肖 晗， 董興建， 彭志科， 孟 光

(上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室振動(dòng)與沖擊、噪聲研究所，上海 200240)

動(dòng)力反共振隔振是一種新型隔振技術(shù)，其突出優(yōu)勢是在不降低系統(tǒng)靜剛度的條件下實(shí)現(xiàn)線譜振動(dòng)的隔離，并且在反共振頻率上具有非常高的隔振效率，通常可達(dá)95%以上[1]。這一優(yōu)勢使得動(dòng)力反共振隔振成功地解決了直升機(jī)主減-機(jī)身的低頻隔振問題：既隔離了主減到機(jī)身的線譜振動(dòng)，又不降低主減與機(jī)身之間的靜剛度。動(dòng)力反共振隔振的慣性放大機(jī)制主要由機(jī)械杠桿或液壓杠桿來實(shí)現(xiàn)。Flannelly等[2-5]給出了不同形式的機(jī)械式動(dòng)力反共振隔振器，并成功應(yīng)用在NH90、BO105等輕中型直升機(jī)中。1980年，Braun[6-7]提出了一種液壓式動(dòng)力反共振隔振器，并在EC135等直升機(jī)上得到應(yīng)用，顯示出良好的隔振性能。相比機(jī)械式動(dòng)力反共振隔振器，液壓式動(dòng)力反共振隔振器具有結(jié)構(gòu)對稱，安裝方便，低阻尼和低噪聲等優(yōu)點(diǎn)[8]，應(yīng)用前景廣闊。

動(dòng)力反共振隔振器具有較強(qiáng)的頻率選擇性，限制了其應(yīng)用的范圍。為了在較寬的頻帶內(nèi)實(shí)現(xiàn)動(dòng)力反共振隔振，有必要分析動(dòng)力反共振隔振器的帶寬并對其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，為動(dòng)力反共振隔振器的寬頻帶設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo)[9-10]。在某種意義上，動(dòng)力反共振隔振器可以看作一種陷波濾波器，其帶寬定義為隔振器在給定傳遞率下實(shí)現(xiàn)有效振動(dòng)衰減的頻率范圍[11-12]。對于液壓式動(dòng)力反共振隔振的帶寬設(shè)計(jì)，目前鮮見文獻(xiàn)報(bào)導(dǎo)。建立了兩種液壓式動(dòng)力反共振隔振器模型，討論了隔振帶寬與慣性元件質(zhì)量、放大比等參數(shù)的關(guān)系；給出了一種雙層隔振器設(shè)計(jì)思路，以實(shí)現(xiàn)寬頻帶反共振隔振。

1 液壓式動(dòng)力反共振隔振器帶寬

液壓式動(dòng)力反共振隔振器由彈簧、大小波紋管和慣性質(zhì)量塊構(gòu)成。當(dāng)給基座施加激勵(lì)時(shí)，金屬波紋管內(nèi)的流體會發(fā)生往復(fù)運(yùn)動(dòng)，在特定激勵(lì)頻率下，由流體運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的動(dòng)壓力與彈簧提供的彈性力相平衡，阻斷了振動(dòng)向隔振對象的傳遞，從而使得隔振對象位移為零。這一頻率即為反共振頻率。

相比傳統(tǒng)的動(dòng)力吸振器，反共振隔振器通過引入慣性放大機(jī)構(gòu)，能以較小的附加質(zhì)量實(shí)現(xiàn)較好的隔振效果。機(jī)械式動(dòng)力反共振隔振器通過機(jī)械式杠桿來實(shí)現(xiàn)慣性放大，液壓式動(dòng)力反共振隔振器通過兩個(gè)不同截面積的金屬波紋管來實(shí)現(xiàn)慣性放大。根據(jù)波紋管的安裝形式，提出了兩種類型的液壓式動(dòng)力反共振隔振器，Ⅰ型和Ⅱ型，分別討論了它們的隔振帶寬。

1.1 Ⅰ型液壓式反共振動(dòng)力隔振器

圖1為Ⅰ型動(dòng)力反共振隔振器的原理圖，隔振器置于基座和隔振對象之間，其中Ap為大波紋管有效橫截面積；As為小波紋管有效橫截面積；k為彈簧剛度；x為隔振對象位移；y為基座位移；z為慣性質(zhì)量位移；m為隔振對象質(zhì)量；mis為慣性元件質(zhì)量，定義放大比為α=Ap/As且α>1，假設(shè)水不可壓縮，流體體積不變。根據(jù)流體連續(xù)性方程，得到位移關(guān)系

(1)

圖1 Ⅰ型液壓式動(dòng)力反共振隔振器Fig.1 Type Ⅰ hydraulic anti-resonant vibration isolator

動(dòng)力學(xué)方程可以寫為

(2)

(3)

對基座施加簡諧激勵(lì)， 記x=Xeiωt,y=Yeiωt， 根據(jù)式(2)和式(3)可以得到系統(tǒng)的極點(diǎn)

(4)

以及系統(tǒng)的零點(diǎn)

(5)

系統(tǒng)的位移傳遞率為

(6)

更進(jìn)一步，可以得到

(7)

僅要求系統(tǒng)在反共振點(diǎn)具有隔振特性是不夠的，一般情況下，我們更關(guān)心隔振器在多大的頻率范圍內(nèi)具有良好的隔振性能。對基座施加位移激勵(lì)，如果允許的最大位移傳遞率為T0， 那么將位移傳遞率絕對值小于T0的頻率范圍稱為隔振帶寬(Bandwidth)。將隔振帶寬的中心頻率定義為系統(tǒng)零點(diǎn)ωz， 記N=ω0/ωz。

在給定最大位移傳遞率T0的情況下， 對式(6)取絕對值并令其等于T0， 可以得到兩個(gè)解，即系統(tǒng)的下截止頻率ωs1和上截止頻率ωs2(ωs1<ωs2)。進(jìn)行歸一化處理，定義隔振帶寬為

(8)

為了便于求解截止頻率，引入以下關(guān)系

(9)

進(jìn)一步，確定式(8)中的l和m即可確定截止頻率。

由式(5)可得

(10)

由式(4)、式(5) 和式(10)得到零極點(diǎn)的關(guān)系

(11)

將式(10)代入式(6)并令之為-T0，可以得到

(12)

同樣地，將式(10)代入式(6)并令之為T0，可以得到

(13)

由式(8)和式(9)有

(14)

將式(12)、式(13)代入式(14)，即可得到隔振帶寬的表達(dá)式

(15)

對于低頻隔振，那么N>1。最大位移傳遞率與隔振要求有關(guān)，一般應(yīng)滿足T0?1。但是，如果T0過小，會使得隔振頻帶過窄，這樣就難以滿足實(shí)際的隔振要求，在實(shí)際的應(yīng)用中過低的最大位移傳遞率并沒有必要。根據(jù)式(15)，可以計(jì)算出一定質(zhì)量比和頻率比條件下的隔振帶寬。

記f=ω/ω0， 給定N=2，μ=0.1， 作出傳遞率絕對值隨f的變化圖。圖2為Ⅰ型隔振器位移傳遞率絕對值圖。

圖2 Ⅰ型隔振器位移傳遞率絕對值圖Fig.2 Transmissibility plots showing the bandwidth of a type Ⅰ isolator

從圖2中可見，Ⅰ型液壓式反共振隔振器在反共振點(diǎn)周圍一定頻率范圍內(nèi)形成隔振帶寬，如果位移傳遞率為0.1，則隔振帶寬為0.042 2。

1.2 Ⅱ型液壓式反共振動(dòng)力隔振器

圖3是Ⅱ型液壓式反共振隔振器形式，它與Ⅰ型隔振器原理相同，但慣性質(zhì)量和和隔振對象具有不同的相對運(yùn)動(dòng)方向，忽略阻尼，其動(dòng)力學(xué)方程為

(16)

圖3 Ⅱ型液壓式動(dòng)力反共振隔振器Fig.3 Type Ⅱ hydraulic anti-resonant vibration isolator

系統(tǒng)的位移傳遞率為

(17)

根據(jù)式(16)可以得到Ⅱ型隔振器零極點(diǎn)位置關(guān)系

(18)

從式(17)可以看出，Ⅱ型液壓式反共振隔振器的零極點(diǎn)大小關(guān)系并不明確，選取不同的放大比α，零極點(diǎn)的大小關(guān)系將會發(fā)生變化。

采用同樣的方法，可以得到Ⅱ型隔振器隔振帶寬表達(dá)式

(19)

同樣，在N=2，μ=0.1時(shí)， 作位移傳遞率絕對值圖。圖4為Ⅱ型隔振器位移傳遞率絕對值曲線。

圖4 Ⅱ型隔振器位移傳遞率絕對值圖Fig.4 Transmissibility plots showing the bandwidth of a type Ⅱ isolator

圖2和圖4表明，Ⅰ型和Ⅱ型隔振器具有相同的隔振原理，如果位移傳遞率為0.1，Ⅱ型隔振器的隔振帶寬為0.010 2，比Ⅰ型隔振器帶寬要小。

2 隔振器帶寬分析

下面對Ⅰ型和Ⅱ型液壓式反共振隔振器帶寬進(jìn)行比較。

圖5是T0=0.05時(shí)，帶寬隨放大比α以及N的變化關(guān)系圖?？梢钥闯?，對Ⅰ型和Ⅱ型液壓式動(dòng)力反共振隔振器，在α和N取一定值的時(shí)候，都會出現(xiàn)隔振帶寬最小的情況。從圖中還可以看出，隔振帶寬可以無限大，但此時(shí)需要很小的α或者N，在工程設(shè)計(jì)中沒有意義。

圖5 帶寬隨α，N變化圖Fig.5 Bandwidth versus α and N comparisons

取位移傳遞率T0=0.05， 圖6為N=2時(shí)隔振帶寬與放大比α的關(guān)系， 圖7是隔振帶寬與N的關(guān)系。

從圖6可以看出，在固定N為2 的時(shí)候，Ⅰ型隔振器比Ⅱ型隔振器具有更大的帶寬。Ⅰ型隔振器的帶寬隨著放大比增大而降低，Ⅱ型隔振器不同，在放大比為3的時(shí)候帶寬為0，也即沒有隔振效果，接著隨著放大比增加帶寬增加。理論上，取較小的放大比可以得到較大的帶寬，但由式(10)可以看出，放大比和質(zhì)量比呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，如果α→1， 則μ→∞。 這意味著，如果采取很小的放大比，則需要非常大的慣性質(zhì)量，這在工程設(shè)計(jì)中也是沒有意義的。

圖6 帶寬隨放大比α變化圖Fig.6 Bandwidth versus α comparisons

圖7 帶寬隨頻率比N變化圖Fig.7 Bandwidth versus N comparisons

同樣，從圖7可以看出，在固定放大比α為2的時(shí)候，Ⅰ型隔振器帶寬隨著頻率比增大而減小，而Ⅱ型隔振器仍會出現(xiàn)帶寬為0的情況。類似地，取較小的頻率比可以得到較大的帶寬，但是由于低頻應(yīng)用的條件，希望反共振頻率要適當(dāng)小于系統(tǒng)無阻尼自然頻率，這時(shí)可根據(jù)實(shí)際需要確定相應(yīng)的頻率比。

對于不同的放大比和頻率比，Ⅰ型隔振器的隔振帶寬總是大于Ⅱ型隔振器的隔振帶寬。在單自由度隔振系統(tǒng)中，采用Ⅰ型隔振器比Ⅱ型隔振器具有更好的效果。

3 雙層液壓式反共振隔振器設(shè)計(jì)

3.1 動(dòng)力學(xué)模型

前面已經(jīng)討論了兩種單自由度液壓式反共振隔振器，可以看到，隔振器在反共振頻率周圍形成了隔振帶寬。如果再引入其它的反共振點(diǎn)，并且使這些反共振點(diǎn)接近，則可以進(jìn)一步擴(kuò)大帶寬。理論上，可以引入盡可能多的反共振點(diǎn)，考慮到實(shí)際情況，只討論2自由度的情況。

圖8為一種雙層液壓式反共振隔振器的設(shè)計(jì)。它分為上下兩層，下層為Ⅱ型液壓式反共振隔振器，上層為Ⅰ型液壓式反共振隔振器。記Ⅰ、Ⅱ型隔振器零點(diǎn)分別為ωz Ⅰ和ωz Ⅱ，極點(diǎn)分別為ωp Ⅰ和ωp Ⅱ。為了得到較大的帶寬，可以使Ⅱ型隔振器滿足ωz Ⅱ<ωp Ⅱ， 而Ⅰ型隔振器始終滿足ωp Ⅰ<ωz Ⅰ，從而實(shí)現(xiàn)

ωp Ⅰ<ωz Ⅰ<ωz Ⅱ<ωp Ⅱ

(20)

圖8 雙層液壓式反共振隔振器Fig.8 2-dof hydraulic anti-resonant vibration isolator

該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(21)

系統(tǒng)的位移傳遞率為

(22)

其中，

進(jìn)一步，可以將式(22)改寫成

(23)

從式(21)可以看出，雙層隔振器的零點(diǎn)表達(dá)式與單層一樣，但極點(diǎn)形式發(fā)生了變化。記系統(tǒng)零極點(diǎn)為ωz1，ωz2，ωp1，ωp1。則為

ωz1=ωz Ⅰ,ωz2=ωz Ⅱ

(24)

記較小的極點(diǎn)為ωp1， 下面比較ωp1和ωp Ⅰ的大小。 考慮ωp Ⅰ時(shí)，可將第一層隔振器和基座看作一個(gè)整體，隔振器工作時(shí)，系統(tǒng)彈簧處于同時(shí)拉伸或壓縮的狀態(tài)，此時(shí)作用在上層上的力減小，從而有ωp1<ωp Ⅰ。

另一方面，比較ωp2和ωp Ⅱ的大小。 考慮ωp Ⅱ時(shí)，可將上層隔振器和隔振對象看做一個(gè)整體，隔振器工作時(shí)，上下層彈簧狀態(tài)不同，這將導(dǎo)致作用在下層上的力增加，因而有ωp Ⅱ<ωp2。

由以上討論可以得到雙層液壓式反共振隔振器的零極點(diǎn)位置關(guān)系

ωp1<ωz1<ωz2<ωp2

(25)

3.2 隔振帶寬優(yōu)化設(shè)計(jì)

確定系統(tǒng)允許的最大傳達(dá)率T0后， 由T(ω)=-T0可以得到隔振帶寬的截止頻率ωs1和ωs2。由于在系統(tǒng)帶寬范圍內(nèi)存在兩個(gè)零點(diǎn)，因此在帶寬內(nèi)存在使得傳遞率絕對值取最大值的頻率，記該頻率為ωm。優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

約束條件

k1,k2≥k,m1,m2≥0,α1,α2≥1

在優(yōu)化過程中，有6個(gè)變量，m1，m2，k1，k2，α1，α2。將m2，k2，α1，α2稱為過程變量，剩下的m1，k1稱為決策變量。根據(jù)h2和h3可以解得m2和k2。通過h1和h4確定α1和α2。 給定μ，N,T0,m和k均取為1。根據(jù)設(shè)定的初始條件，采用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化，得到m1和k1，從而得到4個(gè)過程變量，結(jié)果見表1和表2。

表1 μ=0.1, N=2, T0=0.05時(shí)，優(yōu)化結(jié)果

從圖9可以看出，雙層隔振器有兩個(gè)反共振點(diǎn)，給定最大位移傳遞率時(shí)，利用兩個(gè)反共振點(diǎn)附近的頻率范圍得到隔振帶寬。雙層隔振器相比于Ⅰ型隔振器具有更大的帶寬，將近2.26倍。圖9中的局部最大值即為給定的最大位移傳遞率。

表2 μ=0.5, N=2, T0=0.05時(shí)，優(yōu)化結(jié)果

圖9 優(yōu)化結(jié)果與Ⅱ型隔振器比Fig.9 Bandwidth comparison of the 2-dof optimum design and a type Ⅱ isolator

圖9和圖10表明，較大的質(zhì)量比可以得到更大的帶寬。然而，提高質(zhì)量比會增加系統(tǒng)負(fù)擔(dān)，實(shí)際設(shè)計(jì)過程中應(yīng)該綜合來考慮。

圖10 優(yōu)化結(jié)果與Ⅱ型隔振器比較Fig.10 Bandwidth comparison of the 2-dof optimum design and a type Ⅱ isolator

4 結(jié) 論

建立了液壓式動(dòng)力反共振隔振器的帶寬表達(dá)式， 帶寬隨α的增加而減小， 隨N的減小而增加。選擇盡可能小的放大比可以得到較大的帶寬，但此時(shí)隔振系統(tǒng)所需的慣性質(zhì)量過大，這在實(shí)際設(shè)計(jì)中是要避免的。同時(shí)，N的減小與通常低頻隔振的要求相違背，因此，在液壓式動(dòng)力反共振隔振器的帶寬設(shè)計(jì)中，要綜合考慮α和N對帶寬的影響，并避開使得帶寬最小的α和N的取值。最后，提出了一種雙層液壓式動(dòng)力反共振隔振器，優(yōu)化分析表明，在給定最大位移傳遞率時(shí)，通過選取隔振器的參數(shù)，可以獲得最大的隔振帶寬。與Ⅰ型隔振器相比，雙層隔振器比單層隔振器具有更大的隔振帶寬。

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