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(中國工程物理研究院總體工程研究所，綿陽 621999)

0 引言

主軸回轉(zhuǎn)誤差是評價機床性能的重要指標，而回轉(zhuǎn)誤差通常與主軸圓度誤差、安裝偏心差混合在一起，無法直接測量，需對采集得到的原始數(shù)據(jù)進行誤差分離得到純回轉(zhuǎn)誤差[1-3]，三點法誤差分離算法是動態(tài)回轉(zhuǎn)誤差測試應(yīng)用的最為廣泛的方法之一[4-5]。但目前的研究中還存在以下兩個方面的不足：誤差分離精度會隨著主軸轉(zhuǎn)速的提高而降低；環(huán)境中的白噪聲將混入到誤差分離結(jié)果[6]。這兩個因素均會影響誤差分離的精度。為了提高主軸回轉(zhuǎn)誤差的分離精度，在數(shù)據(jù)采集和處理過程中，提出了兩種有效的方法：采用變頻率數(shù)據(jù)采集方法，確保了在不同轉(zhuǎn)速下采集得到的數(shù)據(jù)的諧波分量相同，使誤差分離精度不會因轉(zhuǎn)速的升高而降低；為了消除環(huán)境中白噪聲對誤差分離精度的影響，在同一穩(wěn)定轉(zhuǎn)速下對主軸輪廓連續(xù)采集十個周期的數(shù)據(jù)，采用集合平均濾波方法消除混雜在測試數(shù)據(jù)中的白噪聲。搭建了試驗系統(tǒng)，利用提出的方法分離出了機床主軸不同轉(zhuǎn)速下的純回轉(zhuǎn)誤差、圓度誤差和安裝偏心差，驗證了方法的有效性。

1 三點法回轉(zhuǎn)誤差測試原理

基于三點法的回轉(zhuǎn)誤差測試示意圖如圖1所示，將三只測位移傳感器按一定的角度安裝在主軸同一截面周圍，在主軸旋轉(zhuǎn)時對主軸的外輪廓進行采集，然后從采集得到的數(shù)據(jù)中分離出純回轉(zhuǎn)誤差、圓度誤差和安裝偏心差。

圖1 三點法回轉(zhuǎn)誤差測試示意圖

當(dāng)主軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，三只傳感器的輸出可表示為:

(1)

其中:θ為主軸旋轉(zhuǎn)的角幅度，Mi(θ) 為主軸旋轉(zhuǎn)時主軸表面到傳感器的距離，σX(θ)和σY(θ)分別表示回轉(zhuǎn)誤差在x軸y軸方向的分量，且:

(2)

V(θ),V(θ+α) 和V(θ+β) 是周期性的主軸輪廓信號，因此，可以展開為傅里葉級數(shù)形式，其傅里葉級數(shù)形式為:

(3)

式(3)中A0k為主軸表表面到傳感器的平均距離，A1和B1分別表示主軸安裝偏心誤差在x軸向和y軸向的分量。將(3)進行離散化處理可得:

(4)

式(4)中，N為主軸旋轉(zhuǎn)一周采集的數(shù)據(jù)總數(shù)，i表示第i個采樣點，且p1=αN/2π，p2=β/2π，平均距離A0k可以通過式(5)計算得到。

(5)

主軸圓度誤差可定義為由二階次以上諧波組成的分量[1]。

(6)

定義信號S1、S2和S3分別由三個方向的圓度誤差和回轉(zhuǎn)誤差組成。

(7)

定義信號S為S1、S2和S3的線性組合:

S(i)=c0S1(i)+c1S2(i)+c2S3(i)

(8)

將式(7) 帶入 (8) 可得:

S(i)=c0r(i)+c1r(i+p1)+c2r(i+p2)+

[c0+c1cos(2πp1/N)+c2cos(2πp2/N)]σX(i)+

[c1sin(2πp1/N)+c2sin(2πp2/N)]σY(i)

(9)

當(dāng)系數(shù)c0,c1和c2滿足式 (10)時，信號S中只剩下圓度誤差的線性組合，即可完成圓度誤差和回轉(zhuǎn)誤差的分離:

(10)

令c0=1 可計算出c1和c2的值，分別為:

(11)

將式(11)帶入式(8)可得:

S(i)=r(i)+c1r(i+p1)+c2r(i+p2)

(12)

對式(12)兩邊進行離散傅里葉變換可得:

S(n)=r(n)G(n)

(13)

其中:

G(n)=1+c1ej2πnp1/N+c2ej2πnp2/N

(14)

主軸圓度誤差可通過式(15)計算得到:

r(i)=F-1[S(n)/G(n)]

(15)

對式(2)進行離散化后可得:

(16)

令:

dk=Mk-A0k

(17)

將式(16)帶入(17)得:

A1cos2πi/N+B1sin2πi/N+σ(i)cos(2πi/N)=d0-r(i)

(18)

d1-r(i+p1)=A1cos2π(i+p1)/N+B1sin2π(i+p1)/N+

σ(i)cos(2πi/N)cos(2πp1/N)+σ(i)sin(2πi/N)sin(2πp1/N)

(19)

其中:

(20)

將(18)和(20)帶入(19)化簡可得:

-A1sin(2πi/N)+B1cos(2πi/N)+σ(i)cos(2πi/N)=

{[d1(i)-r(i+p1)]-[d0(i)-r(i)]

cos(2πp1/N)}/sin(2πp1/N)

(21)

令:

g1(i)=d0-r(i)

(22)

g1(i)={[d1(i)-r(i+p1)]-[d0(i)-r(i)]

cos(2πp1/N)}/sin(2πp1/N)

(23)

則式(18)×sin(2πi/N)-(21)×cos(2πi/N)得:

g1(i)sin(2πi/N)-g2(i)cos(2πi/N)=

A1sin(4πi/N)-B1cos(4πi/N)

(24)

式(24)兩邊同時乘以sin(4πi/N)并在一個采樣周期內(nèi)積分取平均可得:

(25)

式(24)兩邊同時乘以cos(4πi/N)并在一個采樣周期內(nèi)積分取平均可得:

式(18)×cos(2πi/N)+(21)×sin(2πi/N)可得純圓度誤差:

σ(i)=g1(i)sin(2πi/N)-g2(i)cos(2πi/N)-

A1sin(4πi/N)-B1cos(4πi/N)

(26)

2 實驗系統(tǒng)設(shè)計與數(shù)據(jù)采集

圖2為針對機床主軸回轉(zhuǎn)誤差測試搭建的實驗系統(tǒng)，采用電容測微儀對主軸回轉(zhuǎn)輪廓進行外基準測距，通過24位高精度PXI數(shù)據(jù)采集卡對電容測微儀數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)采集，并基于Labview平臺開發(fā)了誤差分離軟件。為了確保在不同轉(zhuǎn)速下，整周期采集的數(shù)據(jù)總數(shù)相同，數(shù)據(jù)采集卡根據(jù)主軸旋轉(zhuǎn)頻率以變頻率的方式進行數(shù)據(jù)采集。令fs為采樣頻率，fr為主軸旋轉(zhuǎn)頻率，則:

fs=Nfr

(27)

圖2 試驗系統(tǒng)

為了得到較高精度的誤差分離結(jié)果，N應(yīng)盡可能的大，即:

(28)

本文所采用的PIX數(shù)據(jù)采集卡的最高采樣頻率有fsmax=8 kHz，而被測量機床主軸的最高轉(zhuǎn)速頻率為frmax=5 Hz，因此，Nmax=1 600。

圖3 主軸輪廓原始數(shù)據(jù)

圖3是轉(zhuǎn)速分別為時90 r/min、120 r/min和300 r/min采集得到的原始數(shù)據(jù)，從圖中可以看出，通過變頻率采樣的方法，在不同轉(zhuǎn)速下每周期采集的到的數(shù)據(jù)點數(shù)是一致的。從圖3中還可以看出，測試數(shù)據(jù)中耦合了大量的白噪聲，這將影響誤差分離精度。因此，采用集合平均濾波方法將白噪聲的影響減小到最小。該方法的主要思想是對主軸回轉(zhuǎn)輪廓進行多周采樣，然后將采樣得到的數(shù)據(jù)進行集合平均，消除白噪聲。假設(shè)要對K圈數(shù)據(jù)進行集合平均, 則平均算法為:

(29)

本文中K=10，濾波并去直流分量后得到的數(shù)據(jù)如圖4所示。數(shù)據(jù)中包含了主軸的安裝偏心誤差、圓度誤差和回轉(zhuǎn)誤差。

3 誤差分離

采用三點法誤差分離算法對圖4中的數(shù)據(jù)進行誤差分離，分離得到的圓度誤差的極坐標圖如圖5所示，為了能夠直觀的看出安裝偏心差，圖5中將分離得到的偏心差耦合到了圓度誤差的極坐標圖中。

從圖5中可以看出，不同轉(zhuǎn)速下分離得到的圓度誤差和偏心誤差的值非常一致，而在相位上有偏差，這是由于在不同轉(zhuǎn)速下的采樣起始相位不一致造成的，但則并不影響誤差分離精度。不同轉(zhuǎn)速下圓度誤差的各階次諧波頻譜圖如圖6所示。

從圖6中可以看出，不同轉(zhuǎn)速下圓度誤差的各諧波幅值也高度一致，說明本文的誤差分離結(jié)果是可信的。不同轉(zhuǎn)速下回轉(zhuǎn)誤差分離結(jié)果如圖7所示。

圖4 回轉(zhuǎn)誤差、圓度誤差和安裝偏心差組合信號

圖5 圓度誤差與安裝偏心差

圖6 圓度誤差頻譜圖

圖7 回轉(zhuǎn)誤差分離結(jié)果

4 結(jié)論

本文提出了兩種可以提高主軸回轉(zhuǎn)誤差分離精度的方法：采用浮頻數(shù)據(jù)采集方法，確保了在不同轉(zhuǎn)速下采集得到的數(shù)據(jù)的諧波分量相同，使誤差分離精度不會因轉(zhuǎn)速的升高而降低；為了消除環(huán)境中白噪聲對誤差分離精度的影響，在同一穩(wěn)定轉(zhuǎn)速下對主軸輪廓連續(xù)采集十個周期的數(shù)據(jù)，采用集合平均濾波方法混在測試數(shù)據(jù)中的白噪聲。搭建了試驗系統(tǒng)，利用提出的方法分離出了機床主軸不同轉(zhuǎn)速下的純回動態(tài)轉(zhuǎn)誤差、圓度誤差和安裝偏心差，驗證了方法的有效性。

[1]Denis S A, Samuel G L. Harmonic-analysis-based method for separation of form error during evaluation of high-speed spindle radial errors, The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2012,59(5):445-461.

[2] 陳長浩．主軸運動精度的測試與研究[D]．北京: 北京工 業(yè)大學(xué)，2010.

[3] 雷賢卿，李 言，周彥偉，等.3點法圓度誤差分離技術(shù)的新算法[J]．兵工學(xué)報，2007，28(1)：73-77.

[4] 劉 敏.超精密主軸回轉(zhuǎn)精度測試研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2007．

[5] 凌明祥，李明海，王 玨,等. 空氣軸承徑向回轉(zhuǎn)誤差測量精度建模與仿真[J].計算機測量與控制, 2013, 21(8):2068-2070.

[6] Fujimaki K, Sase H, Mitsui K. Effects of sensor noise in digital signal processing of the three-point method, Measurement Science and Technology. 2008,19(1):957-233.