李科

摘 要：文章首先從使數(shù)軸具有對稱性的負數(shù)開始，再從距離入手找出了使整數(shù)和奇數(shù)具有對稱性的法則，進而引出素數(shù)對稱群Li（yP）概念，依據(jù)Li（yP）的性質(zhì)將所有素數(shù)對稱群的集合稱為幫B（P）——一個全新的數(shù)學模型，續(xù)而結(jié)合哥德巴赫猜想探討幫的性質(zhì)，即發(fā)現(xiàn)幫的素數(shù)DNA的遺傳性和幫的派函數(shù)Pi（i）。

關(guān)鍵詞：對稱群；數(shù)論；素數(shù)；幫派論；幫；DNA

中圖分類號：O156

文獻標識碼：A

在《對稱群與哥德巴赫猜想》一文中為了解決哥氏猜想（1+1）證明的問題引入了一個新的群——“整數(shù)的對稱群”。但由于篇幅及目的等問題沒能就其深刻含義進行進一步的探究，果不其然，剛發(fā)表就有讀者表示看不大明白。這是很正常的，畢竟新的數(shù)學模型（新分支對稱群的集合-幫論）被接受是需要適應期的。所以我認為有必要對這個我在高溫假期間創(chuàng)建于海邊的理論做單獨且較為科普式的講解。不多說，詳見下文。

一、對稱群及幫的概念

1.對稱群的由來

我們知道，全體實數(shù)可以用一條數(shù)軸表示，那么全體整數(shù)自然也可用該數(shù)軸表示。具體地說，整數(shù)可以用數(shù)軸上一連串的點表示，如圖1所示。

圖1中，可以看出當人們引入負數(shù)后0成了數(shù)軸的中心，所有自然數(shù)有了關(guān)于0點的對稱點-負數(shù)（用本文的觀點也稱為0的整數(shù)對稱群）。關(guān)于0點對稱的整數(shù)有無窮多個。但整數(shù)關(guān)于1對稱嗎？關(guān)于2對稱嗎？也就是說為何1和2等整數(shù)不能作為對稱中心（對稱軸）呢？

當然可以，只是不能在以整數(shù)元素自身作為性質(zhì)判斷了。如果將整數(shù)到對稱中心的距離作為考察性質(zhì)，群自然出現(xiàn)了，問題迎刃而解（且不影響0）。比如，1的整數(shù)對稱群的元素為（1，1）（0，2）（-1，3）（-2，4）等，對稱距離分別為0，1，2，3...；3的整數(shù)對稱群有（2，4）等。它們的元素對依舊是無窮多個（無窮群）。而3的素數(shù)對稱群元素只有（3，3）；4的素數(shù)對稱群元素只有（3，5）；5的素數(shù)對稱群只有元素（5，5）和（3，7）；越往后對稱群的元素組可能越大，但由于最小的奇素數(shù)為3，最小對稱軸為3，所以只有正無窮的素數(shù)對稱群才會擁有無窮多個元素（對）。這樣的群的元素往往是有限的（有限群）。至此我們對“對稱群”有了初步的了解。

2.對稱群概念

筆者在《對稱群與哥德巴赫猜想》中對于對稱群的定義為：凡是某數(shù)集X中存在元素x關(guān)于特定數(shù)y存在對稱數(shù) τ（x）且τ（x）也屬于數(shù)集X，則稱其為y的某數(shù)集對稱群，記做Li（yX）。其中Li表示對稱群，y為特定數(shù)（對稱軸），X表示某數(shù)集。如整數(shù)對稱群Li（yN+）的x和τ（x）都是整數(shù)，奇數(shù)對稱群Li（yO+）的x和τ（x）都是奇數(shù)，（奇）素數(shù)對稱群Li（yP）的x和τ（x）都是素數(shù)（這些群的計算不是加或乘，而是180°旋轉(zhuǎn)，其逆為反旋轉(zhuǎn)）。關(guān)于整數(shù)、奇數(shù)和素數(shù)的對稱群舉例參見表1：

從表1中可以看出，所有Li（yP）?Li（yO+）? Li（yN+）。雖然該表述可以表達意思，但是卻顯得不夠清晰，因為將一個具有對稱性質(zhì)的群的集合只稱為集合有欠妥當。正如第1小點中所述，所以關(guān)于整數(shù)、奇數(shù)及素數(shù)的對稱群也可簡單定義為關(guān)于固定數(shù)y對稱的同屬性數(shù)集。該數(shù)集若是整數(shù)就稱為數(shù)y的整數(shù)對稱群，以此類推，具體到整數(shù)、奇數(shù)、素數(shù)舉例如下：

（1）1的整數(shù)對稱群Li（1N+）=（1，1）（0，2）（-1，3）（-2，4）等無窮多元素；

（2）4的（正）奇數(shù)對稱群Li（4O+）=（3，5）（1，7）；

（3）4的素數(shù)對稱群Li（4P）=（3，5）。

若將這些群用對稱軸及元素到對稱軸距離的圖形表示會更具形象化，在此列舉幾例，參見圖2：

從圖2中可明顯看出，特定數(shù)y的各種屬性的對稱群，如同一枚枚晶體懸掛在數(shù)軸上。至此我們可以說：負數(shù)的引入使得數(shù)關(guān)于0對稱了；復數(shù)的引入使得數(shù)關(guān)于數(shù)軸對稱了；對稱群的引入使得數(shù)關(guān)于數(shù)對稱了（可謂第三次數(shù)軸革命，在實數(shù)軸上對稱群只有一個對稱軸，如果引入復數(shù)，那將是另一片天地，在此不贅述）。

3.幫-對稱群的集合

無論哪種群，若群的對稱軸也具有某一共同性質(zhì)，我們將所有對稱軸對應的群集合成為“幫”，記做BY（X），讀作Y的X對稱幫。其中B表示幫，X為某數(shù)集性質(zhì)，Y為對稱軸集合（為整數(shù)時省略）。所以幫實際是所有具有同一性質(zhì)群的集合。所以關(guān)于所有整數(shù)的整數(shù)對稱群稱為整數(shù)的整數(shù)對稱幫（簡稱整數(shù)的整數(shù)幫）；所有整數(shù)的奇數(shù)對稱群稱為整數(shù)的奇數(shù)對稱幫；所有整數(shù)的素數(shù)對稱群稱為整數(shù)的素數(shù)對稱幫；當然所有對稱軸為偶數(shù)的整數(shù)對稱群稱為偶數(shù)的整數(shù)對稱幫。這種表述更為妥當，所以《對稱群與哥德巴赫猜想》找到了所有整數(shù)的素數(shù)對稱群實為證明了整數(shù)的素數(shù)對稱幫的存在定理。那么有關(guān)這個對稱群集合“幫”的研究就可以簡稱為“幫論”了?！秾ΨQ群與哥德巴赫猜想》由于側(cè)重點原因而沒有細說有關(guān)幫（整數(shù)的素數(shù)幫）的性質(zhì)，以下就幾條重點的加以介紹，以便于更好地理解這一全新概念。

二、整數(shù)的素數(shù)幫的性質(zhì)

（一）幫的元素

由于只有素數(shù)2為偶數(shù)，所以文中整數(shù)的素數(shù)幫指的是整數(shù)的奇素數(shù)幫。既然幫是具有同一性質(zhì)對稱軸的對稱群的集合，那么幫的元素自然就是所有對稱群，對稱群的元素才是具體的數(shù)集。有關(guān)幫及對稱群元素的性質(zhì)，可以將幫分類：

若每個對稱群的元素等同于所有對稱群的元素，這個幫就稱為大幫，如整數(shù)的整數(shù)幫是大幫；若對稱群的元素少于所有對稱群的元素，這個幫就稱為小幫，如整數(shù)的素數(shù)幫是小幫。

若幫的對稱軸增加其對應的對稱群元素組也增加的幫稱為遞增幫（整數(shù)的正奇數(shù)幫）；反之稱為遞減幫。

若幫中的對稱群的對稱軸是沿數(shù)軸兩個方向的成為雙向幫（整數(shù)的整數(shù)幫）；而只沿單方向的成為單向幫（整數(shù)的素數(shù)幫）。

總之，有關(guān)幫及元素等不同性質(zhì)的變化可討論幫的各種特性，可根據(jù)具體需要進行探討，此處不贅述。

（二）素數(shù)幫

從緒論看到現(xiàn)在，對于對稱群及幫的概念也許有了進一步的了解。但也可能有點轉(zhuǎn)向，為便于深刻理解整數(shù)的素數(shù)幫，請看圖3：

從圖3中可以清楚地看出什么是對稱軸，什么是素數(shù)對稱群及其與幫的關(guān)系。請認真區(qū)分，下面將借此講述素數(shù)對稱幫的性質(zhì)。

1.素數(shù)幫的性質(zhì)

這點似乎毋庸置疑，但由于據(jù)此可以巧證哥德巴赫猜想而不得不提及。其存在性主要是因為素數(shù)的對稱數(shù)無法由已知素數(shù)（對稱軸前素數(shù)）因子乘積表示，參見表2（證明參見文獻[1]）。

從表2中可明顯看出最小素因子乘積（奇合數(shù)）大于對應的2m，且其增大速度遠大于2m的增大速度（如3*3僅僅大于2*4，而3*7已經(jīng)大于2*10），如此必然致使已知素數(shù)因子乘積無法按律表示足夠多的對稱數(shù)，不能按律用素數(shù)因子乘積表示的即為素數(shù)，只有存在素數(shù)才能使對稱數(shù)完整，即整數(shù)的素數(shù)幫B（P）存在。由整數(shù)的素數(shù)幫B（P）的存在可得B（P）中的任一對稱群Li（yP）的對稱軸兩倍，可用兩個素數(shù)元素p及τ（p）加和表示，而所有整數(shù)（對稱軸）的兩倍就是全體偶數(shù)，所以Like-Gold設想成立（有關(guān)具體證明參見文獻[1]）。但其中涉及所謂的律及“遺傳性”有必要在此用幾句話再說清楚點，不然當對稱數(shù)足夠大時m到2m間的奇合數(shù)在不按律的情況下是可以填滿對稱數(shù)位置的。所以整數(shù)的素數(shù)幫中群的遺傳性也是十分重要的且更為直觀的理解。我借助計算機找出30以內(nèi)整數(shù)的素數(shù)對稱數(shù)，參見表3：

顯而易見，表3中可以看出很多關(guān)于對稱數(shù)的規(guī)律，比如：①對稱數(shù)第1列全部為新數(shù)（基因突變），且就是整個奇數(shù)集（對稱軸的兩倍-最小奇素數(shù)3）；②當對稱軸到素數(shù)時增加一列，且此列為以該素數(shù)開頭的奇數(shù)集合（相同奇數(shù)相對于第一列下移了（列最小素數(shù)P-最小奇素數(shù)3）/2個單位）；③所有的對稱數(shù)都遺傳自對稱軸小于自己的群（表3中選取了部分用斜線鏈接，每個素數(shù)被遺傳的次數(shù)等于以該素數(shù)為對稱軸的對稱數(shù)列數(shù)），等等。這其中就包括所有的素數(shù)，所以當從中篩選出整數(shù)的素數(shù)幫時可以說素數(shù)是整數(shù)的素數(shù)幫中群的DNA（就如同把素數(shù)比作合數(shù)的原子）。DNA只能遺傳，我們可以說下一個群中必有已經(jīng)出現(xiàn)過的素數(shù)基因，但它又可能不同于其他已出現(xiàn)的群（遺傳中伴有突變），這和DNA的性質(zhì)完全一致，所以把素數(shù)比作幫中群的DNA很是恰當。所以也可以理解幫為具有同樣遺傳性質(zhì)的群。

幫中群之所以具有遺傳性，是因為已知素數(shù)的整數(shù)對稱數(shù)必須跟已知素數(shù)對應這一根本性質(zhì)決定的（比如3，5，7是連續(xù)的奇數(shù)使得表3中前3列為連續(xù)的奇數(shù)；后續(xù)的對稱數(shù)也都必須按DNA規(guī)律遺傳前面的群；等等）；而群遺傳的規(guī)律性則是由于已有素數(shù)的位置固定而決定的（對稱數(shù)=行最大奇數(shù)O-列最小素數(shù)P+最小奇素數(shù)3；由伯特蘭·切比雪夫定理可知表3中大括號內(nèi)必有素數(shù)；首列兩相連素數(shù)間合數(shù)的個數(shù)小于小素數(shù)行最右端數(shù)到大素數(shù)行最左端數(shù)之間素數(shù)的個數(shù)），該規(guī)律致使整數(shù)前素數(shù)關(guān)于其的對稱數(shù)都具有素數(shù)（從幾何的角度看即為素數(shù)的整數(shù)對稱數(shù)集合的行封閉性），即整數(shù)的素數(shù)幫存在（對稱軸6及以后都有合數(shù)，且也可輕易看出1+2的成立等）。

2.B（P）中Li（yP）的距離函數(shù)Ke（N）

從Li（yP）的定義可以看出，Li（yP）的元素可能不只一對素數(shù)。但肯定有一對距離對稱軸N最近的一對素數(shù)，我們將這對素數(shù)到N的距離定義為距離函數(shù)，用符號Ke（N）表示。由此可得到一系列性質(zhì)，如Ke（N）=0時所有解為素數(shù)，Ke（N）=1的所有解±1就是孿生素數(shù)對（感興趣者可深入研究，不過奇異映射Ke（N）是很矯情的，不易俘獲）。

3.B（P）中的派系函數(shù)Pi（i）

任何的幫中都可能出現(xiàn)不同的派系，整數(shù)的素數(shù)幫自然也不例外。為便于從錯綜復雜的幫中揪出派系，我們將表2中群的τ（p）按照正常升序單獨列出并標記各群中元素對的個數(shù)（τ（p）的個數(shù)），參見表4。

從表4中可以看出表3在找遺傳性中的優(yōu)勢（如果只看出其然而不明其所以然，參見下節(jié)），此外可以輕松地看出B（P）中各Li（yP）的p與τ（p）的對數(shù)（個數(shù)）隨著對稱軸的增加而起伏上升，所以在幫論中哥德巴赫猜想顯然成立（且不小于14的偶數(shù)可能都至少有兩組1+1形式）。為易于察覺，以對稱軸為橫坐標，各個群中元素τ（p）的個數(shù)為縱坐標作圖，參見圖4：

從圖4中可以更加明顯地看出B（P）中各Li（yP）的p與τ（p）的對數(shù)（個數(shù)）隨著對稱軸的遞增而起伏上升，且振幅越來越大（似乎某段有上下限）。此外還隱約看出τ（p）的個數(shù)在不規(guī)律的同時似乎又像臺階一樣逐漸抬升（形成了不同的階層），比如：

第一階層：[1，2]，群個數(shù)為4（3，4，5，6的素數(shù)群，橫坐標）；

第二階層：[2，n]，群個數(shù)為m（橫坐標7至6+m）；

第三階層：[3，o]，群個數(shù)為q（橫坐標7+m至6+m+q）；

……

我們把這樣的階層稱之為“派”（也有“派生出來”之意），符號為Pi（i）。i表示第i派系（τ（p）個數(shù)的下限），在數(shù)值上等于Li（P）中所有距離值（正整數(shù)）；Pi（i）即為第i派中群的個數(shù)，如第1派Pi（1）=4。那么派的個數(shù)是無窮多的嗎（又或許當對稱軸達到某個整數(shù)后τ（p）的個數(shù)永遠都會回到某值）？這個猜想在此不贅述，留給大家作為習題思考（Li（34P）的元素為2對，若只有兩個派系其只有兩對元素的群對稱軸有何規(guī)律呢？）。

至此，大家應該明白，整數(shù)的素數(shù)對稱群集合或幫的存在說明哥德巴赫猜想成立；而派猜想的成立將說明第1派中的偶數(shù)（對稱軸乘2）至少有一對1+1，第2派中至少有兩對1+1，第3派中將至少有3對1+1，等等。所以哥猜想的成立在派函數(shù)中是顯而易見的。有關(guān)“幫派論”就講述到此，至于其他運用期待廣大數(shù)學家挖掘（比如所有有理等邊三角形是否是密鋪整個平面的一個幫）。

4.Li（yP）與Li（yO+）關(guān)系

為進一步理解表2的重要性或其由來，可參見表5“整數(shù)的素數(shù)群與整數(shù)的奇數(shù)群關(guān)系”：

從表5中可以看出，所謂偶數(shù)就是群對稱軸的偶素數(shù)倍；它能否由兩個素數(shù)加和表示取決于C群的存在性；表中A群就是整數(shù)的奇數(shù)對稱群Li（yO+），C群就是所述的整數(shù)的奇數(shù)對稱群Li（yP），而B群就是兩者之間的過度對稱群（其元素對為素數(shù)和奇數(shù)）；若能證明過度群B中的奇數(shù)必有素數(shù)就可說明群C是存在的（C群?B群?A群）。群B的所有對稱數(shù)不就是與已知素數(shù)關(guān)于整數(shù)的對稱數(shù)嗎？這不正是表2嗎？

三、總結(jié)

本文首先從發(fā)現(xiàn)使數(shù)軸具有對稱性的負數(shù)開始，再從距離入手找出了使整數(shù)和奇數(shù)具有對稱性的法則；使讀者思維逐步開闊，進而引出整數(shù)的素數(shù)對稱群Li（yP）概念；依據(jù)Li（yP）的性質(zhì)將所有素數(shù)對稱群的集合稱為幫B（P）；續(xù)而結(jié)合哥德巴赫猜想探討幫的性質(zhì)，即發(fā)現(xiàn)幫的素數(shù)DNA的遺傳性和幫的派函數(shù)Pi（i）。

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