侯小捷，羅 忠，黃耀宇，張西廠

（1.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽110819；2.中國航發(fā)沈陽發(fā)動(dòng)機(jī)研究所，沈陽110015）

0 引言

螺栓聯(lián)接因具有安裝方便、結(jié)構(gòu)簡單、聯(lián)接剛性好等優(yōu)點(diǎn)[1-5]，成為航空發(fā)動(dòng)機(jī)中應(yīng)用最為廣泛的緊固聯(lián)接方式。但螺栓聯(lián)接特性會直接影響整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，特別對于帶有螺栓聯(lián)接結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，其影響更為明顯[6]，而目前在對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力特性分析時(shí)，往往忽略螺栓聯(lián)接特性，直接按剛性結(jié)構(gòu)處理，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況出現(xiàn)較大偏差。為了更真實(shí)地分析轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性，必須考慮螺栓對轉(zhuǎn)子特性的影響，建立包含螺栓聯(lián)接的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。

目前國內(nèi)外對于研究螺栓聯(lián)接的力學(xué)特性及螺栓預(yù)緊力對聯(lián)接結(jié)構(gòu)本身固有特性的影響研究較多，而針對螺栓聯(lián)接剛度對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)整體固有特性的影響還沒有系統(tǒng)研究。欒宇[7]通過物理實(shí)驗(yàn)與仿真計(jì)算研究了螺栓法蘭聯(lián)接的軸向靜力響應(yīng)特性，發(fā)現(xiàn)聯(lián)接結(jié)構(gòu)存在明顯的軸向拉壓剛度不同特性；劉卓乾[8]從軸向、徑向和彎曲3個(gè)方面討論了螺栓聯(lián)接的力學(xué)特性；趙丹[9]對某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)螺栓聯(lián)接轉(zhuǎn)子進(jìn)行數(shù)值仿真，分析了螺栓聯(lián)接結(jié)構(gòu)對實(shí)際航空發(fā)動(dòng)機(jī)的動(dòng)力學(xué)特性的影響；Boeswald[10]采用試驗(yàn)與數(shù)值方法研究了螺栓聯(lián)接的分段線性規(guī)律；QIN[11-12]等用有限元法計(jì)算螺栓轂筒聯(lián)接的彎矩特性，建立了盤鼓轉(zhuǎn)子接合部連接剛度解析模型，并將其引入轉(zhuǎn)子有限元模型中，采用多項(xiàng)諧波平衡法（multi-term harmonic balance method）對含連接非線性（分段線性）轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)行了分析；GAO等[13]用有限元法給出了拉桿轉(zhuǎn)子聯(lián)接的數(shù)學(xué)模型，并將該模型應(yīng)用于Jeffcott轉(zhuǎn)子，研究了其動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性和模態(tài)特性。

本文針對螺栓法蘭聯(lián)接對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)影響，基于有限元方法建立了考慮螺栓法蘭聯(lián)接的轉(zhuǎn)子模型。應(yīng)用該模型分析了聯(lián)接結(jié)構(gòu)對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有特性的影響，并且將結(jié)果與ANSYS仿真軟件結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證。

1 螺栓法蘭聯(lián)接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型

有限元的建模思路，就是將復(fù)雜的幾何和受力對象劃分為一個(gè)個(gè)形狀比較簡單的標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)件，稱為單元；然后給出單元節(jié)點(diǎn)的位移和受力描述，列寫單元?jiǎng)幽?、勢能表達(dá)式，通過拉格朗日方程建立單元的質(zhì)量、剛度矩陣；再通過單元與單元之間的節(jié)點(diǎn)聯(lián)接關(guān)系進(jìn)行單元的組集，最終得到結(jié)構(gòu)的整體質(zhì)量、剛度矩陣；進(jìn)而根據(jù)位移約束和受力狀態(tài)處理邊界條件并進(jìn)行求解。

為簡化說明，設(shè)研究對象為1個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，如圖1所示。2根軸通過法蘭由螺栓聯(lián)接，轉(zhuǎn)子兩端由軸承支承。建立坐標(biāo)系oxyz，其中以轉(zhuǎn)軸左端面圓心作為坐標(biāo)原點(diǎn)o；轉(zhuǎn)軸中心線為z軸；x軸和y軸分別為轉(zhuǎn)子的2個(gè)徑向方向。

1.1 螺栓法蘭聯(lián)接的彎矩特性

螺栓法蘭聯(lián)接通常有n個(gè)性質(zhì)相同的螺栓均布在法蘭上。左右2個(gè)法蘭盤繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，法蘭盤的上下2點(diǎn)受力方向相反，使聯(lián)接部位產(chǎn)生彎矩作用。n個(gè)螺栓共產(chǎn)生n/2個(gè)彎矩。為方便研究，把轉(zhuǎn)子聯(lián)接部分受到總彎矩分解到繞x軸和y軸2個(gè)方向

因?yàn)閤軸方向與y軸方向類似，所以只分析x軸方向的彎矩特性，如圖2所示。將螺栓等效為1對彈簧，其中上邊彈簧受拉，下邊彈簧受壓。

圖1 轉(zhuǎn)子

圖2 螺栓彎矩

由于螺栓的拉、壓特性不同導(dǎo)致變形不相等。彈簧受拉、壓時(shí)的變形分別為

式中：D為螺栓的安裝直徑；kT、kC為螺栓法蘭聯(lián)接軸向拉、壓剛度。

在小變形條件下，聯(lián)接結(jié)構(gòu)繞x軸轉(zhuǎn)角與軸向變形的關(guān)系為

1.2 螺栓法蘭聯(lián)接單元推導(dǎo)

轉(zhuǎn)子模型建立基于以下假設(shè)[14]：

（1）建模只考慮2個(gè)法蘭盤以及螺栓結(jié)構(gòu)。

（2）法蘭盤考慮為剛性盤，聯(lián)接結(jié)構(gòu)的作用力看作2個(gè)法蘭盤的直接相互作用力。

（3）法蘭盤軸心與重心重合。

（4）轉(zhuǎn)子建模忽略軸向位移。

（5）2段轉(zhuǎn)子之間的約束彎矩簡化為角剛度作用（用1對軸向彈簧kT代替）；螺栓法蘭聯(lián)接除考慮角剛度外，還考慮徑向剛度k。螺栓法蘭單元?jiǎng)偠热鐖D3所示。

根據(jù)上述假設(shè)建立螺栓聯(lián)接的法蘭盤模型如圖4所示。單元由2個(gè)盤組成，其中每個(gè)盤考慮x與y方向的平動(dòng)及繞x與y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，總共8個(gè)自由度。單元整體的廣義坐標(biāo)為

式中：x1、y1分別表示沿 x、y 軸的位移；θx，θy分別表示繞x、y軸的轉(zhuǎn)角；下標(biāo)1、2表示2個(gè)法蘭盤。

將式（2）、（3）帶入式（4）得到螺栓聯(lián)接彎曲角剛度

為簡化計(jì)算，將分段線性剛度簡化為線性剛度，即認(rèn)為螺栓始終處于拉伸狀態(tài)，表現(xiàn)為拉伸剛度。則此時(shí)角剛度為

圖3 oyz平面上聯(lián)接單元

圖4 螺栓法蘭單元模型

法蘭盤的質(zhì)量、盤的直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為m、Jd和Jp，則聯(lián)接單元?jiǎng)幽転?/p>

單元?jiǎng)菽転?/p>

不考慮廣義力項(xiàng)，系統(tǒng)的拉格朗日方程為

利用式（8）、（9）通過拉格朗日能量法導(dǎo)出聯(lián)接單元的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、陀螺矩陣

式中：m1、m2分別為法蘭盤 1、2 的質(zhì)量；Jd1、Jd2為法蘭盤 1、2 的直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Jp1、Jp2為法蘭盤 1、2 的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；k為螺栓法蘭連接聯(lián)接產(chǎn)生的徑向剛度；kθ為螺栓法蘭聯(lián)接產(chǎn)生的角剛度，可通過式（6）由kT求得。

1.3 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

利用第1.2節(jié)中得到的螺栓法蘭單元與前人提出的Rayleigh梁單元及盤單元有限元模型相結(jié)合，采用文獻(xiàn)[15]的有限元組集方法，組集得到考慮螺栓法蘭聯(lián)接的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)整體質(zhì)量矩陣M、剛度矩陣K、螺陀矩陣G。

建立轉(zhuǎn)子整體的動(dòng)力學(xué)方程

式中：q為廣義坐標(biāo)；F為廣義力；C為系統(tǒng)整體阻尼。將系統(tǒng)整體阻尼考慮為比例阻尼，其求解公式為

λ、η 由文獻(xiàn)[16]得到

式中：ξ1、ξ2為阻尼系數(shù)；ω1、ω2為轉(zhuǎn)子的第 1、2 階臨界轉(zhuǎn)速。

2 有限元模型模態(tài)分析

2.1 模型參數(shù)

建立的轉(zhuǎn)子模型如圖5所示。從圖中可見，轉(zhuǎn)子共包含20個(gè)單元、21個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有2個(gè)平動(dòng)和2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，因此轉(zhuǎn)子模型共有84個(gè)自由度，其中10號單元為螺栓法蘭結(jié)構(gòu)，其余單元為參數(shù)相同的Rayleigh梁單元，具體參數(shù)見表1。由于工程中轉(zhuǎn)子多采用非對稱支承，因此模型采用非對稱支承，即在第5、20號節(jié)點(diǎn)處加入軸承，軸承剛度為2×106N/m。

圖5 轉(zhuǎn)子模型

表1 單元參數(shù)

需要注明的是，在以下分析中考慮2種剛度（徑向剛度和角剛度），由式（6）可知角剛度本質(zhì)上表現(xiàn)為聯(lián)接結(jié)構(gòu)的軸向拉伸剛度，因此在下文研究中用軸向剛度變化間接代替角剛度變化。

2.2 剛度變化對固有頻率的影響

固有頻率隨2種剛度（單元徑向剛度、軸向剛度）的變化規(guī)律如圖6所示。從圖中可見，當(dāng)剛度k、kT均小于107時(shí)，各階固有頻率隨剛度增大而提高，此時(shí)處于上升階段；當(dāng)剛度處于105～1010之間時(shí)，固有頻率幾乎不變，此時(shí)處于穩(wěn)定階段。

圖6 轉(zhuǎn)子固有頻率隨剛度的變化

幾個(gè)不同剛度下及剛性聯(lián)接時(shí)（將2個(gè)法蘭盤之間固連，即考慮成一個(gè)整體），前3階固有頻率對比見表2。當(dāng)剛度處于穩(wěn)定階段時(shí)，此時(shí)的固有頻率與剛性聯(lián)接時(shí)的固有頻率基本不存在誤差，這與一般認(rèn)知一致，也從一定程度上驗(yàn)證了建模的正確性。

表2 不同剛度下轉(zhuǎn)子前3階固有頻率

以上討論了固有頻率隨剛度變化情況，為看清總體趨勢，剛度選取范圍較大，下面針對常見的剛度范圍做相應(yīng)的敏感性分析。

螺栓法蘭單元的徑向剛度k恒等于1×109N/m時(shí)轉(zhuǎn)子固有頻率隨軸向剛度kT變化的規(guī)律如圖7所示。角剛度由式（6）得到，通過式（17）分別求解不同軸向剛度下轉(zhuǎn)子固有頻率

圖7 轉(zhuǎn)子固有頻率隨軸向剛度的變化

不同軸向剛度下及剛性聯(lián)接時(shí)的前3階固有頻率見表3。當(dāng)單元徑向剛度不變時(shí)，增加軸向剛度，轉(zhuǎn)子各階固有頻率都有所提高。其中第1、3階固有頻率對于軸向剛度變化較為敏感，第2階固有頻率則不受其影響。

表3 不同軸向剛度下轉(zhuǎn)子前3階固有頻率

當(dāng)軸向剛度kT=1×109N/m時(shí)轉(zhuǎn)子固有頻率隨螺栓法蘭單元徑向剛度k的變化規(guī)律如圖8所示。

圖8 轉(zhuǎn)子固有頻率隨單元徑向剛度的變化

不同徑向剛度下轉(zhuǎn)子固有頻率對比見表4。當(dāng)單元徑向剛度不變時(shí)增大軸向剛度，轉(zhuǎn)子各階固有頻率都有所提高。其中第2、3階固有頻率對于徑向剛度變化較為敏感，第1階固有頻率則不受其影響。

表4 不同徑向剛度下轉(zhuǎn)子固有頻率對比

2.3 剛度變化對振型的影響

軸向剛度為106N/m、徑向剛度為107N/m及剛性聯(lián)接時(shí)轉(zhuǎn)子的前3階振型對比分別如圖9、10所示。

圖9 軸向剛度穩(wěn)定，徑向剛度變化

圖10 徑向剛度穩(wěn)定，軸向剛度變化

從圖中可見，當(dāng)徑向剛度較小時(shí)，在法蘭聯(lián)接處出現(xiàn)明顯的徑向滑移；當(dāng)軸向剛度較小時(shí)，在法蘭聯(lián)接處出現(xiàn)彎折；同時(shí)，當(dāng)剛度大到一定程度時(shí)，振型開始穩(wěn)定，并且與剛性聯(lián)接時(shí)一致。

3 聯(lián)接剛度對轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)的影響

圖11 剛性聯(lián)接時(shí)轉(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)

圖12 考慮聯(lián)接剛度時(shí)轉(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)

對比剛性聯(lián)接（如圖11所示）與剛度較大時(shí)（如圖12所示），不同轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子各點(diǎn)的振幅變化可見，在求解不平衡響應(yīng)時(shí)，如果考慮螺栓法蘭結(jié)構(gòu)計(jì)算結(jié)果中第2、3階臨界轉(zhuǎn)速下的振幅會有減小，而第1階轉(zhuǎn)速下振幅沒有明顯影響。

在1000～12000 r/min轉(zhuǎn)速區(qū)間上法蘭盤處不平衡響應(yīng)隨剛度變化的關(guān)系如圖13所示。從圖中可見，前3階臨界轉(zhuǎn)速與直接利用質(zhì)量剛度矩陣求解出的固有頻率對應(yīng)轉(zhuǎn)速相近。但是轉(zhuǎn)子振幅在第1階臨界轉(zhuǎn)速處振幅非常明顯，導(dǎo)致在第2、3階臨界轉(zhuǎn)速處振幅不明顯。

圖13 法蘭盤處不平衡響應(yīng)

提取圖13中第1階臨界轉(zhuǎn)速處的振幅見表5。從表中可見，隨聯(lián)接剛度（螺栓軸向、徑向剛度）的增大，臨界轉(zhuǎn)速會提高，同時(shí)振幅會有所減小，2種剛度單獨(dú)變化時(shí)對轉(zhuǎn)子第1階振幅的影響分別如圖14、15所示。

表5 第1階臨界轉(zhuǎn)速和振幅剛度變化關(guān)系

圖14 徑向剛度變化時(shí)法蘭盤處的不平衡響應(yīng)

圖15 軸向剛度變化時(shí)法蘭盤處的不平衡響應(yīng)

通過對比可見，振幅隨聯(lián)接剛度增大有所減小。軸向剛度變化（圖14）對第1階臨界轉(zhuǎn)速及振幅影響較大，而徑向剛度變化（圖15）對其影響較小。

4 仿真驗(yàn)證

為說明數(shù)學(xué)模型的有效性，進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，使用工程軟件ANSYS對圖5中的轉(zhuǎn)子進(jìn)行建模，使用實(shí)體單元對結(jié)構(gòu)進(jìn)行精細(xì)有限元剖分；法蘭盤與軸采用剛性聯(lián)接，螺栓聯(lián)接等效為2對軸向彈簧和1對徑向彈簧。分別求解結(jié)構(gòu)振型及固有頻率與前文中理論計(jì)算所得結(jié)果進(jìn)行對比。在剛性聯(lián)接、大剛度聯(lián)接、徑向小剛度以及軸向小剛度時(shí)的前3階振型對比見表6。從表中可見，理論計(jì)算所得結(jié)果與ANSYS仿真結(jié)果基本一致，依然可以看出大剛度聯(lián)接時(shí)振型與剛性聯(lián)接時(shí)的一致，不同工況下也出現(xiàn)了徑向滑移和彎折等情況。

在不同情況下2種方法所計(jì)算的固有頻率對比見表7。從表中可見，模型雖然對轉(zhuǎn)子第2階固有頻率的預(yù)測誤差較大，但是對于第1、3階的固有頻率預(yù)測較為準(zhǔn)確，并且2種剛度對固有頻率的影響也與前文中所得結(jié)論一致，對比結(jié)果進(jìn)一步證明轉(zhuǎn)子模型的有效性。

表6 不同剛度下模擬和計(jì)算的各階振型對比

表7 固有頻率對比

5 結(jié)論

（1）在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中可以將螺栓法蘭聯(lián)接中的螺栓考慮成徑向剛度和角剛度的組合，這樣所建立的轉(zhuǎn)子模型可以較真實(shí)地反映螺栓法蘭聯(lián)接的固有特性，較準(zhǔn)確地預(yù)測轉(zhuǎn)子的固有頻率和振型。

（2）角剛度、徑向剛度在一定范圍內(nèi)的增大都會使轉(zhuǎn)子固有頻率提高，并且趨近于剛性聯(lián)接時(shí)的轉(zhuǎn)子固有頻率。同時(shí)，轉(zhuǎn)子第1階固有頻率對螺栓法蘭結(jié)構(gòu)的軸向剛度變化較為敏感；第2階固有頻率對螺栓法蘭結(jié)構(gòu)的徑向剛度變化較為敏感；第3階固有頻率則對螺栓法蘭結(jié)構(gòu)的2種剛度變化均較為敏感。但對于螺栓聯(lián)接剛度對各階臨界轉(zhuǎn)速的影響機(jī)理還未能給出準(zhǔn)確分析。轉(zhuǎn)子振型在聯(lián)接處剛度較大時(shí)與剛性聯(lián)接情況下的相近，并且當(dāng)徑向剛度較小時(shí)在法蘭聯(lián)接處出現(xiàn)明顯的徑向滑移；當(dāng)角剛度較小時(shí)在法蘭聯(lián)接處出現(xiàn)彎折。

（3）聯(lián)接結(jié)構(gòu)的剛度會對轉(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)有一定抑制作用。在聯(lián)接處的角剛度變化對轉(zhuǎn)子第1階臨界轉(zhuǎn)速處的振幅影響較為明顯。