王紅雁

【摘 要】控制系統(tǒng)的建立，往往先要建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，而建立數(shù)學(xué)模型往往涉及到許多數(shù)學(xué)簡化算法?？刂普撌敲绹鴶?shù)學(xué)家諾伯特·維納創(chuàng)立的一個數(shù)學(xué)理論，它最初以數(shù)學(xué)模型為理論的基礎(chǔ)，后來逐漸滲透到各種系統(tǒng)之中，本文對數(shù)學(xué)上的控制理論進(jìn)行簡單的探討。

【關(guān)鍵詞】連續(xù)時間；動態(tài)系統(tǒng)；數(shù)學(xué)模型；控制理論

中圖分類號： O231.3 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）31-0136-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.31.066

【Abstract】The establishment of control systems often requires the establishment of corresponding mathematical models， and the establishment of mathematical models often involves many mathematical simplification algorithms. Cybernetics is a mathematical theory founded by American mathematician Norbert Wiener. It was originally based on mathematical models and gradually penetrated into various systems. This paper briefly discusses mathematical control theory.

【Key words】Continuous time； Dynamic system； Mathematical model； Control theory

1 控制論

1.1 控制系統(tǒng)

對一個自然的對象，通過一定的影響，是這個對象的行為滿足預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)，或者完成相應(yīng)的任務(wù)。這就叫做控制系統(tǒng)。

控制論是對控制系統(tǒng)建立具有指導(dǎo)意義的操作理論?？刂普摾碚搼?yīng)用非常廣泛，他的觀點(diǎn)都有很好的研究價值，控制論對一系列的研究提供了方向，將被研究對象當(dāng)成整體的可控的系統(tǒng)，對它的信息處理、傳遞、反饋等系統(tǒng)的研究，可以使得被研究的物體或者系統(tǒng)有著出乎意料的收獲。

1.2 控制論簡述

在1947年，美國學(xué)者維納創(chuàng)立控制論數(shù)學(xué)學(xué)科。并于1948年發(fā)表著作《控制論》，他的發(fā)表，給學(xué)術(shù)界造成了極大的震動，一時間，維納家喻戶曉，控制論作為一種偏重于實(shí)際意義的理論，為不少行業(yè)的發(fā)展起了不小的推動作用，20世紀(jì)后期，控制論已經(jīng)慢慢的滲透到，機(jī)械，醫(yī)學(xué)，生物等多個方面，慢慢的控制論也逐漸豐富起來，控制論是一部兼顧理論與應(yīng)用的偉大著作。其大概可以理解為在無人控制的情況下，系統(tǒng)會按照設(shè)定的方向運(yùn)行。從控制論建立以來，其大概經(jīng)歷了兩個不同的階段。古典控制論：通過函數(shù)信息計算，對控制系統(tǒng)的輸入，執(zhí)行，表達(dá)進(jìn)行分析和設(shè)計問題。現(xiàn)代控制論：因?yàn)榭茖W(xué)技術(shù)的發(fā)展，特別是空間科學(xué)的進(jìn)步，控制論開始與空間結(jié)合，基于現(xiàn)代空間的狀況，開始研究可以多個同時輸出，多個同時接受，程序進(jìn)行的更加智能，效率更加高效的控制系統(tǒng)研究開發(fā)。

控制論的誕生是自動控制、電子技術(shù)、計算機(jī)科學(xué)等多個行業(yè)相互結(jié)合的結(jié)果，維納從1919年就已經(jīng)開始存在控制論的模糊思考，二戰(zhàn)期間維納受任自行火炮的研究，在當(dāng)時他就提出了反饋思想，把活動的所有結(jié)果參數(shù)化，同時把導(dǎo)致活動結(jié)果產(chǎn)生關(guān)系函數(shù)的關(guān)系，然后再送回總控制系統(tǒng)進(jìn)行修改校準(zhǔn)。并在1943年，他撰寫了《行為、目的和目的論》，并且這個思想在自行火炮的研發(fā)上取得了成功，這是得維納對控制論的思考更加的清晰。從1948年控制論誕生，到控制論廣泛的運(yùn)用于各個領(lǐng)域時間不到兩年，六年以后，我國的科學(xué)家，錢學(xué)森教授將控制論推廣，讓其在工程方面應(yīng)用，創(chuàng)造了工程控制論，從此以后，控制論呈井噴式發(fā)展，各種控制論涌現(xiàn)，比如生物控制論，經(jīng)濟(jì)控制論，社會控制論等等。

2 數(shù)學(xué)控制基礎(chǔ)

控制系統(tǒng)可以通過常微分方程，差分方程，偏微分方程等一些列數(shù)學(xué)公式建立，通過各個公式之間的關(guān)系，調(diào)配下一級動作。在數(shù)學(xué)中有兩大控制理論。

2.1 基本控制理論

2.1.1 經(jīng)典控制論

經(jīng)典控制論解決的是單輸入輸出和早期的穩(wěn)定性理論。研究反饋控制得主要是以反饋控制為其主要研究內(nèi)容的自動控制理論的歷史，從第一篇關(guān)于經(jīng)典控制論的時間算起來到現(xiàn)在還不足100年。但是早在1000年以前控制論思想就已經(jīng)開始具有概念?？刂七@個詞語也極大的反應(yīng)了，人類對掌握超越自身能力的渴望?？释鞣匀?，為自己服務(wù)著一思想。但是早期的控制論思想是不穩(wěn)定，不平衡的，于是穩(wěn)定性的問題很早以前就開始被研究，根據(jù)有關(guān)的文獻(xiàn)表明牛頓可能是研究動態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性的第一個人。牛頓的數(shù)學(xué)原理的一系列研究表明，尤其是他的引力學(xué)說中對于做圓周運(yùn)動的質(zhì)子的對應(yīng)研究中，他假設(shè)圓周運(yùn)動質(zhì)子收到的引力的大小與它到圓周運(yùn)動中心的距離n次方有關(guān)。他發(fā)現(xiàn)，n>-3時，當(dāng)質(zhì)子受到微小的干擾時，仍然能夠在原來的圓周運(yùn)動軌道上做圓周運(yùn)動。而當(dāng)n≤-3時，質(zhì)子受到細(xì)微的擾動將會以螺旋的方式進(jìn)行遠(yuǎn)離圓周中心，此也叫作逃離運(yùn)動，或者逐漸靠近圓周運(yùn)動中心。

在萬有引力建立之后，許多學(xué)者，天文學(xué)家，物理學(xué)家嘗試證明太陽系的圓周運(yùn)動是穩(wěn)定的。我們所熟知的數(shù)學(xué)家拉格朗日，和拉普拉斯也曾對這個問題進(jìn)行過深入的研究，基于前人的經(jīng)驗(yàn)和理論研究，在24歲時“證明了行星到人陽的距離在一些微小的周期變化之內(nèi)是不變的”雖然這個證明在現(xiàn)在來說是不嚴(yán)格的，但是他的理論對李亞普諾夫的穩(wěn)定性理論有很大的影響。

在十九世紀(jì)以前保守系統(tǒng)的穩(wěn)定性一直是討論驗(yàn)證的重點(diǎn)。主要是關(guān)于行星圓周運(yùn)動是否具有穩(wěn)定問題。Clerk Maxwell是最先通過對對反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行系統(tǒng)分析，并且取得了不錯的成果，并且撰寫了關(guān)于此的論文 。關(guān)于他研究結(jié)果是否正確，麥?zhǔn)蠈θA微分方程進(jìn)行驗(yàn)證，以及具有五階微分方程的Maxwells governor進(jìn)行了研究。證明其結(jié)果是可行的，并且得出了系統(tǒng)穩(wěn)定性的條件。在同一個階段維什聶格拉斯基也對蒸汽機(jī)的穩(wěn)定性問題進(jìn)行探討，維什聶格拉斯基也是對其進(jìn)行線性化，但是他用線性微分方程描述由調(diào)整對象和調(diào)整器組成的系統(tǒng)。比Clerk的方法更加簡便。

2.1.2 現(xiàn)代控制理論

在現(xiàn)在控制理論中進(jìn)展最快的是對的是多輸入多輸出線性系統(tǒng)，特別是建立對刻劃控制系統(tǒng)本質(zhì)的基本理論，比如可控性、可觀性、實(shí)現(xiàn)理論等，從此控制的工程設(shè)計變成了一門單獨(dú)的研究方向。它促進(jìn)了控制理論從理論到應(yīng)用的進(jìn)程，促進(jìn)非線性系統(tǒng)、最優(yōu)控制，卡爾曼濾波、魯棒控制等理論的提出與進(jìn)步發(fā)展，并且稱為重要的科學(xué)研究理論。

在上世紀(jì)五十年代，由于空間技術(shù)的發(fā)展和計算機(jī)技術(shù)的不斷進(jìn)步，并于上世紀(jì)六十年代取得巨大的成果。在這一段時間，卡爾曼第一次將狀態(tài)空間系統(tǒng)與控制理論雜糅結(jié)合起來，并提出了一些具有重要意義的理論。這些理論就組成了近代現(xiàn)代控制理論的起點(diǎn)和基礎(chǔ)。

線性代數(shù)和微分方程是現(xiàn)代控制理論的重要手段，與狀態(tài)空間法結(jié)合，制作控制系統(tǒng)。其中狀態(tài)空間法，發(fā)揮了非常大的應(yīng)用，他不只是關(guān)注控制系統(tǒng)外部的穩(wěn)定，他同時兼顧系統(tǒng)內(nèi)部。它揭示了控制系統(tǒng)內(nèi)部的運(yùn)動規(guī)律，對系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)優(yōu)化。與經(jīng)典的控制理論相比，現(xiàn)代控制理論原則上講它可以應(yīng)用在更多的對象上，它不僅僅是單輸入輸出的、線性的、定富的、也可以是多輸入輸出量的、非線性的、時變的、離散的、高效的。

2.2 控制理論的數(shù)學(xué)表達(dá)

控制理論在數(shù)學(xué)上的聯(lián)系涉及線性控制系統(tǒng)和非線性控制系統(tǒng)。線性控制系統(tǒng)主要涉及到線性代數(shù)、常微分方程、隨機(jī)控制系統(tǒng)，概率論、隨機(jī)過程和隨機(jī)微分方程，集中參數(shù)控制系統(tǒng)變分法常微分方程泛的分析。

非線性控制系統(tǒng)涉及到分布參數(shù)控制系統(tǒng)偏微分方程、泛的分析、線性算寧半樣理論等。非線性控制系統(tǒng)微分幾何的現(xiàn)代理論，微分拓?fù)涑醪?、常微分方程離散中件動態(tài)系統(tǒng)抽象代數(shù)等。

3 控制.系統(tǒng)穩(wěn)定性

3.1 李亞普諾夫穩(wěn)定性

3.1.1 平衡狀態(tài)穩(wěn)定

我們先來假定一個圓周運(yùn)動，設(shè)以X為圓心，以 R 為半徑的一個球形區(qū)域S，那么x一定會有一個半徑，且0≤r≤R。只要x1一開始就在球形區(qū)域以內(nèi)， 當(dāng)隨著時間進(jìn)行x1一直都在這個球形區(qū)域里面，那么這個圓周系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)x1在運(yùn)動中受到干擾時，x1一直沒有超出球面范圍，那么它最后還會在球面以內(nèi)穩(wěn)定運(yùn)行， 如圖 1 的曲線 2 2 .2 平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定。

3.1.2 平衡狀態(tài)不穩(wěn)定

假設(shè)x不穩(wěn)定時。那么在球形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動的x1將會脫離球體。

3.1.3 李亞普諾夫間接法

間接法是的將非線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近進(jìn)行線性化， 將非線性系統(tǒng)近似的看成線性系統(tǒng)，然后用研究小范圍內(nèi)線性化系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這一種線性近似運(yùn)算只有當(dāng)X1偏差量很小的前提下進(jìn)行，但是到臨界以后不再使用。

3.1.4 李亞普諾夫直接法

直接法不同于間接法，其不再采用對線性控制系統(tǒng)的近似研究， 它判斷非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性利用李雅普諾夫函數(shù)來研究。這種方法與間接法互補(bǔ)，兩者的使用范圍各不相同，直接法適合臨界狀況，不適合平衡點(diǎn)附近的輕微擾動。此外直接法還適合大范圍系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究。

3.2 連續(xù)時間函數(shù)的定義：

針對要研究的對象，我們可以為這個對象得動態(tài)性能建立一個數(shù)學(xué)模型，然后在進(jìn)行研究探索。 大部分研究對象的動態(tài)系統(tǒng)分析可以用這兩個方程來表示：

關(guān)于連續(xù)時間系統(tǒng)的函數(shù)：·X（t）=f[X（t），U（t），t]

關(guān)于離散時間系統(tǒng)的函數(shù)：X（k+1）=f[X（k），U（k）， k]

當(dāng)時間不變動時，及定時不變時：X·（t）=f[X（t），U（t）]

X（k+1）=f[X（k），U（k）]

其實(shí)非線性系統(tǒng)的分析不是太難，主要在尋找定量上，通俗來講就是尋找控制系統(tǒng)特征規(guī)律。判斷這個系統(tǒng)是否穩(wěn)定，就要尋找這個系統(tǒng)是否有平衡點(diǎn)，然后通過平衡點(diǎn)的穩(wěn)定，判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

系統(tǒng)的平衡狀態(tài)

假設(shè)一個動態(tài)系統(tǒng)是平衡的問題， X-其中的狀態(tài)點(diǎn)， 若系統(tǒng)穩(wěn)定當(dāng)?shù)竭_(dá) X-以后， 就保持為 X-。若比系統(tǒng)平衡， 平衡狀態(tài) X-應(yīng)滿足：

離散時間系統(tǒng)：X-=f（X-）

連續(xù)時間系統(tǒng)：0=f（X-）

4 結(jié)語

本文只簡單介紹了數(shù)學(xué)中的控制論基礎(chǔ)，并對控制系統(tǒng)中的穩(wěn)定性問題進(jìn)行簡單的分析。拉氏變換極大的促進(jìn)了控制系統(tǒng)理論由理論到應(yīng)用的進(jìn)程。當(dāng)然控制論從理論到應(yīng)用最重要依靠的是好幾代人的不懈努力。隨著近代數(shù)學(xué)不斷進(jìn)步，我相信有關(guān)控制系統(tǒng)理論的一些問題終會解決。

【參考文獻(xiàn)】

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