楊 娜

(蘭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院機電工程系, 甘肅 蘭州 730000 )

應(yīng)力-強度干涉模型是機械可靠性分析的理論基礎(chǔ)，其中的應(yīng)力和強度都是廣義的概念，即廣義應(yīng)力是載荷、振動、溫度、噪聲、腐蝕等所有可能導(dǎo)致零部件破壞的因素，屬于外部特性；廣義強度是零部件能夠抵抗破壞的能力，屬于內(nèi)部特性。但傳統(tǒng)的應(yīng)力-強度干涉模型存在兩方面的不足：(1)通常將應(yīng)力與強度視為兩個隨機變量，未考慮其隨時間的變化，由此得到的是靜態(tài)的可靠度；(2)往往假設(shè)應(yīng)力與強度之間相互獨立。而實際上，應(yīng)力與強度間存在相關(guān)性，隨著載荷的作用，強度會逐漸降低。機械零部件在運行過程中，由于受載荷、振動、溫度、輻射、噪聲、腐蝕等外部環(huán)境及其自身材料缺陷、老化、分散性等綜合影響，其實際工作情況下的應(yīng)力與強度是不確定的，是隨時間變化的隨機變量，即為隨機過程。因此，應(yīng)力-強度干涉(stress-strength interference，SSI)過程應(yīng)是一個動態(tài)過程，相應(yīng)的可靠度也就是隨時間變化的函數(shù)。

隨著機械系統(tǒng)和工作環(huán)境日益復(fù)雜化，產(chǎn)品的性能和可靠性需要滿足更高的要求。對于機械零件的可靠性預(yù)測問題，國內(nèi)外大量學(xué)者進行了相關(guān)研究。動態(tài)與漸變是機械產(chǎn)品不可避免的隨時間變化的形態(tài)，對機械產(chǎn)品進行動態(tài)與漸變可靠性探究是可靠性研究的遞進與升華[1]。文獻[2]運用順序統(tǒng)計量理論以及基于獨立的SSI模型，建立了以載荷作用次數(shù)為壽命度量指標的零件動態(tài)可靠度計算模型。文獻[3]建立了不確定性載荷作用下的零件時變可靠性模型，給出了基于載荷和強度分布的零件可靠度計算表達式。文獻[4]基于結(jié)構(gòu)抗力與載荷效應(yīng)相互獨立的基本假設(shè)，提出了考慮結(jié)構(gòu)動態(tài)可靠性的全隨機過程模型。文獻[5]分析穩(wěn)定應(yīng)力和沖擊應(yīng)力組成的復(fù)合應(yīng)力，推導(dǎo)了考慮強度退化時的可靠性模型。上述模型雖然研究的是動態(tài)可靠性問題，但大多立足于應(yīng)力與強度相互獨立的假設(shè)，因此，對于應(yīng)力與強度間的相關(guān)性的描述存在明顯不足。文獻[6]考慮組合應(yīng)力下的結(jié)構(gòu)受力情形，分別探討了強度退化與否的動態(tài)可靠度。文獻[7]考慮隨機載荷的加載形式分別為動載荷累加、等幅并且服從Poisson分布、載荷隨時間變化且不服從任何分布的三種情況，利用應(yīng)力-強度干涉理論和隨機過程理論建立了結(jié)構(gòu)強度退化情況下的動態(tài)可靠性模型。文獻[8]考慮載荷隨時間變化及強度退化，運用隨機過程和順序統(tǒng)計理論，建立變幅隨機載荷和強度退化下零件的動態(tài)可靠性模型。文獻[9]通過定義次數(shù)等效系數(shù)和參考載荷，分析隨機載荷作用下強度發(fā)生退化，推導(dǎo)了存在共因失效的零件可靠度計算模型。上述文獻在一定程度上分析了載荷與強度的相關(guān)性，但其相關(guān)性多基于文獻[10]所提出的剩余強度模型來體現(xiàn)。在工程實際中，零部件的強度在不同的應(yīng)力水平下會有不同的表現(xiàn)，也就是說強度與應(yīng)力是單向相關(guān)的。所謂應(yīng)力與強度單向相關(guān)，是指強度受應(yīng)力特性的影響，并隨應(yīng)力的作用逐漸降低，而應(yīng)力則取決于外部載荷和工作環(huán)境，與強度無關(guān)。

為評估零件在應(yīng)力與強度單向相關(guān)下的動態(tài)可靠度，本文利用Gamma過程來描述隨機載荷作用，基于經(jīng)典的Miner累積損傷理論，進一步推導(dǎo)隨著載荷作用而產(chǎn)生的強度不斷降低的強度退化模型。結(jié)合傳統(tǒng)的應(yīng)力-強度干涉模型，建立零件的動態(tài)可靠度預(yù)測模型。最后通過算例驗證模型的有效性。

1 傳統(tǒng)的應(yīng)力-強度干涉模型

傳統(tǒng)的應(yīng)力-強度干涉模型把應(yīng)力與強度作為兩個隨機變量，若使零部件正常工作，則要求其強度大于工作應(yīng)力，否則零部件將遭到破壞。應(yīng)力和強度都應(yīng)該是廣義的概念，廣義應(yīng)力是載荷、振動、溫度、噪聲、腐蝕等所有可能導(dǎo)致零部件破壞的因素，屬于外部特性；廣義強度是零部件的抗熱性、耐磨性、抗腐蝕性等能夠抵抗破壞的能力，屬于內(nèi)部特性。可靠度R則是零部件強度δ大于應(yīng)力s的概率P，可以表達為：

R=P(δ>s)

(1)

將應(yīng)力與強度作為兩個隨機變量，可以把式(1)作如下表達[11]：

(2)

式中：f(s)表示應(yīng)力s的概率密度函數(shù)；g(δ)表示強度δ的概率密度函數(shù)。

上述模型是一個靜態(tài)模型，不能直接應(yīng)用于當應(yīng)力與強度隨時間變化的情況。而事實上，由于影響零件性能的外部環(huán)境因素是動態(tài)的隨機過程，應(yīng)力與強度在很多情況下是隨時間變化的，即應(yīng)力與強度均應(yīng)為隨機過程。

2 動態(tài)可靠性分析

2.1 隨機載荷的描述

Gamma過程增量具有非負的單調(diào)性，多用于描述不可逆轉(zhuǎn)的單調(diào)變化的隨機過程。在描述載荷、溫度、磨損、腐蝕等方面得到了廣泛應(yīng)用。在加速壽命試驗中，為減少試驗時間，常采用增加載荷的方法，Gamma過程在此類可靠性試驗中也得到了廣泛運用。

稱隨機過程{X(t),t≥0}服從形狀參數(shù)為a(t)、尺度參數(shù)為b的Gamma過程，如果其滿足下列條件：

(1)X(0)=0；

(2)X(t)在非相交的區(qū)間具有獨立增量X(t)-X(s)(t>s≥0)；

(3)對任意t>s≥0，有增量X(t)-X(s)～Ga(a(t)-a(t),b)。

其中：Ga(·)表示Gamma分布，a(t)和b分別為形狀參數(shù)和尺度參數(shù)，且a(t)為遞增的連續(xù)函數(shù)，a(0)=0，b>0。當a(t)為現(xiàn)象函數(shù)時，Gamma過程為平穩(wěn)過程；當a(t)為非線性函數(shù)時，Gamma過程為非平穩(wěn)過程。設(shè)X(t)為零件t時刻承受的載荷，則其概率密度函數(shù)為：

(3)

式中：Γ(·)表示Gamma函數(shù)，即：

(4)

IA(x)為示性函數(shù)；當x∈A時，有IA(x)=1，若x?A時，有IA(x)=0。由平穩(wěn)增量的性質(zhì)可知，在任意時刻t，隨機過程X(t)的數(shù)學(xué)期望和方差將隨時間呈線性增長的趨勢，則有下列表達式：

μX(t)=at/b

(5)

(6)

2.2 隨機載荷下的強度退化模型

材料的疲勞性能通常用其承受的應(yīng)力s與失效時的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)N之間的關(guān)系來描述，即經(jīng)典疲勞強度理論中的s-N曲線。在s-N曲線上，對應(yīng)于壽命N時的應(yīng)力值，稱為材料壽命為N時的疲勞強度。因此，s-N曲線也稱為疲勞強度-壽命曲線。s-N曲線反映的另一種信息是：隨著載荷作用次數(shù)的增加，材料強度在逐漸降低。

s-N曲線通常用冪函數(shù)表示，即零件疲勞性能曲線滿足下式[12]：

smN=C

(7)

式中：m、C為與材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)，N為載荷s作用下的零件壽命。

由式(6)可知，當應(yīng)力s作用時，零件的壽命為N。由Miner累積損傷理論，應(yīng)力s作用時對零件造成的損傷為1/N，即有1/N=sm/C。

假設(shè)零件在某隨機載荷s(t)作用下工作，則由式(6)可得到：

(8)

零件在經(jīng)時間t之后，其累積損傷D(t)為：

(9)

零件在下一時刻t+Δt載荷作用時不發(fā)生失效，則要求：

(10)

考慮零件的安全性，式(10)右端可設(shè)為一個小于1的數(shù)，受多種因素的影響，該值實際上為分布在1附近的隨機變量。為簡化討論，這里取為常數(shù)1。將式(8)代入式(9)并化簡得：

(11)

所以，在經(jīng)歷載荷作用時間t之后，零件能夠抵抗的臨界載荷S(t)為：

(12)

在初始時刻，即t=0時，由式(12)可知s(0)=C1/m。從廣義上來說，臨界載荷可以稱為強度。式(11)即是隨機載荷下的剩余強度模型，該式表明，隨著載荷作用時間的增加，零件強度逐漸降低，也就表現(xiàn)了載荷與強度之間的單向相關(guān)性。

3 單向相關(guān)下的動態(tài)可靠性模型

早期對可靠度的計算多采用強度與應(yīng)力相獨立的假設(shè)，以此得到的結(jié)果與工程實際有一定的偏差。實際上在應(yīng)力作用的過程中，強度通常會逐漸降低，即強度與應(yīng)力是相關(guān)的。這與事實相符合，也得到了大量實驗的驗證。零部件的強度往往受到應(yīng)力的影響，在不同的應(yīng)力條件下表現(xiàn)出不同的特性，而應(yīng)力則取決于載荷、工況等外部環(huán)境，與強度無關(guān)。因此，強度與應(yīng)力表現(xiàn)為一種單向相關(guān)的現(xiàn)象。

上文利用Gamma過程對隨機載荷進行了描述，并由Miner損傷累積建立了隨機載荷下的零件強度退化模型。根據(jù)應(yīng)力-強度干涉模型，零件在任意時刻的動態(tài)可靠度函數(shù)可以表示為：

(13)

式(13)即為應(yīng)力與強度單向相關(guān)下的零件動態(tài)可靠度模型。

4 算例分析

為對本文方法的有效性進行驗證，在此以文獻[13]中提供的風(fēng)電葉片復(fù)合材料疲勞試驗數(shù)據(jù)為例。試樣材料為單向碳/環(huán)氧復(fù)合材料，在瑞士產(chǎn)AMSLER 10HFP1-478高頻疲勞試驗機上進行軸向拉-拉加載疲勞試驗，疲勞試驗數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 疲勞試驗數(shù)據(jù)

應(yīng)力水平/MPa試樣數(shù)疲勞壽命(×103)667112.4,3.7,3.8,4.5,4.6,5.6,6.5,12.6,14.5,34.9,39.85881210.9,13.2,23.0,74.7,78.7,96.0,114.7,120.0,129.6,145.3,269.0,899.75301178.7,98.3,106.6,134.8,182.6,193.7,293.0,306.4,604.5,2911.8,6216.347116185.1,228.9,350.7,538.7,734.2,807.0,1221.2,1239.9,2210.8,5553.0,8823.5,11492.0,12385.9,13531.0,16462.0,26550.0

根據(jù)表1中的試驗數(shù)據(jù)(第一列與第三列)，利用最小二乘法，對式(7)中的未知參數(shù)進行估計，得m=17.999 9，C=9.675 2×1054。則單向碳/環(huán)氧復(fù)合材料試樣的s-N曲線的方程式為：

s17.999 9N=9.675 2×1054

(14)

零件在隨機載荷作用下工作，載荷加載過程用平穩(wěn)的Gamma過程描述，a=0.05，b=20。對隨機載荷進行抽樣分析，仿真結(jié)果如圖1所示。對零件的可靠度進行Monte Carlo仿真，運用式(13)可得零件的可靠度變化曲線如圖2所示。由圖2可知，零件的可靠度曲線隨著時間的增加具有明顯下降的趨勢，在t=630 h之前，零件能保持穩(wěn)定工作，之后零件的可靠度迅速降低，并最終不能滿足工作需求而發(fā)生失效。

5 結(jié)語

本文利用Gamma過程來描述隨機載荷作用，基于經(jīng)典的Miner累積損傷理論，推導(dǎo)了隨著載荷作用而產(chǎn)生的強度不斷降低的強度退化模型。結(jié)合傳統(tǒng)的應(yīng)力-強度干涉模型，提出了一種基于隨機過程的應(yīng)力-強度單向相關(guān)下的零件動態(tài)可靠度分析方法，并建立了相應(yīng)的可靠度模型。通過算例驗證了模型的有效性。算例結(jié)果表明：該模型能夠有效用于可靠性分析，具有一定的工程指導(dǎo)意義。

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