江蘇省揚(yáng)州市竹西中學(xué) 宋 揚(yáng)

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系通常也稱韋達(dá)定理，其重要意義在于：不滿足于求根公式從已知探求未知所作出的貢獻(xiàn)，又開(kāi)啟了解決問(wèn)題的新途徑，使許多問(wèn)題能夠方便、快捷地得以解決。特點(diǎn)是形式簡(jiǎn)單，內(nèi)涵豐富；易學(xué)好懂，方法靈活；應(yīng)用廣泛，功效顯著。尤其是思想方法體現(xiàn)了創(chuàng)新精神，對(duì)培養(yǎng)青少年的核心素養(yǎng)可以起到非常積極的作用，因此，學(xué)習(xí)和運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系是不可或缺的。

一、根與系數(shù)的關(guān)系概要

1.若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)的兩個(gè)根，則有此結(jié)論稱為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。特別地，若x1,x2是一元二次方程x2+px+q=0的兩個(gè)根，則有x1+x2=-p（一次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù)）；x1x2=q（常數(shù)項(xiàng)）。這種特殊形式具有普遍意義，因?yàn)橹灰獙⒁话阈问较碌囊辉畏匠虄蛇呁远雾?xiàng)系數(shù) a，總能得到二次項(xiàng)系數(shù)為1的方程。

2.上述一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，是一元n（n∈Z,n≥2）次方程根與系數(shù)的關(guān)系的一種特例。韋達(dá)（1540～1603）是16世紀(jì)法國(guó)最杰出的數(shù)學(xué)家，他最早系統(tǒng)地引入了代數(shù)符號(hào)，推進(jìn)了方程論的發(fā)展，其中包括發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程根與系數(shù)之間有這種關(guān)系。一元n次方程根與系數(shù)的關(guān)系（表達(dá)式）統(tǒng)稱韋達(dá)定理。

3.盡管一元二次方程的求根公式直接反映了根與系數(shù)的關(guān)系，但長(zhǎng)期以來(lái)，人們習(xí)慣上只把兩根之和的表達(dá)式與兩根之積的表達(dá)式稱為根與系數(shù)的關(guān)系，簡(jiǎn)稱為韋達(dá)定理，用以與求根公式相區(qū)別。

4.推導(dǎo)出韋達(dá)定理的基本方法：

（1）根據(jù)求根公式分別代入，經(jīng)計(jì)算（整理）即可得到。

（2）在等式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)中，將右邊展開(kāi)整理后，根據(jù)兩多項(xiàng)式相等（恒等）的充分必要條件是同次項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等而得。

5.根與系數(shù)的關(guān)系在復(fù)數(shù)域上普遍成立，應(yīng)用范圍十分廣闊。

6.初中階段，一般只在實(shí)數(shù)域上討論。運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，往往默認(rèn)了方程有實(shí)數(shù)根，其隱含條件是判別式Δ≥0，a≠0。

二、韋達(dá)定理應(yīng)用的各種類型

1.直接使用兩根之和或兩根之積的表達(dá)式。

2.求有關(guān)根的代數(shù)式的值。

3.確定方程中參數(shù)（字母系數(shù)）的值或其取值范圍。

4.結(jié)合根的判別式（前提條件Δ≥0），討論根的符號(hào)特征。

5.求作新方程，使其滿足預(yù)設(shè)條件。

6.利用根的定義，建立相應(yīng)方程，進(jìn)而使用韋達(dá)定理。

7.逆向使用，構(gòu)造方程，打開(kāi)解題通道。

三、典型實(shí)例與詳細(xì)解析

例1 已知關(guān)于x的一元二次方程x2+x+m=0的一個(gè)根為1，求它的另一個(gè)根。

解法一：設(shè)原方程的另一個(gè)根為α，則由韋達(dá)定理可得α+1=-1，即 α=-2。

解法二：由根的定義，將1代入原方程得m=-2，則由韋達(dá)定理可得α·1=-2，即α=-2。

其他解法：由根的定義先求得m=-2，然后代入原方程，并再解此方程，得到兩個(gè)根1，-2。其中，另一根-2即為所求。

【點(diǎn)評(píng)】上述解法一為本題最佳解法。

例2 已知α，β是方程x2-5x-2=0的兩個(gè)根，求α2-αβ+β2的值。

解：由韋達(dá)定理可知α+β=5；αβ=-2。

則 α2-αβ+β2=（α+β）2-3αβ=52-3×（-2）=31。

【設(shè)問(wèn)】此題能否通過(guò)變形α2-αβ+β2=（α+β）2+αβ來(lái)求解？

例3 設(shè)x1，x2是方程x2-x-2017=0的兩個(gè)根，求x13+2018x2-2017的值。

解：由根的定義得x12-x1-2017=0，即x12=x1+2017。

由韋達(dá)定理可知x1+x2=1，于是有：

【思路點(diǎn)睛】利用根的定義，化高次為低次。

例4 已知關(guān)于x的方程x2-kx+2k-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為23，求k的值。

解：設(shè)方程的兩實(shí)根為x1，x2，則依題意有x12+x2

2=23，即（x1+x2）2-2x1x2=23。由韋達(dá)定理可知x1+x2=k；x1x2=2k-1。整體代入上式得k2-2（2k-1）=23，即k2-4k-21=0。解此關(guān)于k的一元二次方程得k1=7，k2=-3。但當(dāng)k=7時(shí)，原方程的判別式Δ=49-4×13＜0，這與已知條件“原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”相矛盾，于是將k=7舍去。所以k=-3。

【策略】設(shè)而不求，整體代入。

例5 若關(guān)于x的方程2x2-2x+3m-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且x1x2＞x1+x2-4，求m的取值范圍。

解：由韋達(dá)定理可知x1+x2=1；x1x2=

整體代入x1x2＞x1+x2-4得＞1-4，且依題意有Δ≥0，

即（-2）2-8（3 m-1）≥0。聯(lián)立不等式組解得

【點(diǎn)評(píng)】 例4、例5都結(jié)合使用了隱含條件Δ≥0。

例6 設(shè)a、b、c為實(shí)數(shù)，且ac≠0，求作一個(gè)一元二次方程，使它的兩根b分別為方程ax2+bx+c=0的兩根的倒數(shù)加1。

解：因ac≠0，即有a≠0且c≠0。設(shè)原方程的兩根為x1，x2，則由韋達(dá)定理可知又由c≠0得x1≠0且x2≠0，于是有：

即cx2+(b-2c)x+(a-b+c)=0。

【思路點(diǎn)睛】先正向使用，再逆向使用。

例7 已知a,b兩數(shù)分別滿足a2-5=15a，b2-5=15b，求的值。

解：當(dāng)a≠b時(shí)，由根的定義知x2-15x-5=0,a，b為方程的兩個(gè)不相等的根，從而由韋達(dá)定理可得a+b=15；ab=-5。于是有：

當(dāng)a=b時(shí)，原式=2。

綜上所述，原式=-47或2。

【思路點(diǎn)睛】利用根的定義，建立一元二次方程。

例8 設(shè)a,b兩數(shù)分別滿足19a2+99a+1=0，b2+99b+19=0，且ab≠1,求的值。

解：由題設(shè)條件知a≠0。將題中第一個(gè)等式的兩邊同除以a2得到又由ab≠1 得，結(jié)合題中第二個(gè)等式，可知，b為方程t2+99t+19=0的兩個(gè)不同的根，

【關(guān)鍵點(diǎn)】將題設(shè)第一個(gè)等式兩邊同除以a2（a≠0），化成與題設(shè)第二個(gè)等式結(jié)構(gòu)相同的形式。

例9 已知a，b，c都是實(shí)數(shù)，且a+b+c=0，abc=1。求證：a，b，c中必有一個(gè)大于。

證明：由a+b+c=0及abc=1易知a，b，c中有一個(gè)正數(shù)、兩個(gè)負(fù)數(shù)，不妨設(shè)a為正數(shù)。由題設(shè)又可得b+c=-a；bc=因此，b，c是方程的兩個(gè)根。因?yàn)閎，c是實(shí)數(shù)，從而上述方程的判別式Δ=a2-4·又因?yàn)閍＞0，所以a3-4≥0，a3≥4。于是有

四、應(yīng)用策略、方法和技巧

1.設(shè)而不求、整體代入是韋達(dá)定理應(yīng)用的基本思想和優(yōu)勢(shì)所在。

2.有關(guān)根的代數(shù)式求值要領(lǐng)是：先將式子作恒等變形，轉(zhuǎn)化為兩根之和與兩根之積的表達(dá)式或其中之一，然后整體代入，繼而求解。

3.韋達(dá)定理本身具有對(duì)稱性。對(duì)稱式一般都可用韋達(dá)定理來(lái)表示，即表示為x1+x2或x1x2及其運(yùn)算的形式。對(duì)稱式的常見(jiàn)變形有：

4.非對(duì)稱式求解經(jīng)常用到的方法和技巧：

（1）恰當(dāng)組合；

（2）運(yùn)用根的定義降次；

（3）作恒等變形或同解變形；

（4）構(gòu)造對(duì)稱式；

（5）整體變換或部分變換。

5.根據(jù)需要運(yùn)用隱含條件，結(jié)合使用根的判別式。

6.利用根的定義建立方程，需要先找出（或經(jīng)變形得到）兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的二次等式。

7.逆向使用韋達(dá)定理，就是運(yùn)用韋達(dá)定理的逆定理，構(gòu)造一元二次方程，進(jìn)而解決問(wèn)題。其關(guān)鍵是能慧眼識(shí)金，找出（或設(shè)法得到）兩變?cè)偷谋磉_(dá)式與該兩變?cè)e的表達(dá)式。

五、教學(xué)安排要領(lǐng)

1.開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)活動(dòng)課。

2.利用課余時(shí)間舉辦專題講座。

3.印發(fā)補(bǔ)充講義，作為課外閱讀材料（兼課前預(yù)習(xí)）。

4.充分利用數(shù)學(xué)之窗。

5.講清內(nèi)容本義和應(yīng)用的思想方法：

（1）根與系數(shù)的關(guān)系所指的內(nèi)容是什么？

（2）為什么要學(xué)習(xí)根與系數(shù)的關(guān)系？

這部分不僅對(duì)于一元二次方程根的認(rèn)識(shí)的深化、后續(xù)課程相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)（如二次函數(shù)等）以及初高中銜接是必要的，而且與所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系較多，應(yīng)用廣泛，體現(xiàn)了學(xué)以致用的品質(zhì)和創(chuàng)新思維。

（3）什么叫設(shè)而不求，整體代入？

（4）根與系數(shù)的關(guān)系有什么作用？

（5）以典型實(shí)例為引導(dǎo)，精講精練，師生互動(dòng)，讓同學(xué)們熟悉韋達(dá)定理應(yīng)用的基本類型，掌握求解策略和具體方法。

[1]黃東坡．韋達(dá)定理，數(shù)學(xué)探究應(yīng)用新思維九年級(jí)[J]．武漢：湖北人民出版社，2016．

[2]葛軍．根與系數(shù)的關(guān)系及其應(yīng)用，奧數(shù)教程（九年級(jí)）第六版．上海[M]：華東師范大學(xué)出版社，2014．