劉貴艷 毛竹 周斌

(湖北大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，武漢 430062)

1 引 言

量子糾纏作為量子系統(tǒng)中的最基本特征之一,因其所特有的物理性質(zhì),在量子計(jì)算與量子信息領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用,例如量子隱形傳態(tài)[1]、量子超密編碼[2]以及量子秘鑰分發(fā)[3]等.在固態(tài)系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)與調(diào)控量子糾纏是人們關(guān)注的研究熱點(diǎn).海森伯自旋鏈作為一種簡(jiǎn)單的固態(tài)量子體系已成為人們研究量子糾纏的理想模型之一.眾所周知,體系的量子效應(yīng)會(huì)受到環(huán)境溫度的重要影響,熱漲落將抑制量子效應(yīng)的產(chǎn)生.在量子糾纏態(tài)的制備中溫度被看成是一個(gè)非常重要的調(diào)控參數(shù),人們由此提出熱糾纏的概念.Arnesen等[4]首次在海森伯模型中研究了熱糾纏的性質(zhì),隨后人們對(duì)各種兩量子比特海森伯模型和多量子比特海森伯模型的熱糾纏和配對(duì)糾纏特性開(kāi)展了廣泛的理論研究[5?14].研究表明,溫度、磁場(chǎng)、自旋相互作用的各向異性和Dzyaloshinkii-Moriya(DM)相互作用等各種參數(shù)的變化都對(duì)體系熱糾纏性質(zhì)起到重要的調(diào)控作用.

在海森伯自旋鏈模型熱糾纏的研究中,人們較多考慮的是最近鄰量子比特自旋相互作用.實(shí)際上,一種J1-J2海森伯模型也引起了人們的研究興趣,該模型中同時(shí)考慮了最近鄰自旋相互作用和次近鄰自旋相互作用[15,16].在J1-J2海森伯模型中,由于次近鄰相互作用的引入導(dǎo)致阻挫效應(yīng),對(duì)體系的磁性有著重要的影響.研究發(fā)現(xiàn),在一些準(zhǔn)一維化合物中,如CuGeO3[17]和NaV2O5[18]等存在次近鄰自旋相互作用.最近,有一些理論工作研究了具有次近鄰相互作用的多量子比特海森伯模型中的糾纏性質(zhì)[19?26].如Gu等[19]研究了溫度和次近鄰相互作用參數(shù)的變化對(duì)具有次近鄰相互作用的一維海森伯自旋鏈中最近鄰量子比特及次近鄰量子比特配對(duì)糾纏的影響.他們數(shù)值計(jì)算了該自旋的體系中糾纏消失所對(duì)應(yīng)的臨界溫度.Liu等[23]研究了具有次近鄰相互作用的三量子比特XXX海森伯模型在非均勻磁場(chǎng)作用下的配對(duì)熱糾纏性質(zhì). ?ahinta?和Akyüz[26]研究了具有次近鄰相互作用的四量子比特XXZ海森伯模型中的糾纏性質(zhì).他們重點(diǎn)討論了DM相互作用和阻挫參數(shù)對(duì)最近鄰量子比特及次近鄰量子比特配對(duì)糾纏的影響.

本文研究具有次近鄰相互作用的五量子比特XXZ海森伯模型中的熱糾纏性質(zhì);利用數(shù)值計(jì)算方法分別計(jì)算最近鄰量子比特和次近鄰量子比特共生糾纏度;研究上述兩種共生糾纏對(duì)隨溫度、磁場(chǎng)強(qiáng)度、DM相互作用、自旋相互作用及阻挫參數(shù)的變化關(guān)系;給出理論模型和糾纏度的計(jì)算方法,以及糾纏度的數(shù)值計(jì)算結(jié)果,并討論各參數(shù)對(duì)糾纏度的影響.

2 理論模型和糾纏度

2.1 理論模型

研究的具有次近鄰相互作用五量子比特XXZ海森伯自旋鏈模型如圖1所示,系統(tǒng)哈密頓量H由下式給出:

圖1 五量子比特海森伯自旋鏈?zhǔn)疽鈭D 黑色點(diǎn)代表自旋1/2的量子比特,黑色實(shí)線代表最近鄰相互作用記為J1,紅色虛線代表次近鄰相互作用記為J2Fig.1.Five-qubit Heisenberg spin chain.The black dot represents a qubit with spin 1/2,the black lines represent the interaction between the nearest neighboring qubits named as J1,and the red dashed lines represent the interaction between the next nearest neighboring qubits named as J2.

2.2 糾纏度

哈密頓量(1)式的本征值和對(duì)應(yīng)的本征矢分別為En和|ψn〉(n=1,2,···,32),在溫度為T(mén)時(shí),系統(tǒng)的密度矩陣為

其中Z為系統(tǒng)的配分函數(shù)

計(jì)算中取玻爾茲曼常數(shù)kB=1.

為了研究上述五量子比特海森伯自旋鏈的糾纏性質(zhì),計(jì)算第i個(gè)量子比特和第j個(gè)量子比特之間的共生糾纏度Cij,共生糾纏度的定義為[27?29]

其中λn是算子Rij的本征值的平方根,Rij定義為

λn按降序排列,即λ1≥λ2≥λ3≥λ4;ρij是約化密度矩陣,是ρij的復(fù)共軛矩陣;糾纏度Cij的取值由0到1,Cij=0表示無(wú)糾纏,Cij=1表示系統(tǒng)處于最大糾纏態(tài),0＜Cij＜1表示部分糾纏.根據(jù)圖1中自旋鏈結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性,下面分別討論最近鄰兩量子比特的共生糾纏度C12與次近鄰兩量子比特共生糾纏度C13隨參數(shù)的變化關(guān)系.

3 結(jié)果與討論

基于共生糾纏度的定義,用數(shù)值計(jì)算方法研究具有次近鄰相互作用五量子比特XXZ海森伯自旋鏈模型熱糾纏性質(zhì),分別求解最近鄰兩量子比特共生糾纏度C12和次近鄰兩量子比特共生糾纏度C13在不同的溫度、磁場(chǎng)強(qiáng)度、DM相互作用參數(shù)及各向異性參數(shù)下隨阻挫參數(shù)的變化關(guān)系.

3.1 磁場(chǎng)與溫度對(duì)C12和C13的影響

圖2 在不同溫度和磁場(chǎng)強(qiáng)度下,C12和C13隨阻挫參數(shù)α變化情況 (a),(d)B=0;(b),(e)B=1;(c),(f)B=2;這里取D=0,Δ1=Δ2=1和J1=1Fig.2.C12and C13versus frustration parameter α for different temperature and magnetic fi eld:(a)and(d)B=0;(b)and(e)B=1;(c)and(f)B=2.Here,D=0,Δ1=Δ2=1 and J1=1.

首先考慮DM相互作用為零(D=0)的情形.當(dāng)各向異性參數(shù)Δ1=Δ2=1時(shí),即系統(tǒng)由各向異性的XXZ自旋模型轉(zhuǎn)變?yōu)楦飨蛲缘腦XX自旋模型,在不同磁場(chǎng)和溫度下,C12和C13隨阻挫參數(shù)的變化關(guān)系由圖2給出.從圖2(a)中可以發(fā)現(xiàn),在沒(méi)有磁場(chǎng)作用下(B=0),溫度較低時(shí)(如T=0.3)C12在阻挫參數(shù)?3.3＜α＜1.0區(qū)間出現(xiàn)一個(gè)非零的平臺(tái)(C12=0.25).這表明,阻挫參數(shù)絕對(duì)值的增大將壓制最近鄰兩量子比特糾纏的產(chǎn)生.隨著溫度的升高,出現(xiàn)糾纏(C12不為零)的阻挫參數(shù)區(qū)間逐漸縮小,而且伴隨著C12最大值的減小.如當(dāng)溫度分別為T(mén)=0.7和T=1時(shí),出現(xiàn)糾纏的阻挫參數(shù)區(qū)間分別為(?2.7,0.9)和(?2.3,0.7),相應(yīng)的C12最大值為0.21和0.15.圖2(b)和圖2(c)顯示,在同樣的溫度下,出現(xiàn)糾纏的阻挫參數(shù)區(qū)間隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增加而縮小.以溫度T=0.7為例,磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為B=1和B=2時(shí),出現(xiàn)糾纏的阻挫參數(shù)區(qū)間分別為(?2.0,0.9)和(?1.4,0.9).圖2(d)—(f)給出了次近鄰兩量子比特共生糾纏度C13隨阻挫參數(shù)的變化關(guān)系.顯然,C13表現(xiàn)出與C12完全不同的變化關(guān)系.次近鄰兩量子比特共生糾纏度C13不為零出現(xiàn)在阻挫參數(shù)α＞1,而α＜1時(shí)次近鄰兩量子比特配對(duì)糾纏消失.以T=0.3為例,當(dāng)磁場(chǎng)為零時(shí)(如圖2(d)所示),當(dāng)α＞1,隨α的增加,C13迅速達(dá)到最大值0.25并保持不變.當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度增加時(shí),如B=2,C13的最大值提高到0.35,同樣對(duì)于α＞1,C13隨α的增加迅速飽和并保持不變.這表明,對(duì)于反鐵磁情形(J1,J2＞0)而言,當(dāng)次近鄰相互作用參數(shù)大于最近鄰相互作用參數(shù)時(shí),有利于次近鄰兩量子比特配對(duì)糾纏的產(chǎn)生,而最近鄰兩量子比特糾纏消失.

為了更進(jìn)一步討論磁場(chǎng)對(duì)C12和C13的影響,取溫度T=0.3為例,計(jì)算了隨磁場(chǎng)和阻挫參數(shù)變化的共生糾纏度,結(jié)果由圖3給出(圖3中藍(lán)色區(qū)域代表糾纏度為零,紅色最深的區(qū)域?qū)?yīng)糾纏度為0.35).從圖3(a)中可以看出,隨著磁場(chǎng)增大,一方面出現(xiàn)最近鄰量子比特糾纏的區(qū)域逐漸縮小,另一方面共生糾纏度C12先增大后逐漸減小直至消失.同時(shí)發(fā)現(xiàn),當(dāng)磁場(chǎng)超過(guò)一定強(qiáng)度（B＞2.5）時(shí),出現(xiàn)糾纏的區(qū)域被限制在一個(gè)很窄的參數(shù)空間內(nèi)(見(jiàn)圖3(a)中淺藍(lán)色區(qū)域),而且共生糾纏度C12也被壓制在0.1以?xún)?nèi).圖3(b)對(duì)應(yīng)共生糾纏度C13的變化情況.在磁場(chǎng)小于3時(shí),出現(xiàn)次近鄰量子比特糾纏的區(qū)域大致保持不變,而磁場(chǎng)超過(guò)3時(shí),產(chǎn)生糾纏的臨界阻挫參數(shù)隨磁場(chǎng)增大逐漸增大.在圖3(b)中,隨著磁場(chǎng)和阻挫參數(shù)的變化,存在使得共生糾纏度達(dá)到飽和值C13=0.35的一個(gè)較大參數(shù)區(qū)域.

當(dāng)考慮自旋相互作用各向異性時(shí)(取Δ1=Δ2=0.5),C12和C13隨阻挫參數(shù)變化關(guān)系由圖4給出.比較圖2和圖4發(fā)現(xiàn),自旋相互作用各向異性對(duì)上述兩種共生糾纏度都有顯著的影響.以T=0.3為例,當(dāng)磁場(chǎng)為零時(shí),C12不為零的阻挫參數(shù)區(qū)有兩個(gè)(見(jiàn)圖4(a)),即分別是?2.5＜α＜0.9和α＜?3.6,第一個(gè)參數(shù)區(qū)的范圍相對(duì)于各向同性時(shí)(Δ1=Δ2=1,見(jiàn)圖2(a))略有縮小;而第二個(gè)參數(shù)區(qū)是各向同性時(shí)所沒(méi)有的.隨著磁場(chǎng)的增加,存在糾纏的第一個(gè)阻挫參數(shù)區(qū)相應(yīng)的C12的值減小,即最近鄰兩量子比特糾纏受到磁場(chǎng)的抑制;對(duì)于第二個(gè)參數(shù)區(qū)而言,磁場(chǎng)反而有利于最近鄰兩量子比特糾纏的產(chǎn)生(見(jiàn)圖4(b)和(c)).同樣,隨著阻挫參數(shù)的變化,次近鄰兩量子比特糾纏不為零的參數(shù)區(qū)也有兩個(gè),分別是1＜α和α＜?2.7(當(dāng)T=0.3和B=0時(shí),見(jiàn)圖4(d)),其中第一個(gè)參數(shù)區(qū)類(lèi)似于各向同性的情形(見(jiàn)圖2(d)),而在第二參數(shù)區(qū)則是由自旋相互作用各向異性誘導(dǎo)出次近鄰兩量子比特間的配對(duì)糾纏.對(duì)于其他一定的溫度和磁場(chǎng)強(qiáng)度,也存在著對(duì)應(yīng)C13不為零的與上述情形相似的阻挫參數(shù)區(qū)(見(jiàn)圖4(e)和(f)).如,當(dāng)T=1和B=1時(shí),對(duì)應(yīng)于1.2＜α和α＜?3.3,存在次近鄰兩量子比特配對(duì)糾纏(即C13/=0).

在自旋相互作用各向異性的情形下,同樣取溫度T=0.3為例,圖5給出了共生糾纏度C12和C13隨磁場(chǎng)和阻挫參數(shù)變化的等高圖.與圖3(a)比較,不難發(fā)現(xiàn),在自旋相互作用各向異性的情形下,圖5(a)顯示共生糾纏度C12在阻挫參數(shù)較大的負(fù)值區(qū)間出現(xiàn)新的糾纏區(qū).在這個(gè)新的糾纏區(qū),隨磁場(chǎng)增大,C12先逐漸增大至最大值,后被抑制直至消失.同樣,對(duì)于C13而言(如圖5(b)所示),與圖3(b)比較,考慮到自旋相互作用各向異性,在阻挫參數(shù)較大的負(fù)值區(qū)間也出現(xiàn)了新的糾纏區(qū).特別是當(dāng)阻挫參數(shù)取較大的負(fù)值時(shí),如α=?8,C13隨磁場(chǎng)增大出現(xiàn)了兩個(gè)極大值.

圖3 共生糾纏度隨阻挫參數(shù)α及磁場(chǎng)強(qiáng)度變化情況 (a)C12;(b)C13;這里取T=0.3,D=0,Δ1=Δ2=1和J1=1Fig.3. Concurrence versus frustration parameter α and magnetic fi eld:(a)C12;(b)C13.Here,T=0.3,D=0,Δ1=Δ2=1 and J1=1.

圖4 在不同溫度和磁場(chǎng)強(qiáng)度下,C12和C13隨阻挫參數(shù)α變化情況 (a),(d)B=0;(b),(e)B=1;(c),(f)B=2;這里取D=0,Δ1=Δ2=0.5和J1=1Fig.4.C12and C13versus frustration parameter α for different temperature and magnetic fi eld:(a)and(d)B=0;(b)and(e)B=1;(c)and(f)B=2.Here,D=0,Δ1=Δ2=0.5 and J1=1.

圖5 共生糾纏度隨阻挫參數(shù)α及磁場(chǎng)強(qiáng)度變化情況 (a)C12;(b)C13;這里取T=0.3,D=0,Δ1=Δ2=0.5和J1=1Fig.5.Concurrence versus frustration parameter α and magnetic fi eld:(a)C12;(b)C13.Here,T=0.3,D=0,Δ1=Δ2=0.5 and J1=1.

3.2 DM相互作用對(duì)C12和C13的影響

下面研究DM相互作用對(duì)共生糾纏度的影響.在各向異性參數(shù)Δ1=Δ2=0.5的情形下,圖6和圖7給出了對(duì)應(yīng)于不同溫度、磁場(chǎng)強(qiáng)度及DM相互作用參數(shù),最近鄰兩量子比特共生糾纏度C12和次近鄰兩量子比特共生糾纏度C13隨阻挫參數(shù)的變化情況.

圖6(a)—(c)給出了沒(méi)有外加磁場(chǎng)(B=0)時(shí)C12隨阻挫參數(shù)變化情況.顯然,在一定的阻挫參數(shù)區(qū)域，DM相互作用有利于最近鄰兩量子比特配對(duì)糾纏的產(chǎn)生.以T=0.7為例,當(dāng)不考慮DM相互作用時(shí)(D=0,見(jiàn)圖4(a)),最近鄰兩量子比特共生糾纏度C12不為零的阻挫參數(shù)區(qū)有兩個(gè),即分別是?2.2＜α＜0.8和α＜?4.2;當(dāng)考慮DM相互作用時(shí)(見(jiàn)圖6(a)—(c)),隨DM 相互作用參數(shù)的增大,C12最大值增大,如D=0.5,1,2相對(duì)應(yīng)的C12最大值分別是0.28,0.32,0.33.而且,C12不為零的第一個(gè)阻挫參數(shù)區(qū)的范圍變大,如D=0.5,1,2相對(duì)應(yīng)的C12不為零的第一個(gè)阻挫參數(shù)區(qū)的范圍分別是?2.6＜α＜1,?3.3＜α＜2.9和?4.1＜α＜6.1;同時(shí)也注意到隨DM相互作用參數(shù)的增大,C12不為零的第二個(gè)阻挫參數(shù)區(qū)向左偏移.圖6(d)—(i)給出了有外加磁場(chǎng)時(shí)C12隨阻挫參數(shù)變化情況.顯然,在有外加磁場(chǎng)時(shí),DM相互作用對(duì)最近鄰兩量子比特配對(duì)糾纏的影響與無(wú)磁場(chǎng)時(shí)定性一致.

圖6 在不同溫度、磁場(chǎng)強(qiáng)度和DM相互作用參數(shù)下,C12隨阻挫參數(shù)α變化情況,Δ1=Δ2=0.5和J1=1 (a)B=0,D=0.5;(b)B=0,D=1;(c)B=0,D=2;(d)B=1,D=0.5;(e)B=1,D=1;(f)B=1,D=2;(g)B=2,D=0.5;(h)B=2,D=1;(i)B=2,D=2Fig.6.C12versus frustration parameter α for different temperature,magnetic fi eld and DM interaction parameter,Δ1= Δ2=0.5 and J1=1:(a)B=0,D=0.5;(b)B=0,D=1;(c)B=0,D=2;(d)B=1,D=0.5;(e)B=1,D=1;(f)B=1,D=2;(g)B=2,D=0.5;(h)B=2,D=1;(i)B=2,D=2.

圖7 在不同溫度、磁場(chǎng)強(qiáng)度和DM相互作用參數(shù)下,C13隨阻挫參數(shù)α變化情況,Δ1=Δ2=0.5和J1=1 (a)B=0,D=0.5;(b)B=0,D=1;(c)B=0,D=2;(d)B=1,D=0.5;(e)B=1,D=1;(f)B=1,D=2;(g)B=2,D=0.5;(h)B=2,D=1;(i)B=2,D=2Fig.7.C13versus frustration parameter α for different temperature,magnetic fi eld and DM interaction parameter, Δ1=Δ2=0.5 and J1=1:(a)B=0,D=0.5;(b)B=0,D=1;(c)B=0,D=2;(d)B=1,D=0.5;(e)B=1,D=1;(f)B=1,D=2;(g)B=2,D=0.5;(h)B=2,D=1;(i)B=2,D=2.

圖7(a)—(c)給出了沒(méi)有外加磁場(chǎng)(B=0)時(shí)C13隨阻挫參數(shù)的變化情況.不難發(fā)現(xiàn),隨著DM相互作用的增強(qiáng),相應(yīng)次近鄰兩量子比特共生糾纏度C13為零的阻挫參數(shù)區(qū)域增大.以T=0.7為例,對(duì)應(yīng)于D=0.5,1和2時(shí),C13為零的阻挫參數(shù)區(qū)域分別是(?3.1,1.1),(?3.4,1.1)和(?4.2,1.0). 而且在α＞1區(qū)域,隨著DM相互作用的增強(qiáng),溫度對(duì)C13的影響受到抑制.當(dāng)考慮磁場(chǎng)的作用時(shí),在一定的磁場(chǎng)范圍內(nèi),如B=1時(shí)(見(jiàn)圖7(d)—(f)),DM相互作用對(duì)次近鄰兩量子比特配對(duì)糾纏的影響與無(wú)磁場(chǎng)時(shí)也是定性一致的.當(dāng)磁場(chǎng)適當(dāng)增加時(shí),如B=2時(shí)(見(jiàn)圖7(g)—(i)),DM相互作用的增強(qiáng)使得原先C13為零的阻挫參數(shù)區(qū)在溫度較低時(shí)(如T=0.3)也產(chǎn)生了次近鄰兩量子比特配對(duì)糾纏.

4 結(jié) 論

基于數(shù)值計(jì)算方法求解共生糾纏度,研究了具有次近鄰相互作用的五量子比特XXZ海森伯自旋模型熱糾纏性質(zhì).分別討論了最近鄰兩量子比特和次近鄰兩量子比特共生糾纏度隨系統(tǒng)各種調(diào)控參數(shù)的變化規(guī)律.研究結(jié)果表明,阻挫參數(shù)的變化對(duì)上述兩種共生糾纏度的影響表現(xiàn)出不同的性質(zhì).例如,對(duì)于反鐵磁情形而言,當(dāng)次近鄰相互作用參數(shù)大于最近鄰相互作用參數(shù)時(shí),有利于次近鄰兩量子比特配對(duì)糾纏的產(chǎn)生,而最近鄰兩量子比特的糾纏消失.同時(shí)發(fā)現(xiàn),溫度、磁場(chǎng)、DM 相互作用以及各向異性參數(shù)對(duì)配對(duì)糾纏有著不同程度的影響.因此,通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ蛥?shù),可以有效地調(diào)節(jié)和提高五量子比特XXZ海森伯自旋鏈的共生糾纏度.

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