)椋?/p>

其中C為局部化應變張量。

將式(5)代入式(4)可得

膠結元、摩擦元的平均應力、應變滿足如下關系：

其中DI、DF分別為膠結元與摩擦元的彈性剛度張量。

將式(5)、(6)代入式(7)得：

將式(8)、(9)代入式(3)可得

其中B=I-(1-λ)C為破損張量。將式(11)代入式(10)可得

式(13)為應力張量表示的巖土破損力學本構方程，破損張量B是與體積破損率、局部化應變張量有關的內變量，稱為應力分擔率張量。σI、σF分別為膠結元和摩擦元中任意一點的應力張量。

由式(11)可得應力分擔率張量

2　基于Reuss模型的巖土二元介質本構關系

將式(15)代入式(3)可得

其中SI、SF為膠結元與摩擦元的柔度張量。

由式(18)可得變形分擔率張量：

3　討　論

第1節(jié)中基于Voigt模型推導出以剛度張量表示的巖土二元介質破損力學本構方程和應力分擔率張量B。若將局部化應變張量C退化為標量形式c，則B=I-(1-λ)C可退化為標量形式b=1-(1-λ)c。單向壓縮時，式(14)可退化為：

式中E、EI、EF分別為二元介質、膠結元和摩擦元的彈性模量。純剪切時，式(14)可退化為

式中μ、μI、μF分別為二元介質、膠結元及摩擦元的剪切模量。

對于各向同性材料，當ν=νI=νF時有[4]

式(11)可退化為[4]

式(10)可退化為[4]

當ν≠νI≠νF時，bE≠bμ，此時式(24)為

式(28)中ν、νI、νF分別為二元介質、膠結元及摩擦元的泊松比。

對于正交各向異性材料，分別在3個主方向(j=1,2,3)上進行單向壓縮時，則式(14)可退化為

純剪切時，式(14)可退化為

式(29)、(30)中Ej、EIj、EFj與μjk、μIjk、μFjk，k=1,2,3,j=1,2,3,j≠k分別為二元介質、膠結元和摩擦元的3個主方向進行單向壓縮的彈性模量和純剪切的剪切模量。

式(25)—(27)與沈珠江等推導的結果[1-9]是一致的，但沈珠江等的結果僅滿足膠結元與摩擦元變形協調條件，且?guī)r土破損力學基本方程為標量形式，沒有考慮膠結元與摩擦元應力的連續(xù)性，不能直接用于實際復雜應力狀態(tài)巖土實際邊值問題的有限元計算。

純剪切時，式(22)可退化為

對于各向同性材料，當ν=νI=νF時可得

式(18)可退化為

式(19)可退化為

對于正交各向異性材料，分別在3個主方向(j=1,2,3)上進行單向壓縮時，有

純剪切時，有

式(37)、(38)中下標j=1,2,3,k=1,2,3,j≠k。

Reuss模型滿足膠結元與摩擦元應力的連續(xù)性條件，但沒有考慮變形的協調性。實際的巖土二元介質中，膠結元與摩擦元不僅需要滿足變形協調條件，而且還要滿足應力連續(xù)性條件，要得到一個能同時考慮膠結元與摩擦元變形協調和應力連續(xù)性的嚴格意義的巖土二元介質本構關系幾乎不可能。Hill[14-15]、Budinansky等[16]利用自洽法可使二元介質中膠結元與摩擦元的變形協調和應力連續(xù)性條件在弱形式下得到滿足。本文推導的巖土破損力學本構方程，可為結構性巖土體實際邊值問題的有限元計算提供理論依據，同時為進一步研究實際復雜應力狀態(tài)下各向異性巖土體的破壞機制提供有效的途徑。

4　算例分析

假定膠結元為各向同性、理想脆彈性體，彈性模量與泊松比分別為EI、νI(均為常量)；摩擦元的彈性模量與泊松比分別為EF、νF(均為變量)。摩擦元的彈性模量隨著圍壓的增加而增加，即

EF=kFσ3。

(39)

其中：kF為比例系數；σ3為周圍壓力。

摩擦元的泊松比與應力水平有關，且隨著應力水平s的增加而增加[17]，即

νF=νFi+(νFf-νFi)s。

(40)

其中：DF、FF為試驗參數；Pa為大氣壓力，取Pa=105Pa。

Viogt模型[10]認為：膠結元與摩擦元并聯，二元介質表現為脆彈性，彈性模量與泊松比分別為E、ν；Ruess模型認為[11]：膠結元與摩擦元串聯，二元介質表現為線性硬化。二元介質的彈性模量滿足

E=kσ3。

(42)

其中：k為比例系數；σ3為周圍壓力。巖土二元介質的泊松比滿足

ν=νi+(νf-νi)s。

(43)

其中：νf為破壞時的切線泊松比，可取νf=0.49；νi為初始切線泊松比，可由下式確定：

其中G、F為試驗參數。

膠結元為各向同性材料時，彈性剛度張量DI與柔度張量SI可分別由下式計算：

(DI)ijkl=λIδijδkl+μI(δikδjl+δilδjk)。

(45)

(46)

式(45)、(46)中：λI、μI為拉梅常數；δij為Kronecker符號。拉梅常數與彈性模量、泊松比滿足如下關系：

已知膠結元和二元介質的彈性模量、泊松比分別為EI=8 200 kPa，E=4 600 kPa，νI=0.22，ν=0.26，式(41)中參數GF=0.36，FF=0.6，(ν1-ν3)f=600 kPa。令kF=10，則摩擦元的彈性模量為EF=10ν3，利用Maple軟件計算可得應力分擔率張量B的非零分量：Biiii,Biijj,Bijij，i≠j，i,j=1,2,3的演化規(guī)律如圖1—3所示，而其他分量均為0。

圖1　不同σ3下Biiii與s關系曲線

由圖1可知，在圍壓σ3一定時，Biiii,i=1,2,3隨著應力水平s的增大而增大，當應力水平s一定時，Biiii均隨著圍壓σ3的增大而增大，表明在3個主應力方向膠結元均逐步破損，在抵抗軸向壓力中發(fā)揮的作用逐漸減小。由圖2可知，在圍壓σ3一定時，Biijj,i≠j,i,j=1,2,3隨著應力水平s的增大而增大，當s=0時Biijj為負數，是由于在某一主應力(如大主應力σ1)方向施加主壓應力會在其他2個主應力(如σ2,σ3)方向上產生拉應力；但是隨著大主應力方向應力水平s的增大，σ2、σ3方向上膠結元由受拉狀態(tài)轉化為受壓狀態(tài)，并逐漸破損。應力水平s一定時，隨著圍壓σ3的增大，Biijj,i≠j,i,j=1,2,3逐步減小。由圖3可知，圍壓σ3一定時，隨著應力水s的增大，Bijij,i≠j,i,j=1,2,3逐步減小，表明膠結元在抵抗剪切力中發(fā)揮的作用逐漸增大；當應力水平s一定時，隨著圍壓的增大，Bijij,i≠j,i,j=1,2,3逐步增大，表明膠結元在抵抗剪切力中發(fā)揮的作用逐漸減小。

圖2　不同σ3下Biijj與s關系曲線

圖3　不同σ3下Bijij與s關系曲線

圖4　不同σ3下與s關系曲線

圖5　不同σ3下與s關系曲線

圖6　不同σ3下與s關系曲線

5　結　論

基于Voigt和Reuss模型推導出巖土二元介質破損參數為張量形式的破損力學方程，得到如下結論：

1)巖土二元介質的破損行為與膠結元、摩擦元的物理力學特性、圍壓和應力水平有關。

2)應力分擔率Biiii隨應力水平s和圍壓σ3的增大而增大，表明在主應力方向由于膠結元的破損，在抵抗軸向壓力中發(fā)揮的作用逐漸減小。

3)應力分擔率Biijj在s=0時為負值，隨應力水平s的增大而增大，當s>0.6后逐漸變?yōu)檎?，表明隨著大主應力施加，在中、小主應力方向膠結元由受拉轉化為受壓，并逐步破損；Bijij隨應力水平s的變化不大。

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