劉新彤,劉四新, 孟 旭,傅 磊

1.吉林大學(xué)地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，長(zhǎng)春 130026 2.澳門(mén)科技大學(xué)太空科學(xué)研究所，澳門(mén) 999078

0 引言

跨孔探地雷達(dá)層析成像技術(shù)不斷發(fā)展，已經(jīng)在水文、環(huán)境和工程物探中得到了驗(yàn)證與有效應(yīng)用。在數(shù)據(jù)采集過(guò)程中，跨孔雷達(dá)將兩個(gè)天線放置在相隔一定距離的兩個(gè)井孔中，一個(gè)作為發(fā)射源，另一個(gè)作為接收器。發(fā)射天線發(fā)出的雷達(dá)波穿過(guò)井孔之間的介質(zhì)被接收天線采集，該雷達(dá)波包含井孔之間介質(zhì)的物性參數(shù)(如介電常數(shù)和電導(dǎo)率)空間分布信息。傳統(tǒng)的走時(shí)層析成像和衰減層析成像技術(shù)雖然可以分別有效地反演出地下介質(zhì)的介電常數(shù)和電導(dǎo)率分布情況，但由于上述方法基于射線理論，僅僅使用了雷達(dá)波的部分信息，因而所得到的結(jié)果分辨率有限?？缈桌走_(dá)全波形反演技術(shù)在反演過(guò)程中使用雷達(dá)波的全部信息，所得到的地下介質(zhì)物性參數(shù)分布結(jié)果的分辨率可以達(dá)到亞波長(zhǎng)級(jí)別。

近些年來(lái)，國(guó)際地球物理探測(cè)學(xué)界對(duì)全波形反演(full waveform inversion， FWI)方法持續(xù)關(guān)注，波形反演技術(shù)在很多領(lǐng)域都取得了顯著進(jìn)展，尤其是在地震方面，已經(jīng)得到了相對(duì)成熟的理論架構(gòu)。早期，Tarantola[1]將廣義最小二乘反演理論應(yīng)用到了全波形反演方法中，通過(guò)合成數(shù)據(jù)與觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算出殘差并進(jìn)行反傳獲得反傳波場(chǎng)，利用反傳波場(chǎng)與正傳波場(chǎng)的互相關(guān)來(lái)構(gòu)建梯度，形成了一套完整的時(shí)間域波形反演方法理論架構(gòu)。隨后，Pratt等[2-4]將全波形反演方法擴(kuò)展到了頻率域，提出頻率域全波形反演方法；馮晅等[5]提出基于逐減隨機(jī)震源采樣法的頻率域波形反演方法。與地震全波形反演方法相比，探地雷達(dá)全波形反演方法的研究起步較晚，且目前仍然處于發(fā)展初期。Kuroda等[6]采用全波形反演方法來(lái)解釋跨孔雷達(dá)數(shù)據(jù)，獲得了介電常數(shù)成像結(jié)果。Ernst[7]等使用全波形反演方法處理跨孔雷達(dá)數(shù)據(jù)，采用級(jí)聯(lián)更新的方式同時(shí)反演了介電常數(shù)和電導(dǎo)率，并取得了較好的效果。Meles等[8]利用矢量全波形反演技術(shù)處理探地雷達(dá)數(shù)據(jù)，進(jìn)行了同時(shí)迭代介電常數(shù)和電導(dǎo)率的全波形反演。在國(guó)內(nèi)，波形反演也取得了一定的進(jìn)展。吳俊軍等[9]利用攝動(dòng)法求解全波形反演的目標(biāo)函數(shù)并詳細(xì)推導(dǎo)了基礎(chǔ)理論，采用最速下降法在迭代過(guò)程中同時(shí)更新介電常數(shù)和電導(dǎo)率；孟旭等[10]進(jìn)一步將跨孔雷達(dá)全波形反演方法發(fā)展到了頻率域，推導(dǎo)了基于對(duì)數(shù)目標(biāo)函數(shù)的頻率域全波形反演的基礎(chǔ)理論，使用共軛下降法同時(shí)反演介電常數(shù)和電導(dǎo)率。在處理實(shí)際數(shù)據(jù)方面，Ernst等[11]提出一種二維全波形反演策略，采用級(jí)聯(lián)方式反演兩種物性參數(shù)，反演跨孔雷達(dá)實(shí)際數(shù)據(jù)。但是，到目前為止，由于實(shí)際數(shù)據(jù)信噪比較低，國(guó)內(nèi)外使用全波形反演方法處理探地雷達(dá)實(shí)際數(shù)據(jù)并沒(méi)有得到良好的應(yīng)用。

FWI方法廣泛采用局部?jī)?yōu)化的方式進(jìn)行反演，但由于其本身對(duì)初始模型高度依賴，面對(duì)先驗(yàn)信息缺失的地下介質(zhì)時(shí)，無(wú)法從準(zhǔn)確的初始模型出發(fā)；且在實(shí)際采集到的數(shù)據(jù)中包含噪聲以及存在低頻信息缺失的情況下，局部?jī)?yōu)化方法很容易陷入局部極值[12]。在目前的波形反演研究領(lǐng)域中，普遍選擇為其構(gòu)建較為準(zhǔn)確的初始模型，來(lái)降低非線性程度以獲取更好的結(jié)果。而對(duì)于構(gòu)建大尺度的初始模型，低頻信息的使用尤為關(guān)鍵。對(duì)于實(shí)際數(shù)據(jù)，由于帶寬或數(shù)據(jù)采集濾波器設(shè)計(jì)等原因，低頻信息往往難以采集；雖然在實(shí)驗(yàn)室條件下能夠采集到一定量的低頻數(shù)據(jù)，但是難度極高，成本巨大，所采集到的數(shù)據(jù)并不完整且應(yīng)用難度較大，無(wú)法推廣到探地雷達(dá)野外數(shù)據(jù)的處理中。以中心頻率為100 MHz的鉆孔雷達(dá)為例，難以獲得30 MHz以下的有效信息。因此，重新構(gòu)建探地雷達(dá)數(shù)據(jù)中的有效低頻信息，成為了利用全波形反演方法處理跨孔雷達(dá)數(shù)據(jù)的重點(diǎn)。

本文在時(shí)間域跨孔雷達(dá)波形反演的基礎(chǔ)上，使用包絡(luò)目標(biāo)函數(shù)，采用求導(dǎo)法，詳細(xì)推導(dǎo)了包絡(luò)波形反演(EWI)方法的基礎(chǔ)理論，將EWI成功推廣到了探地雷達(dá)(ground penetrating radar，GPR)領(lǐng)域，并采用共軛梯度法同時(shí)反演了兩種物性參數(shù)(介電常數(shù)和電導(dǎo)率)；通過(guò)模擬原始數(shù)據(jù)低頻信息缺失的情況驗(yàn)證該方法在低頻缺失情況下的反演能力，反演結(jié)果在為地下介質(zhì)做出評(píng)價(jià)的同時(shí)，可以作為初始模型，降低非線性程度，進(jìn)一步參與到傳統(tǒng)波形反演當(dāng)中， 來(lái)獲取分辨率更高的結(jié)果。該全波反演方法的正演部分采用高階時(shí)間域有限差分算法，使用了CPML(convolutional perfect matched layer)吸收邊界，并在每一次迭代過(guò)程中，對(duì)梯度進(jìn)行了中值濾波等優(yōu)化方式。由于反演過(guò)程中數(shù)據(jù)量巨大，采用了Matlab的分布式計(jì)算引擎(matlab distributed computing engine， MDCE)并行運(yùn)算的方式，以提高在普通微機(jī)上的運(yùn)行效率。

1 正演問(wèn)題表達(dá)形式

在討論探地雷達(dá)地球物理問(wèn)題時(shí)，地下介質(zhì)的物性參數(shù)分布情況使用介電常數(shù)和電導(dǎo)率來(lái)描述，并假設(shè)磁導(dǎo)率是均勻不變的。在時(shí)間域，對(duì)于任意時(shí)間點(diǎn)t和空間x，Maxwell方程如下[7]：

(1)

式中：ε(x)和σ(x)分別表示介電常數(shù)和電導(dǎo)率的空間分布；s表示某一個(gè)特定的源；μ0表示磁導(dǎo)率，這里假定為常數(shù)；Es和Hs分別表示由電流密度源矢量Js產(chǎn)生的電場(chǎng)和磁場(chǎng)。式(1)可簡(jiǎn)寫(xiě)成如下形式：

(2)

式中，M(ε,σ)代表Maxwell方程的一個(gè)線性算子。忽略磁場(chǎng)項(xiàng)：

MEs=Js或Es=M-1Js。

(3)

在時(shí)間域，空間任意位置的電場(chǎng)可以用源與對(duì)應(yīng)位置格林函數(shù)之間的卷積來(lái)表示：

Es=g*Js。

(4)

式中，g為M算子對(duì)應(yīng)的格林函數(shù)。顯然，M-1包含離散近似的格林函數(shù)[2-4]。因此，

M-1=g。

(5)

2 目標(biāo)函數(shù)及梯度計(jì)算

2.1 傳統(tǒng)全波形反演

傳統(tǒng)全波形反演的主要目的是尋找目標(biāo)函數(shù)最小時(shí)對(duì)應(yīng)的介電常數(shù)ε與電導(dǎo)率σ的空間分布。傳統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式為

(6)

式中：d表示接收器；τ表示觀測(cè)時(shí)間；E(ε,σ)和Eobs分別為電場(chǎng)正演數(shù)據(jù)和實(shí)際數(shù)據(jù)。式(6)表示源s在接收點(diǎn)d處、觀測(cè)時(shí)間為τ時(shí)全部誤差的總和。目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的梯度由正傳合成波場(chǎng)與反傳伴隨波場(chǎng)的互相關(guān)獲得：

(7)

式中：p代表模型參數(shù)ε和σ；v為虛擬源向量，對(duì)于不同的模型參數(shù)具有不同的表達(dá)式；r(ξ)=E(ξ)-Eobs(ξ)，代表反傳波場(chǎng)的后向殘場(chǎng)源。

2.2 包絡(luò)波形反演

本文通過(guò)將包絡(luò)目標(biāo)函數(shù)引入到Meles等[7]的矢量波形反演技術(shù)當(dāng)中，重新構(gòu)建包絡(luò)全波形反演基礎(chǔ)理論。不同于Meles等使用擾動(dòng)目標(biāo)函數(shù)一階近似來(lái)推導(dǎo)梯度的方法，本文使用對(duì)包絡(luò)目標(biāo)函數(shù)求導(dǎo)的方式來(lái)推導(dǎo)梯度。式(6)為反演中最廣泛使用的傳統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)，本文給出基于該目標(biāo)函數(shù)基礎(chǔ)上的包絡(luò)目標(biāo)函數(shù)，即合成包絡(luò)波場(chǎng)與實(shí)際包絡(luò)波場(chǎng)差的2-范數(shù)：

(8)

(9)

進(jìn)一步推導(dǎo)獲得

(10)

式中，對(duì)合成波場(chǎng)的偏微分可以通過(guò)使用模型參數(shù)p對(duì)公式(3)兩端求偏導(dǎo)獲得：

(11)

其中，

(12)

在時(shí)間域，空間任意位置的電場(chǎng)可以認(rèn)為是源與對(duì)應(yīng)位置格林函數(shù)之間的卷積：

(13)

其中，

(14)

將式(5)代入式(13)并寫(xiě)成積分的形式：

(15)

(16)

(17)

為了實(shí)現(xiàn)最大程度的收斂，本文使用共軛梯度法來(lái)更新模型：

[ε(x)k+1]=[ε(x)k]-ζε,k·[Cε(x)k]，

(18)

[σ(x)k+1]=[σ(x)k]-ζσ,k·[Cσ(x)k]。

(19)

式中：ζε,k和ζσ,k分別為第k次迭代中介電常數(shù)和電導(dǎo)率的迭代步長(zhǎng)；Cε(x)k和Cσ(x)k分別為介電常數(shù)和電導(dǎo)率對(duì)應(yīng)的共軛梯度方向，由當(dāng)前和上一次的梯度計(jì)算得到。

Cε(x)k=Sε(x)k+

(20)

Cσ(x)k=Sσ(x)k+

(21)

當(dāng)k=1時(shí)，滿足Cε(x)1=Sε(x)1和Cσ(x)1=Sσ(x)1。通過(guò)沿各自Cε、Cσ方向?qū)ふ覙O值點(diǎn)，我們能夠在同一次迭代中實(shí)現(xiàn)介電常數(shù)和電導(dǎo)率的同步反演。迭代步長(zhǎng)由以下公式獲得：

[Eenv(ε+κεCε,k,σ)-Eenv(ε,σ)]，

(22)

[Eenv(ε,σ+κσCσ,k)-Eenv(ε,σ)]。

(23)

式中，κε、κσ為不同的小穩(wěn)定因子。在反演過(guò)程中必須小心地為其選擇適當(dāng)?shù)闹挡⑶以撝惦S著迭代不斷更新。

3 數(shù)值模擬

與傳統(tǒng)的FWI方法對(duì)比完整波形不同，我們的方法比較的是合成數(shù)據(jù)的包絡(luò)與觀測(cè)數(shù)據(jù)的包絡(luò)。這里我們以Ricker子波為例來(lái)分析包絡(luò)轉(zhuǎn)換的作用。圖1a顯示了一道Ricker子波的波形與它對(duì)應(yīng)的包絡(luò),通過(guò)對(duì)比可以看出，Ricker子波信號(hào)本身變化劇烈，而包絡(luò)波形變化相對(duì)緩慢。圖1b為子波頻譜與包絡(luò)頻譜的對(duì)比圖，可以很明顯看出存在低頻信息通過(guò)非線性轉(zhuǎn)換被加入到了包絡(luò)頻譜中。

傳統(tǒng)的跨孔雷達(dá)FWI在雷達(dá)數(shù)據(jù)低頻信息充足且初始模型足夠準(zhǔn)確的情況下可以獲得良好的反演結(jié)果；但是當(dāng)?shù)皖l信息缺少時(shí)，F(xiàn)WI方法往往無(wú)法恢復(fù)大尺度的背景信息，甚至錯(cuò)誤地更新模型并導(dǎo)致反演最終無(wú)法收斂，非常容易陷入局部最小。雷達(dá)數(shù)據(jù)缺少低頻信息這種狀況在很多雷達(dá)實(shí)例中存在，面對(duì)類似情況的實(shí)例，F(xiàn)WI方法難以發(fā)揮作用；但EWI方法有能力在數(shù)據(jù)缺少大量低頻信息的情況下更新模型的長(zhǎng)波長(zhǎng)信息，其原因是它的伴隨波場(chǎng)含有低頻信息。我們?nèi)コ齊icker子波30 MHz以下的低頻成分，圖2a中為去除低頻成分后的Ricker子波及其包絡(luò)，可以看出去除低頻成分后，Ricker子波信號(hào)變動(dòng)更劇烈，而包絡(luò)曲線依然平穩(wěn)。圖2b為其頻譜對(duì)比圖，與圖1b相比較，可以非常明顯地看出，在除去低頻成分后，Ricker子波頻譜低頻部分雖然被移除，但其包絡(luò)低頻部分幾乎不受影響，仍然有明顯的低頻信息被添加。

為了驗(yàn)證EWI方法的成像能力，我們建立了如圖3所示的復(fù)雜小模型，模型尺寸為6 m×6 m，包含3個(gè)地層：第一層與第三層物性參數(shù)相同，相對(duì)介電常數(shù)均為5，電導(dǎo)率為0.001 S·m-1；中間層的相對(duì)介電常數(shù)為5.5，電導(dǎo)率為0.002 8 S·m-1，并埋藏兩個(gè)柱狀異常體，位于深度3 m處，間隔1 m，相對(duì)介電常數(shù)為7，電導(dǎo)率為0.008 S·m-1。在本次模擬中共13個(gè)發(fā)射源，每組發(fā)射對(duì)應(yīng)13個(gè)接收器。發(fā)射器與接收器位置均為深度0～6 m，并以0.5 m等間隔排列；天線中心頻率為100 MHz。

首先，我們對(duì)比了兩種方法基于均勻初始模型反演的結(jié)果。均勻初始模型的相對(duì)介電常數(shù)為5.5，電導(dǎo)率為0.002 8 S·m-1。初始模型物性參數(shù)與原始模型中間層背景物性參數(shù)一致。由于原始數(shù)據(jù)包含了完整且正確的長(zhǎng)波長(zhǎng)信息，所以FWI和EWI兩種反演方法均能夠獲得良好的反演結(jié)果。其中傳統(tǒng)的全波形反演方法所得到的結(jié)果分辨率略高于基于包絡(luò)的波形反演結(jié)果，這是因?yàn)镕WI方法使用的信息更加完整，但也有更高的非線性程度。從圖4反演結(jié)果來(lái)看，F(xiàn)WI方法在波形信息完整時(shí)，反演結(jié)果要優(yōu)于EWI方法，尤其對(duì)于中間兩個(gè)管線異常體，傳統(tǒng)波形反演電導(dǎo)率結(jié)果優(yōu)勢(shì)明顯。

圖1 Ricker子波和包絡(luò)波形(a)及其頻譜(b)Fig.1 Ricker wavelet and its envelope (a) and spectrum (b)

圖2 去除30 MHz以下低頻成分Ricker子波及其包絡(luò)(a)和頻譜(b)Fig.2 Ricker wavelet without low frequency data under 30 MHz and its envelope (a) and spectrum (b)

a.相對(duì)介電常數(shù)；b.電導(dǎo)率。白色圓圈表示發(fā)射源，叉號(hào)表示接收器，下同。圖3 原始模型Fig.3 Original model

a、b. FWI；c、d. EWI。圖4 完整頻率信息波形反演結(jié)果Fig.4 Waveform inversion results of complete frequency information

接著，我們提取了原始數(shù)據(jù)30 MHz以下的低頻信息，以驗(yàn)證FWI和EWI兩種方法對(duì)低頻信息的反演能力。如圖5所示，F(xiàn)WI方法在單獨(dú)反演低頻信息時(shí)，反演能力明顯下降，圖5a、b是迭代20次的結(jié)果，雖然能夠反演出一定的地層和異常體信息，但已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及EWI方法(圖5c、d)；并沒(méi)有選擇更多的迭代次數(shù)是因?yàn)橛捎诘皖l缺失，F(xiàn)WI方法容易陷入局部最小，隨著迭代的進(jìn)行，結(jié)果將會(huì)朝著錯(cuò)誤的方向發(fā)展，最終無(wú)法收斂，完全無(wú)法準(zhǔn)確反映地下信息。而包絡(luò)波形反演能夠獲得良好的結(jié)果，目標(biāo)函數(shù)收斂，且最終結(jié)果(圖5c、d)與圖4中使用全部波形信息反演的結(jié)果相差不大。該組模擬證明，EWI方法對(duì)低頻信息的利用能力高于FWI方法。對(duì)比提取低頻信息的反演結(jié)果與完整波形信息的反演結(jié)果可以看出，無(wú)論使用FWI還是EWI方法，由于高頻信息的缺失，反演對(duì)于中間細(xì)節(jié)的刻畫(huà)明顯下降，極易陷入局部最小。

最后，我們模擬現(xiàn)實(shí)中低頻缺失的情況，以了解當(dāng)?shù)皖l缺失、FWI方法無(wú)法獲得理想反演結(jié)果的情況下，EWI方法是否仍然可以獲得良好結(jié)果，使跨孔雷達(dá)波形反演體系更加完善且更符合實(shí)際應(yīng)用。圖6中，由于相同的原因，F(xiàn)WI結(jié)果與圖5一致，均為20次迭代的結(jié)果。由圖6可見(jiàn)：在低頻信息缺失的情況下，無(wú)論是介電常數(shù)還是電導(dǎo)率，F(xiàn)WI均無(wú)法獲得與利用完整波形信息進(jìn)行FWI時(shí)一致的結(jié)果，目標(biāo)函數(shù)不收斂；與FWI相對(duì)比，EWI的結(jié)果更好，且目標(biāo)函數(shù)收斂，能夠?yàn)榈叵碌貙优c異常體從位置和物性參數(shù)方面提供定量解釋。

a、b. FWI；c、d. EWI。圖5 30 MHz以下低頻信息反演結(jié)果Fig.5 Inversion result of low frequency data under 30 MHz

a、b. FWI；c、d. EWI。圖6 去除30 MHz以下低頻信息反演結(jié)果Fig.6 Inversion result without low frequency under 30 MHz

4 結(jié)論

1)與全波形反演方法相比，包絡(luò)波形反演方法是一種對(duì)頻率成分更加穩(wěn)定且非線性更低的波形反演方法。跨孔雷達(dá)數(shù)值模擬證明該方法在跨孔雷達(dá)領(lǐng)域有著很高的應(yīng)用價(jià)值，尤其對(duì)于低頻信息缺失的數(shù)據(jù)，包絡(luò)波形反演可以在傳統(tǒng)波形反演不適用的情況下仍然提供良好的反演結(jié)果。

2)雖然對(duì)于完整的波形信息，全波形反演方法結(jié)果要優(yōu)于包絡(luò)波形反演的結(jié)果，尤其在電導(dǎo)率的結(jié)果上全波形反演方法優(yōu)勢(shì)明顯；但在低頻信息缺失時(shí)，包絡(luò)波形反演無(wú)論是介電常數(shù)還是電導(dǎo)率，結(jié)果明顯優(yōu)于全波形反演方法，可以為地下物性參數(shù)提供解釋。

3)包絡(luò)波形反演方法是對(duì)跨孔雷達(dá)波形反演的一種補(bǔ)充方法，使得跨孔雷達(dá)波形反演符合更多應(yīng)用實(shí)例。

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