陳森林，梁 斌，李 丹，陶湘明

（1.水資源與水電工程科學國家重點實驗室，湖北 武漢 430072； 2.武漢大學 水利水電學院，湖北 武漢 430072；3.中國電建集團 成都勘測設計研究院有限公司，四川 成都 610000）

1 研究背景

水庫中長期發(fā)電優(yōu)化調度是實現水能資源高效利用的重要技術手段，也是水電站及其水庫制定和實施中長期運行計劃的核心問題。隨著運籌學、系統(tǒng)工程及智能算法的逐步引入，水庫中長期發(fā)電優(yōu)化調度模型的求解方法和調度規(guī)則的研究得到了快速的發(fā)展。

在水庫發(fā)電優(yōu)化調度模型求解的眾多方法中，動態(tài)規(guī)劃算法（Dynamic Programming）以其適用于多時間段序貫決策并能靈活處理非線性、不連續(xù)優(yōu)化模型等特點而在水庫調度領域得到了廣泛應用［1］。隨著大量水庫電站的建成和投入使用，優(yōu)化算法的研究也由針對單個水庫或單個目標向梯級水庫和多目標轉變。為了避免庫群系統(tǒng)優(yōu)化調度模型求解的“維數災”問題，相關專家和學者對傳統(tǒng)動態(tài)規(guī)劃算法進行了諸多改進。趙銅鐵鋼等［1］分析了水庫調度目標函數的凹性和決策的單調性，提出了搜索域縮減算法和鄰域搜索算法。Tolson等［2］開發(fā)了一種全搜索域上產生初始解、通過迭代逐漸逼近局部空間內的動態(tài)降維算法。Zhang等［3］提出了基于動態(tài)規(guī)劃算法與遺傳算法的平行算法。紀昌明等［4］提出了基于泛函分析思想的動態(tài)規(guī)劃算法。孫平等［5］提出了一種基于狀態(tài)組合遍歷和多層嵌套兩種多維動態(tài)規(guī)劃算法的求解模式。鐘平安等［6］研究了場景樹在水庫調度隨機規(guī)劃中的應用。H.R.Howson［7］利用貝爾曼最優(yōu)化原理，提出了漸近優(yōu)化算法（Progressive Optimality Algorithm，POA）。以POA算法為依托，結合梯級調度的實際情況，相關學者對算法做了進一步的改進。李瑋等［8］將大系統(tǒng)分解協(xié)調理論以及POA逐步逼近思想相結合對算法進行了改進。周佳等［9］運用懲罰函數和約束轉換對POA算法進行改進。程春田等［10-11］提出了智能縮減系統(tǒng)求解規(guī)模策略和保證系統(tǒng)實用性的可視化交互法。馮仲愷等［12］結合正交試驗設計方法提出了正交試驗POA算法（OPOA）。張誠等［13］基于逐步差分和變階段優(yōu)化改進策略，提出了變階段逐步優(yōu)化算法。在智能算法方面，Schardong A等［14］提出了一種自適應多目標差分進化算法與網絡流算法結合的混合算法。Haddad O B等［15］運用生物地理優(yōu)化算法（BBO）來解決水庫優(yōu)化調度問題，在單庫調度與多庫聯調計算中都取得了良好的調度效果。

由于庫容曲線、水電站下游流量關系曲線采用離散值數值關系，使得水能計算中動力指標（庫蓄水量、發(fā)電流量、發(fā)電水頭及出力等）只能采用數值計算方法，從而導致傳統(tǒng)優(yōu)化調度模型的表達及其求解只能采用離散數值方法。針對這一問題，本文基于水庫特性曲線的函數化，建立了水庫中長期發(fā)電優(yōu)化調度的解析函數模型，并基于POA算法原理提出了解析優(yōu)化方法—APOA算法。通過獅子灘水庫應用表明，APOA優(yōu)化結果與POA相近，但計算效率顯著提高。

由于目前難以證明不同水庫的庫容-水位關系和下游流量-水位關系符合某種函數型式，應用函數進行描述（稱為“一次應用”）必然存在一定的擬合誤差。但因水庫中長期發(fā)電調度重點在于過程（庫水位、出力等）和相關統(tǒng)計指標（發(fā)電量、用水量、保證率等），所以，發(fā)電調度（稱為“二次應用”）的計算精度才是關鍵。

2 特性曲線和動力指標的函數表達

2.1 特性曲線的函數化表達

（1）水庫庫容-水位關系函數。由于出力公式中水頭的計算需要由庫容推求水庫水位，因此，以庫容為自變量、庫水位為因變量的函數關系用三次多項式表達：

式中：Zup為水庫水位，m；V為水庫蓄水量（庫容），（×l）m3；A、B、C、D為水庫庫容-水位關系函數的參數。

為了保證式（1）的擬合精度，Zup和V的數量級應該相當或接近，因此，水庫庫容宜取l=104、106或108的數量單位，并在水庫調度方程中進行換算。

由于受測算方法和河床沖淤等影響，壩前水位以下水庫的蓄水容積無法得到準確值，所以，水庫調度計算中以數值形式表達的庫容曲線并不是真實的水位-庫容關系。同時，水庫實際調度中，相對庫蓄水量而言，庫水位數值的準確性更受關注。

（2）水電站下游流量-水位關系函數。假設水庫出流為水電站出流（出現棄水時再另外處理），下游流量水位關系一般可用二次多項式表示為：

式中：Zdown為水電站下游水位，m；Q為水電站發(fā)電流量，m3/s；a、b、c為下游流量-水位關系函數的參數。

（3）水電站發(fā)電流量-水頭損失關系函數。由于受短期和廠內機組負荷分配及多方面計算條件的概化影響，中長期調度的水頭損失屬于一個統(tǒng)計值，但在水能計算中又不能完全忽略。因此，在水能規(guī)劃或水電站實際運行中，水電站水頭損失一般取固定值、或根據發(fā)電引水管道系統(tǒng)推求發(fā)電流量-水頭損失關系的二次函數關系：

式中：ΔH為水電站水頭損失，m；α為水電站發(fā)電流量-水頭損失關系函數的參數。

（4）水電站預想出力-水頭關系函數。預想出力為水電站實際運行中可能承擔的最大出力（負荷），與水電站運行的凈水頭有關。凈水頭大于設計水頭時，預想出力等于水電站裝機容量，否則，預想出力與凈水頭成正比關系，可用分段線性函數關系表達：

式中：H、Hsj分別為水電站凈水頭和設計水頭，m；Py、Pyx分別為水電站裝機容量和水頭H下的預想出力，kW；β為水電站預想出力-水頭關系函數的參數。

2.2 水電站動力指標函數表達對任意一個時段t，如果已知時段初、末庫蓄水量，基于水庫特性曲線的函數關系，可以將水電站動力指標表示為函數形式。

（1）發(fā)電流量。由水庫水量平衡方程可得發(fā)電流量：

式中：It、Qt分別為t時段平均入庫流量和發(fā)電流量（暫不考慮棄水），m3/s；Vt-1、Vt分別為t時段初、末水庫蓄水量，（×l）m3；λt為庫蓄水量到流量的轉換系數，

為t時段的時段長，h。

（2）水電站凈水頭?；跁r段內要素線性變化假設和式（1）—（3），任一時段t水電站凈水頭為：

式中：Ht為t時段水電站凈水頭，m；、ΔHt分別為t時段平均庫水位、下游水位及水頭損失，m。

（3）水電站出力。根據出力公式和式（6），可得t時段水電站平均出力：

式中：K為水電站出力系數；Pt為水電站t時段平均出力，kW。

由式（7）既可由流量推求出力（“以水定電”顯式計算），也可由出力推求流量（“以電定水”非線性函數方程迭代計算）。

3 水庫中長期發(fā)電優(yōu)化調度的解析函數模型

3.1 目標函數以水電站調度期總發(fā)電量最大為準則的目標函數為：

式中：T為調度期總時段數；ET為調度期最優(yōu)總發(fā)電量，kW?h。

3.2 約束條件

（1）水庫蓄水量約束。包括水庫蓄水量的上、下限約束：

（2）綜合利用約束。主要指通過發(fā)電產生的下游用水需求（上游用水可在式（5）考慮）：

式中：Qmint為t時段水庫下泄流量的下限，m3/s。

（3）出力約束

水電站主要存在預想出力的Pmaxt限制，而電力系統(tǒng)則可能同時存在上下限限制，因此，式（11）是水電站和電力系統(tǒng)兩種約束的合集。

（4）水庫蓄水量邊界約束。包括調度期初始和終止水庫蓄水量約束：

式中：VBeg、VEnd分別為調度期初始和終止水庫蓄水量，m3。

以式（1）—式（7）為基礎，式（8）為目標函數，式（9）—式（12）為約束條件，構成了水電站中長期發(fā)電優(yōu)化調度的解析函數模型（目標函數與約束條件均為解析函數）。值得注意的是，為了保證庫水位和蓄水量計算的一致性，和VBeg、VEnd應根據相應的庫水位由式（1）推求，不應采用原庫容曲線插值得到的數值。

由式（8）可知，解析函數模型與傳統(tǒng)優(yōu)化數學模型主要區(qū)別在于兩個方面：一是前者的動力指標全部通過函數計算，而后者則需要進行曲線插值等數值計算；二是前者將水庫水量平衡約束耦合到目標函數，建立了以庫蓄水量Vt為決策變量的非線性函數模型。

4 優(yōu)化模型求解方法——APOA算法

由于突變型約束條件式（9）—式（11）的限制，該解析函數模型目前仍然難以整體解析求解。但基于水庫水電站特點和約束條件的數學表達式，可以將約束條件合并為兩類約束：一是“水量約束”，包含式（9）和式（10）；二是“出力約束”，包含式（11）。這兩類約束均可以分別進行耦合處理。

在動態(tài)規(guī)劃改進算法中，POA算法將全過程的優(yōu)化分解為逐個二階段優(yōu)化問題，并應用一維搜索求解二階段問題，既有效減少了決策變量的搜索空間，又回避了后效性問題。因此，我們借鑒POA算法的基本思路，提出了基于POA算法的解析方法（Analytic Progressive Optimality Algorithm，APOA），APOA與POA法的本質區(qū)別在于二階段優(yōu)化問題的求解方法，APOA采用單一變量的函數求極值方法（不需離散狀態(tài)變量），而POA采用一維數值搜索方法。

由于式（9）—式（12）的約束導致解析函數模型的二階段優(yōu)化問題仍然難以直接求解，所以APOA法由二步算法組成：第一步，確定庫蓄水量Vt，即以式（8）為基礎建立二階段優(yōu)化模型，采用無約束函數（不考慮棄水）求極值方法，并考慮“水量約束”，推求“初步最優(yōu)解”；第二步，確定兩個時段的出力、發(fā)電流量及棄水流量，即如果“初步最優(yōu)解”不能滿足出力約束式（11），則按照一定規(guī)則對其進行修正（可能包括棄水流量計算），最終得到解析函數模型的最優(yōu)解。

4.1 考慮“水量約束”的二階段優(yōu)化模型對于任意兩個相連時段t和t+1，涉及3個時刻的庫蓄水量Vt-1、Vt及Vt+1，從POA算法可知，Vt-1和Vt+1為已知值，而Vt為待求的優(yōu)化決策變量。

（1）目標函數。根據式（8）可整理得二階段優(yōu)化問題的目標函數為：

p4為常數項，由于不影響式（13）的極值點（或駐點）求解，可不做討論；Wt和Wt+1為常數項，分別由下式計算：

由此可見，二階段發(fā)電量最大模型的目標函數為Vt的一元三次多項式。

（2）約束條件。根據約束條件式（9）和式（10），可以確定同時考慮庫蓄水量和綜合利用約束下Vt的可行域。由式（5）和式（10）可得：

基于式（14），整理式（15）可得：

綜合約束式（9）和式（16）可得：

以式（13）為目標函數，式（17）為約束條件，就構成了考慮“水量約束”的二階段優(yōu)化數學模型。

4.2 二階段優(yōu)化模型求解方法如果出現，則說明二階段問題無可行解（“初始解”存在或迭代計算中出現的），此時應保證t時段為可行解，即按照和取大值原則推求t時段出力和發(fā)電流量即可。否則，按以下方法推求。

應用式（5）可將式（13）的p1整理為：

對式（13）求一階導數，并令其等于0可得：

式（19）為二次多項式方程，其判別式為：

根據判別式（20）的取值不同，式（13）的“初步最優(yōu)解”確定方法如下：

（2）若Δ>0，則式（19）在( )-∞,+∞上有兩個不同實根ν1和ν2（不妨設ν1<ν2）：

4.3 考慮出力范圍約束的最優(yōu)解根據“初步最優(yōu)解”Vt，由式（7）可以計算兩個時段的出力Pt和Pt+1。雖然Vt滿足“水量約束”，但Pt和Pt+1還必須滿足“出力約束”，這里先討論出力范圍約束。根據Pt和Pt+1與式（11）的出力范圍，理論上可能存在9種組合情形（如表2所示）。通過多個實例水庫實際年份長系列優(yōu)化的計算結果統(tǒng)計，各水庫在滿足“水量約束”下“初步最優(yōu)解”的每一個二階段的出力組合占比情況如表3所示（其數值主要與各水庫的徑流過程、初始與終止水位及“水量約束”有關）。

表1 “初步最優(yōu)解”確定方法

圖1 極值點與可行域的位置關系

從表3的實例計算結果可知，主要集中于①②⑤，且從⑤所占比例來看，大部分情形下均不需要進行修正。其中，情形①②⑥主要出現在豐水期水庫蓄水以抬高后期水位所致（參見圖6）、情形④⑧則出現在枯水期消落段。因此，基于水庫優(yōu)化調度實際和POA算法原理，應優(yōu)先保證t時段滿足“出力約束”，如果t+1時段無法滿足“出力約束”，可以留給下一個二階段問題解決，因此，表2的9種情形可以分為5種處理類型：

表2 二階段出力組合情形分類

（1）“不需要修正”型。情形⑤的“初步最優(yōu)解”也滿足“出力約束”，不需要修正；

（2）“二保一”型。情形①⑨應尋求Pt滿足“出力約束”（放棄Pt+1約束，留待后續(xù)計算解決）；

（3）“優(yōu)先保證”型。情形②⑧應優(yōu)先保證Pt滿足“出力約束”（可能引起Pt+1不滿足約束，留待后續(xù)計算解決）；

（4）“二步修正”型。情形③⑦應首先保證Pt滿足邊界“出力約束”，可能直接轉換為⑤，也可能分別轉換為情形④⑥再繼續(xù)調整；

（5）“全?！毙汀ａ槍η樾微堍?，應在保證Pt可行的條件下，尋求Pt+1也達到邊界“出力約束”。

從POA算法的全過程順序計算流程角度看，“出力約束”檢驗與“初步最優(yōu)解”的修正方法，應該先判斷t時段、后判斷t+1時段，對每個時段先判斷下限再判斷上限，因此，表2的8種不可行情形可由以下（最多）4步方法進行修正：

圖2 APOA的“初步最優(yōu)解”修正算法流程

此外需要說明的是，每個二階段優(yōu)化問題，可以通過4次“以電定水”（最大、最小出力）計算，確定滿足“出力約束”的Vt上下限，再與式（17）取交集得到，這樣就不需要進行出力修正。由于“以電定水”需要迭代計算，計算效率較低，如果只用于少量時段的修正則更有利于提高計算效率。

5 實例應用及成果分析

獅子灘水庫是重慶龍溪河梯級的龍頭水庫，具有多年調節(jié)能力，該水庫以發(fā)電為主，兼顧防洪、灌溉、養(yǎng)殖、航運、旅游等綜合利用任務。正常蓄水位為347 m，前汛期防洪限制水位346.3 m，后汛期防洪限制水位346.8 m，死水位為328.5 m，調節(jié)庫容7.33億m3。發(fā)電保證率為90%，保證出力為15 100 kW，裝機容量為54 200 kW。水庫特性曲線及擬合情況如圖3和圖4所示。

圖3 庫容-水位關系曲線

圖4 下游流量-水位關系曲線

為了驗證解析函數模型和APOA算法的科學性和高效性，本文分別針對典型年和長系列兩種優(yōu)化問題開展應用研究，并與POA算法的兩種計算方案進行對比：（1）POA-Ⅰ算法。即傳統(tǒng)的POA算法，庫容水位以及下游水位流量關系的插值計算均采用分段線性插值，其二階段優(yōu)化過程和迭代遞推過程使用離散狀態(tài)變量的方法尋優(yōu)。（2）POA-Ⅱ算法。與POA-Ⅰ的不同之處在于，采用式（1）和式（2）的庫容水位以及下游水位流量關系函數計算。

5.1 典型年優(yōu)化計算給定年初末水位均為死水位，分別選取10%、50%及90%水平年的入庫徑流（如圖5所示），針對以上計算方案，可得到各種算法不同典型年的最優(yōu)庫蓄水位過程線（如圖6所示，其中pre-APOA為僅滿足“水量約束”的“初步最優(yōu)解”過程）、水位誤差（如圖7所示）以及年發(fā)電量（如表4所示）。

（1）從表4可見，APOA算法與POA-Ⅰ算法的發(fā)電量相差僅0.03%～0.25%，水位過程相差最大不超過0.11 m（如圖7所示），因此，對于水庫中長期發(fā)電調度而言，解析函數模型及APOA算法幾乎沒有降低優(yōu)化計算精度（受多種因素影響，POA算法的計算結果嚴格來說也不是真實最優(yōu)解）。

（2）對比APOA和pre-APOA的蓄水過程（如圖6所示）可知，不考慮“出力約束”的枯水年水位過程（最小出力按保證出力限制的最優(yōu)解）全部高于考慮“出力約束”的過程，平水年和豐水年則比較接近，僅少數時段偏高。這種現象正確反映了水庫前期力爭蓄水、以抬高后期發(fā)電水頭的客觀規(guī)律。

圖5 獅子灘水庫典型年逐月入庫流量

圖6 獅子灘水庫各典型年優(yōu)化調度蓄水過程線

圖7 各典型年APOA和POA-Ⅰ的水位相差過程線

5.2 長系列優(yōu)化計算為了檢驗本文方法的高效性，對獅子灘水庫1958—2005年逐月徑流進行長系列優(yōu)化計算（式（11）的最小出力為保證出力），相關統(tǒng)計指標如表5所示。

由上述計算成果可知，APOA法與傳統(tǒng)POA算法相比，主要指標誤差很小（發(fā)電保證率還略有提高），但APOA算法耗時僅為傳統(tǒng)POA算法的1/20。由此表明，解析函數模型及APOA算法在保證不降低計算精度的前提下，能顯著減小優(yōu)化計算時間。

表4 不同算法典型年發(fā)電量（單位：億kW·h）

表5 獅子灘水庫中長期優(yōu)化調度計算結果

6 結論

本文針對現行水庫發(fā)電優(yōu)化調度數學模型一直采用數值計算方法的缺陷，基于庫容-水位關系和尾水流量-水位關系的函數化，建立了水庫中長期發(fā)電優(yōu)化調度的解析函數模型，并借鑒傳統(tǒng)POA算法提出了解析函數模型的APOA算法。通過獅子灘水庫典型年和長系列應用、并與POA算法對比表明，該解析優(yōu)化數學模型及APOA算法在不降低計算精度的前提下，能顯著減小水庫優(yōu)化調度的計算時間。因此，該解析函數模型及APOA算法不僅具有算法穩(wěn)定、計算效率極高的特點，而且為水庫中長期發(fā)電優(yōu)化調度的解析研究途徑進行了有益的探索。

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