楊新峰, 單悌磊, 扈勇強(qiáng), 辛　強(qiáng), 王海明

(航天東方紅衛(wèi)星有限公司, 北京 100094)

0　引　言

航天器及其組件在發(fā)射及地面運(yùn)輸中要經(jīng)受包括隨機(jī)振動在內(nèi)的復(fù)雜力學(xué)環(huán)境[1]。因此，其結(jié)構(gòu)設(shè)計要考慮隨機(jī)振動相關(guān)的載荷。 當(dāng)前，隨機(jī)振動環(huán)境下的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度設(shè)計載荷依據(jù)主要是由隨機(jī)振動等效而來的準(zhǔn)靜態(tài)加速度載荷。隨機(jī)振動的等效準(zhǔn)靜態(tài)加速度載荷計算方法有多種[2-3]，大致可以分為兩大類，一類是基于隨機(jī)振動響應(yīng)譜計算得到的準(zhǔn)靜態(tài)加速度載荷，一類是基于隨機(jī)振動輸入譜計算得到的準(zhǔn)靜態(tài)加速度載荷。

使用隨機(jī)振動輸入譜計算準(zhǔn)靜態(tài)載荷的方法則主要有試驗(yàn)規(guī)范法、Miles方法、模態(tài)質(zhì)量參與法等。試驗(yàn)規(guī)范法是直接使用隨機(jī)振動激勵條件的總均方根加速度乘以3.0(即隨機(jī)中3σ準(zhǔn)則)作為準(zhǔn)靜態(tài)加速度，此方法理論上適用于剛體(即沒有響應(yīng)放大)，對于一般結(jié)構(gòu)其計算結(jié)果十分保守。Miles方法[7]是基于均勻加速度輸入譜下單自由度振動系統(tǒng)推導(dǎo)的，因此，Miles方法主要針對單一主模態(tài)結(jié)構(gòu)，它根據(jù)隨機(jī)振動加速度輸入譜、結(jié)構(gòu)的固有頻率及阻尼三個參數(shù)計算出隨機(jī)振動等效準(zhǔn)靜態(tài)加速度。Miles方法不能直接用于多模態(tài)結(jié)構(gòu)，為了考慮一般結(jié)構(gòu)的多模態(tài)特性，在Miles方法的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生了模態(tài)質(zhì)量參與法，這種方法把每個模態(tài)的Miles算法的結(jié)果按模態(tài)質(zhì)量參與的比例求和?？梢钥吹?模態(tài)質(zhì)量參與法是計算多模態(tài)結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動準(zhǔn)靜態(tài)載荷的主要方法。然而，經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，目前的模態(tài)質(zhì)量參與法并不是全面的方法，它忽略了模態(tài)質(zhì)量耦合項的影響，這對于多模態(tài)結(jié)構(gòu)中存在密集模態(tài)等情況時計算結(jié)果誤差較大，無法適用。為此本文基于多自由度振動方程分析給出復(fù)雜模態(tài)結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)靜態(tài)加速度計算的完整形式，并針對密集模態(tài)狀態(tài)給出計算準(zhǔn)靜態(tài)加速度的簡便公式。

1　基于輸入譜的隨機(jī)振動準(zhǔn)靜態(tài)載荷基本理論

對于受隨機(jī)振動激勵的單自由度系統(tǒng)，準(zhǔn)靜態(tài)加速度載荷計算為如下Miles公式[7]：

(1)

對于多自由度系統(tǒng)或多模態(tài)結(jié)構(gòu)，各模態(tài)對準(zhǔn)靜態(tài)載荷都有貢獻(xiàn)，但由于隨機(jī)振動總能量在各個模態(tài)上分散了，往往最終隨機(jī)振動的準(zhǔn)靜態(tài)載荷變小。Wijker[8]認(rèn)為多自由度系統(tǒng)振動方程可以利用正交模態(tài)變換為模態(tài)坐標(biāo)上的一組單自由度振動方程，每個單自由度的準(zhǔn)靜態(tài)加速度可由Miles方法得到，而總的準(zhǔn)靜態(tài)加速度由每個模態(tài)的準(zhǔn)靜態(tài)加速度乘模態(tài)質(zhì)量比之后求和，這即是當(dāng)前的模態(tài)質(zhì)量參與法：

(2)

模態(tài)質(zhì)量參與法把模態(tài)坐標(biāo)上的各準(zhǔn)靜態(tài)加速度按模態(tài)質(zhì)量比直接相加，實(shí)際上并沒考慮全面的參與項，一些項被忽略了，最終計算結(jié)果的正確性或精度也取決于所忽略項的大小，下面推導(dǎo)隨機(jī)振動準(zhǔn)靜態(tài)載荷基于模態(tài)質(zhì)量參與法計算的完全形式，并針對密集模態(tài)情況進(jìn)行分析，給出密集模態(tài)的簡單計算公式。

2　隨機(jī)振動準(zhǔn)靜態(tài)載荷計算的完全模態(tài)質(zhì)量參與法

(3)

式中M,C,K分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，而λ=[1 2 …n]T,n為系統(tǒng)自由度。

設(shè)z=x-λu，那么式(3)可表示為：

(4)

式(4)的振動方程的正交模態(tài)矩陣記為Φ，根據(jù)模態(tài)理論，存在模態(tài)坐標(biāo)變量q，有z=Φq。那么，式(4)可以經(jīng)過模態(tài)變換解耦為多個單自由度振動方程：

(5)

(6)

對上式兩邊進(jìn)行傅里葉變換得到：

那么有：

(7)

系統(tǒng)中與基礎(chǔ)相連的單元剛度記為kn，相對于基礎(chǔ)的位移記為zn，那么knzn為系統(tǒng)作用于基礎(chǔ)的力，即基礎(chǔ)傳遞給系統(tǒng)的力?？梢则?yàn)證knzn為矩陣Kz的各行相加之結(jié)果，因此作用于基礎(chǔ)的力為：

(8)

用模態(tài)坐標(biāo)表示則有：

f=λTKΦq

(9)

根據(jù)模態(tài)理論[10]，ΦTKΦ=Ω,ΦTMΦ=I，其中I為單位矩陣，

那么，

KΦ=(ΦT)-1Ω=MΦΩ

(10)

把式(10)代入式(9)中得到：

f=λTMΦΩq

(11)

由于eT=λTMΦ，則式(11)變?yōu)?/p>

根據(jù)隨機(jī)譜理論[8,11]，f的功率譜為

(12)

把式(7)代入式(12)，得到：

(i≠j)

(13)

(14)

力f的總均方和為：

(15)

Gf除以系統(tǒng)總質(zhì)量Mg的平方即為準(zhǔn)靜態(tài)加速度均方和：

(i≠j)

(16)

上式中第一項即為式(2)所示的模態(tài)質(zhì)量參與法的結(jié)果，因?yàn)楦鶕?jù)Miles公式有

式(16)其它項為模態(tài)耦合項，是目前模態(tài)質(zhì)量參與法沒有的?？梢娛?16)包含各階模態(tài)質(zhì)量的貢獻(xiàn)以及耦合模態(tài)質(zhì)量的貢獻(xiàn)，是完全的模態(tài)質(zhì)量參與形式。

式(16)中耦合項積分有定值[12]，可以寫成下列形式

其中

那么，基于完全模態(tài)質(zhì)量參與的準(zhǔn)靜態(tài)加速度均方和可以進(jìn)一步寫成

(17)

式(17)是另一種形式的完全模態(tài)質(zhì)量參與法。第一項為單獨(dú)模態(tài)質(zhì)量參與項，第二項為不同模態(tài)質(zhì)量耦合參與項。

3　模態(tài)質(zhì)量耦合對隨機(jī)振動準(zhǔn)靜態(tài)加速度的影響

在完全模態(tài)質(zhì)量參與法中，模態(tài)耦合項表現(xiàn)為模態(tài)質(zhì)量比的耦合以及頻率響應(yīng)函數(shù)的耦合。根據(jù)文獻(xiàn)[12]，當(dāng)系統(tǒng)固有頻率隔離比較大或比較稀疏時，不同頻率響應(yīng)函數(shù)耦合的積分結(jié)果很小可以忽略，當(dāng)系統(tǒng)固有頻率比較接近或比較密集時，不同頻率響應(yīng)函數(shù)耦合的積分結(jié)果將具有較大的值，不可忽略。因此，模態(tài)質(zhì)量參與法式(2)只是適用于稀疏模態(tài)的結(jié)構(gòu)。

令α為兩個模態(tài)的耦合項與非耦合項之比，λ為兩個模態(tài)的模態(tài)質(zhì)量比之比，則

(18)

式中，r為兩模態(tài)頻率之比，用以表示兩模態(tài)密集程度 ，r=1表示兩模態(tài)完全接近。λ表示兩階模態(tài)的模態(tài)質(zhì)量之比，對于式(18)來說，λ大于1和λ小于1所表述的特性相同。對于一般結(jié)構(gòu)低階模態(tài)質(zhì)量大于高階模態(tài)質(zhì)量，即λ≥1，因此這里以λ≥1來分析特性。對于不同λ值，α隨r的變化曲線見圖1。α值表示模態(tài)質(zhì)量耦合影響大小，α越大表示模態(tài)質(zhì)量耦合項占比越大。 計算中阻尼ξ取0.05。

圖1　模態(tài)質(zhì)量耦合項影響隨頻率比和模態(tài)質(zhì)量比改變的變化曲線Fig.1　Variationof effects of modal mass coupling by changing frequency ratio and modal mass ratio

從圖1可以看到λ=1時，當(dāng)r≤0.75,α則小于0.1，即當(dāng)固有頻率之比小于0.75，模態(tài)耦質(zhì)量合項的值會較小，小于非耦合項的10%，但當(dāng)兩個頻率接近時(即r=1)，模態(tài)質(zhì)量耦合項的值與非耦合項相當(dāng)(α=1)，如果忽略模態(tài)質(zhì)量耦合項，準(zhǔn)靜態(tài)加速度均方和的誤差將達(dá)到約100%，準(zhǔn)靜態(tài)加速度均方根的誤差約41.4%。λ變大后，耦合項的作用減小，但在當(dāng)兩個頻率接近處，仍占相當(dāng)?shù)谋壤?，如λ?及r接近于1時，模態(tài)質(zhì)量耦合項的值與非耦合項值之比約0.6。因此，固有頻率接近時，即密集模態(tài)存在時，耦合項的模態(tài)質(zhì)量對準(zhǔn)靜態(tài)加速度載荷的貢獻(xiàn)不可忽略。

圖2　忽略模態(tài)質(zhì)量耦合導(dǎo)致5%準(zhǔn)靜態(tài)載荷誤差的分界曲線Fig.2　Demarcation curve of 5% quasi-static load computation error due to omitting modal mass coupling

準(zhǔn)靜態(tài)加速度均方和的誤差10%將產(chǎn)生約5%的準(zhǔn)靜態(tài)加速度均方根的誤差，即5%的力均方根的誤差，以此誤差為控制條件(即α=0.1)，得到5%誤差條件曲線如圖2所示。根據(jù)圖2，當(dāng)r和λ取值在曲線的左邊區(qū)域，那么忽略模態(tài)質(zhì)量耦合項所產(chǎn)生的準(zhǔn)靜態(tài)加速度誤差低于5%，因此對最終隨機(jī)振動準(zhǔn)靜態(tài)加速度結(jié)果影響不大，而當(dāng)r和λ的值落在圖2曲線的右側(cè)區(qū)域，忽略模態(tài)質(zhì)量耦合項所產(chǎn)生的準(zhǔn)靜態(tài)加速度誤差大于5%，則模態(tài)質(zhì)量耦合項不可忽略?？梢钥吹?，當(dāng)r<0.743，不論兩階模態(tài)質(zhì)量之比如何，忽略模態(tài)質(zhì)量耦合項的所產(chǎn)生的誤差都較小，即準(zhǔn)靜態(tài)加速度計算結(jié)果誤差小于5%，這也就是說，只要兩模態(tài)頻率之比小于0.743，則可以不考慮模態(tài)質(zhì)量耦合項，使用公式(2)計算準(zhǔn)靜態(tài)加速度載荷也有足夠的精度。同時也看到，兩階模態(tài)質(zhì)量之比λ≥20時，不論兩階頻率之比如何，模態(tài)質(zhì)量耦合項的貢獻(xiàn)也不大，可以忽略。需要說明的是這里參與計算的模態(tài)是指結(jié)構(gòu)的主要模態(tài)，如一般結(jié)構(gòu)的一、二階主模態(tài)。圖2展示的是兩階模態(tài)的情況。因?yàn)橐话憬Y(jié)構(gòu)也是前兩階模態(tài)為主要模態(tài)，其他模態(tài)所占比重較小而在準(zhǔn)靜態(tài)載荷計算中一般可以忽略，以兩階模態(tài)進(jìn)行分析模態(tài)質(zhì)量耦合影響具有代表性。對于一般結(jié)構(gòu)，越高階的模態(tài)質(zhì)量，一般其值越小，高階模態(tài)質(zhì)量耦合影響更小，因此，多階模態(tài)按兩階模態(tài)分析得到的耦合項影響一般也是最大情況，可以覆蓋多階模態(tài)的誤差。

4　密集模態(tài)的隨機(jī)振動準(zhǔn)靜態(tài)載荷簡便計算方法

式(16)中頻率響應(yīng)函數(shù)的耦合項可展開寫為

(19)

兩個模態(tài)密集或接近時，ωi=ωj，上式可以簡化為

2|Hi(ω)||Hj(ω)|

(20)

那么，根據(jù)式(16),兩個接近模態(tài)(第i階模態(tài)和第j階模態(tài))的隨機(jī)振動準(zhǔn)靜態(tài)加速度為

|Hj(ω)|]dω

(21)

由于兩個頻率接近，頻率響應(yīng)函數(shù)在全頻段積分值比較接近，可以兩個頻率的平均值ωm來表示。式(21)可以表示為

(22)

ωm=(ωi+ωj)/2,上式積分進(jìn)而可以用Miles 公式的形式表示為

(23)

為了比較式(23)和精確計算式(17)的計算誤差，把式(23)和式(17)右側(cè)相減并除以式(17)右側(cè)得到準(zhǔn)靜態(tài)加速度均方和誤差ε。簡化后即為

(24)

式(24)表示兩個模態(tài)情況下用精確式和簡便式計算的相對誤差。

兩個模態(tài)情況下，對于不同模態(tài)質(zhì)量比λ，ε隨模態(tài)頻率比r的變化曲線見圖3。

圖3　密集模態(tài)的簡便計算公式的誤差Fig.3　The computation error of the simplified method for dense modes

可以看到隨著模態(tài)頻率比r增大，式(23)計算誤差減小。對于λ=1，當(dāng)r≥0.95，準(zhǔn)靜態(tài)加速度均方和誤差將小于10%，也即準(zhǔn)靜態(tài)加速度均方根誤差小于5%。模態(tài)質(zhì)量比λ增大后，相同的模態(tài)頻率比r所對應(yīng)的計算誤差進(jìn)一步減小，但差別不顯著。因此，可以r≥0.95作為式(23)的計算條件，即式(23)適用于r≥0.95的密集模態(tài)的準(zhǔn)靜態(tài)加速度計算。r<0.95時，隨機(jī)振動的準(zhǔn)靜態(tài)加速度計算則需要利用式(16)或式(17)。

一般情況下，稀疏模態(tài)和密集模態(tài)可能會同時存在，則需要把稀疏模態(tài)的加速度平方與密集模態(tài)的加速度平方相加。因此，包含稀疏模態(tài)和密集模態(tài)的準(zhǔn)靜態(tài)加速度均方根為

aquasi=

(25)

考慮3σ準(zhǔn)則的最大準(zhǔn)靜態(tài)加速度載荷則為

aquasi-max=

(26)

5　密集模態(tài)的隨機(jī)振動準(zhǔn)靜態(tài)載荷算例

兩個矩形薄板的四角由四根梁連接而形成的結(jié)構(gòu)在四根梁的根部受S=0.01g2/Hz的隨機(jī)振動加速度譜激勵(激勵方向?yàn)榇怪卑迕妫碯向)，激勵頻段范圍為1～2000 Hz。板的尺寸為1×1 m2，板間距0.01 m，兩板的厚度分別為3 mm和3.1 mm，梁的截面尺寸為0.01×0.01 m2。板與梁的材料為鋁合金，總質(zhì)量約16.5 kg。結(jié)構(gòu)的有限元模型見圖4所示。

圖4　結(jié)構(gòu)的有限元模型Fig.4　Finite element model of the structure

通過有限元模態(tài)分析得到結(jié)構(gòu)的Z向前6階固有頻率和模態(tài)質(zhì)量比，如表1所示。表中數(shù)據(jù)顯示上述結(jié)構(gòu)具有密集模態(tài)。

表1　結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性Table 1　Modal results for the structure

從表1看到1階、2階模態(tài)是比較接近的模態(tài)(頻率比f1/f2=0.971)，3階、4階以及5階、6階也是接近的模態(tài)(f3/f4=0.969，f5/f6=0.970)，也即有3個密集模態(tài)對，但3個密集模態(tài)對之間頻率間隔較遠(yuǎn)，因此，依據(jù)式(25)，3個密集模態(tài)對可分別按密集模態(tài)計算準(zhǔn)靜態(tài)加速度均方和，然后相加得到總準(zhǔn)靜態(tài)加速度均方和，最后開根號得到準(zhǔn)靜態(tài)加速度均方根。由式(25)計算得到準(zhǔn)靜態(tài)加速度均方根(取Q=10)為9.87g，乘以總質(zhì)量換算為準(zhǔn)靜態(tài)力均方根為162.8N。由于本例前兩階模態(tài)質(zhì)量比占結(jié)構(gòu)的主要部分，其它模態(tài)占比較小以致可以忽略，因此，只用前兩階模態(tài)計算也可到達(dá)較精確結(jié)果。為驗(yàn)證方法，這里仍使用6階模態(tài)進(jìn)行計算。

由于結(jié)構(gòu)簡單，基于有限元的隨機(jī)振動分析也可得到比較精確的四個角支反力功率譜曲線如圖5。分析中，在四根梁的根部輸入S=0.01g2/Hz的隨機(jī)振動加速度譜，阻尼取為0.05。由圖5可知一個角的支反力均方根為40.35 N，總的支反力均方根為161.4 N。與式(25)計算結(jié)果一致。

圖5　隨機(jī)振動激勵下結(jié)構(gòu)一個支撐點(diǎn)的支反力功率譜Fig.5　Reaction force power spectrum at one corner of the structure under random vibration excitation

式(25)計算結(jié)果、有限元計算結(jié)果以及模態(tài)質(zhì)量參與法計算結(jié)果的比較見表2所示。可以看到計算密集模態(tài)的計算結(jié)果與仿真分析結(jié)果接近。而模態(tài)質(zhì)量參與法計算結(jié)果較小，原因主要是沒有考慮密集模態(tài)的模態(tài)質(zhì)量耦合影響。對主要模態(tài)比較密集的結(jié)構(gòu)，使用模態(tài)質(zhì)量參與法計算隨機(jī)振動準(zhǔn)靜態(tài)加速度或準(zhǔn)靜態(tài)力會導(dǎo)致較大的誤差。

表2　不同計算方法的隨機(jī)振動準(zhǔn)靜態(tài)力比較Table 2　Comparisons of quasi-static loading under random vibration using different calculation methods

6　結(jié)　論

本文利用模態(tài)理論和隨機(jī)譜理論推導(dǎo)得到了改進(jìn)的模態(tài)質(zhì)量參與法，是同時可以考慮模態(tài)質(zhì)量耦合影響的完全模態(tài)質(zhì)量參與法，解決了原模態(tài)質(zhì)量參與法計算密集模態(tài)時準(zhǔn)靜態(tài)載荷結(jié)果誤差較大問題。

以兩階主要模態(tài)為代表進(jìn)行分析，得到模態(tài)質(zhì)量耦合影響與模態(tài)頻率比和模態(tài)質(zhì)量比的關(guān)系，模態(tài)越接近:模態(tài)質(zhì)量耦合對隨機(jī)振動準(zhǔn)靜態(tài)載荷貢獻(xiàn)越大，同時模態(tài)質(zhì)量比越接近也會增加模態(tài)質(zhì)量耦合的影響作用。一般情況下，模態(tài)頻率比小于0.743時或者模態(tài)質(zhì)量比大于20時，模態(tài)質(zhì)量耦合的影響可以忽略，可以看做模態(tài)稀疏情況而使用原模態(tài)質(zhì)量參與法，反之,一般需要考慮模態(tài)質(zhì)量耦合影響，需要使用本文改進(jìn)的模態(tài)質(zhì)量參與法。

針對模態(tài)頻率比大于0.95的密集模態(tài)結(jié)構(gòu)，本文還給出隨機(jī)振動準(zhǔn)靜態(tài)加速度計算的簡便計算公式。文中算例驗(yàn)證了所給方法的正確性。

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