程恭品

【摘 要】貝葉斯統(tǒng)計(jì)是高校統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)的主干課程之一，該課程的理論體系和思想方法與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)存在著諸多不同之處。不少學(xué)生在學(xué)習(xí)貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法時往往感覺困難重重。本文從貝葉斯教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，闡述了如何進(jìn)行貝葉斯統(tǒng)計(jì)思想的課堂教學(xué)，以期達(dá)到良好的課堂效果。

【關(guān)鍵詞】貝葉斯統(tǒng)計(jì)；貝葉斯方法；教學(xué)

中圖分類號： O212.8-4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）01-0072-002

【Abstract】Beysian statistics is one of the main course of universities whose theory system and ideology has many difference from those of the traditional statistics.Therefore，some students always find it hard to learn the course.In this paper，we discussed how to teach the ideology of Beysian statistics in the process of teaching in order to get better classroom teaching effect.

【Key words】Beysian statistics；Beysian method；Teaching

0 前言

英國學(xué)者托馬斯·貝葉斯在《論有關(guān)機(jī)遇問題的求解》中提出一種歸納推理的理論，直至貝葉斯去世兩年以后的1763年12月23日，倫敦皇家學(xué)會會議上才公布了這篇遺世之作，從此貝葉斯定理誕生。隨后，一些統(tǒng)計(jì)學(xué)者逐漸將其發(fā)展為一種系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)推斷方法，稱之為貝葉斯方法。貝葉斯統(tǒng)計(jì)內(nèi)容相當(dāng)豐富，包括貝葉斯公式，貝葉斯推斷、先驗(yàn)分布的確定、貝葉斯決策和貝葉斯計(jì)算等內(nèi)容。從國內(nèi)外的文獻(xiàn)資料來看，貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論幾乎可以作為每一個學(xué)科的研究工具之一，并且在自然科學(xué)及國民經(jīng)濟(jì)的許多領(lǐng)域中有著廣泛應(yīng)用。它既可以用于質(zhì)量控制與評估、可靠性評價和物品的存儲問題，又可以應(yīng)用于事件頻率的估計(jì)、犯罪學(xué)不完全記數(shù)的估計(jì)以及保險精算。尤其是，近年來貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論在宏觀經(jīng)濟(jì)預(yù)測中取得了巨大的成功。從模型的穩(wěn)定性和預(yù)測精度兩個方面來看，貝葉斯預(yù)測模型優(yōu)于非貝葉斯模型，因此貝葉斯方法獲得越來越多專家學(xué)者的認(rèn)同。

貝葉斯統(tǒng)計(jì)最核心的內(nèi)容是貝葉斯公式以及由貝葉斯公式衍生的貝葉斯推斷以及預(yù)測等理論。在教學(xué)內(nèi)容上，該課程側(cè)重理論知識以及相關(guān)結(jié)論的理解和應(yīng)用，計(jì)算復(fù)雜，公式繁多，對學(xué)生的學(xué)習(xí)構(gòu)成較大挑戰(zhàn)。從教學(xué)效果來看，一方面該課程學(xué)生不及格率偏高，部分學(xué)生反映較難；另一方面，由于部分學(xué)生打算出國繼續(xù)深造，又必須保持該課程一定的理論深度。因此，如何對這門課程的理論知識進(jìn)行教學(xué)是教學(xué)過程中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。筆者在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，最基本的貝葉斯公式該如何引入和理解成為首要解決的知識難點(diǎn)。因此筆者在教學(xué)過程中從以前的概率論基礎(chǔ)知識出發(fā)，循序漸進(jìn)地引入貝葉斯公式，并具體闡明了公式的含義和應(yīng)用，使得公式的理解變得更加自然。

此外，由于貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)和經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)在理念和思想方法上有著巨大的差異，筆者在課堂教學(xué)中，通過不斷復(fù)習(xí)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中的理論方法，再和貝葉斯方法加以比較，使學(xué)生在熟悉了以往知識點(diǎn)的基礎(chǔ)上又加深了對新的貝葉斯理論的理解，了解了貝葉斯方法的特殊性和以及跟經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)相比巨大的優(yōu)勢。從而使教學(xué)過程深入淺出，易于接受。

為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體現(xiàn)貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用價值，我們不斷優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，在兼顧學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的需要、夯實(shí)學(xué)生理論基礎(chǔ)的同時，減少部分適用性較差，較為繁瑣的理論證明內(nèi)容。與此同時在教材之外增加了一些貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)在經(jīng)濟(jì)中應(yīng)用的趣味性例子。

最后為了豐富教學(xué)手段，提高課堂教學(xué)效果，我們使用Python等統(tǒng)計(jì)軟件具體計(jì)算一些經(jīng)典的案例，收到了良好的反饋。

1 循序漸進(jìn)引入貝葉斯公式

貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)最基本的區(qū)別之一在于貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)對總體的未知參數(shù)做估計(jì)時采用了未知參數(shù)的先驗(yàn)分布，這使得未知參數(shù)不再是一個固定的常數(shù)，而是一個隨機(jī)變量。因此可以使用貝葉斯公式求得關(guān)于未知參數(shù)在抽取樣本之后的分布——后驗(yàn)分布，得到后驗(yàn)分布之后就可以對參數(shù)進(jìn)行一系列的統(tǒng)計(jì)推斷。貝葉斯方法的分析過程可以概括為下圖所示：

因此，首要的關(guān)鍵問題是如何使用貝葉斯公式得到后驗(yàn)分布，以及如何理解貝葉斯公式。為了使得在引入公式時不顯得突兀，又能加深學(xué)生對公式含義的理解，在實(shí)際教學(xué)中，筆者先從經(jīng)典的概率公式入手，循序漸進(jìn)地導(dǎo)出貝葉斯公式。具體說明如下：

設(shè)θ是總體X～p（x|θ）中的未知參數(shù)，x=（x1，x2，…，xn）是從總體中抽取的一個樣本，π（θ）是關(guān)于θ的先驗(yàn)分布，則貝葉斯公式為：

結(jié)合全概率公式和乘法公式可以推導(dǎo)出上述事件形式的貝葉斯公式（3）。由公式（3）的形式再給出離散形式參數(shù)θ的貝葉斯公式（2），最后給出連續(xù)形式的貝葉斯公式（1）。整個過程循序漸進(jìn)，逐步引入貝葉斯公式，使得公式的理解變得容易，并且含義清晰，收到了良好的課堂效果。

2 在教學(xué)過程中始終貫穿比較教學(xué)法

由于貝葉斯方法和經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法存在著本質(zhì)性的差異，而貝葉斯方法又以經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)知識為前提。因此在教學(xué)過程中，我們始終將二者放在一起加以對照比較，在比較過程中既復(fù)習(xí)了以前的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)知識，又使得新的概念更加清晰易懂，突出了貝葉斯方法的優(yōu)點(diǎn)。例如，在講述貝葉斯推斷方法中的區(qū)間估計(jì)時，先回顧了經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中關(guān)于區(qū)間估計(jì)部分的內(nèi)容，使得學(xué)生對這部分已學(xué)習(xí)過的知識熟悉之后，再具體介紹貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)的處理方法。相較之下，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)的區(qū)間估計(jì)必須要先構(gòu)造含有未知參數(shù)θ的一個統(tǒng)計(jì)量，并且要求這個統(tǒng)計(jì)量的分布已知，從而由這個統(tǒng)計(jì)量的置信區(qū)間解出總體未知參數(shù)θ的置信區(qū)間。而使用貝葉斯方法，在采用了未知參數(shù)θ的先驗(yàn)分布π（θ）之后，由貝葉斯公式可得到θ的后驗(yàn)分布π（θ|x），直接使用后驗(yàn)分布可求得θ的可信區(qū)間，其含義清晰，計(jì)算方法簡單，使得學(xué)生領(lǐng)略到了貝葉斯方法的巨大的實(shí)用價值。在介紹貝葉斯點(diǎn)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)時也采用了這種比較的教學(xué)方法，使得概念易于理解，方法易于掌握。

3 教學(xué)過程中引入一些趣味性的例子

貝葉斯統(tǒng)計(jì)是一門很實(shí)用的課程，在實(shí)踐中有許多應(yīng)用，在教學(xué)中可采用一些趣味性的例子以提高教學(xué)效果、引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。這里有兩個生動的例子：（1）Laplace在1786年研究了巴黎男嬰的出生的比例θ，收集到1745-1770年在巴黎出生的嬰兒數(shù)據(jù)，其中男嬰251527個，女嬰241945個，判斷男嬰的出生比例是否明顯高于女嬰？（茆詩松（2012））（2）伊索寓言“孩子與狼”講的是一個小孩每天到山上放羊，山里有狼出沒，第一天他在山上喊：“狼來了！狼來了！”山下的村民們聞聲便去打狼，可到了山上，發(fā)現(xiàn)狼沒有來；第二天仍是如此；第三天，狼真的來了，可無論小孩怎么喊叫，也沒有人來救他，因?yàn)榍岸嗡f了謊話，人們不再相信他了。使用貝葉斯統(tǒng)計(jì)來分析寓言中村民的心理活動。類似于這樣的例子可以使學(xué)生感受到這門課的實(shí)踐價值和趣味性。

4 采用數(shù)學(xué)軟件輔助教學(xué)

參照王燕飛（2015）和李春娥（2015）中的辦法，在進(jìn)行一些復(fù)雜的例題計(jì)算時，可以采用一些數(shù)學(xué)軟件來進(jìn)行輔助計(jì)算。這里我們主要采用的教材為Allen B.Downey（2015）和John K.kruschke（2015），依據(jù)教材中的方法使用Python軟件計(jì)算一些有趣的案例，比如說曲奇餅問題、德軍坦克問題、波士頓棕熊隊(duì)問題、歐元問題等。這些案例既有趣味性又有強(qiáng)烈的現(xiàn)實(shí)背景，讓學(xué)生不僅熟悉了Python軟件的操作，又能體會到貝葉斯方法的重要性和實(shí)用價值，因而增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。這種教學(xué)過程中輔以軟件操作的教學(xué)方法改變了單一的粉筆加黑板的教學(xué)方式，既節(jié)省了時間又減輕了教師的負(fù)擔(dān)，真正將貝葉斯統(tǒng)計(jì)在實(shí)踐中應(yīng)用起來，提高了課堂效果。

5 小結(jié)

以上簡單介紹了一些貝葉斯統(tǒng)計(jì)教學(xué)上的方法。由于貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門實(shí)用性很強(qiáng)的學(xué)科，其理論和方法在實(shí)踐中得到不斷發(fā)展和創(chuàng)新，所以在教學(xué)中還要不斷進(jìn)行探索，與日益發(fā)展成熟的理論相結(jié)合，以培養(yǎng)出實(shí)際需要的應(yīng)用型人才。

【參考文獻(xiàn)】

[1]茆詩松，湯銀才.貝葉斯統(tǒng)計(jì)[M].第二版.中國統(tǒng)計(jì)出版社，2012.

[2]王燕飛.貝葉斯統(tǒng)計(jì)中后驗(yàn)分布的教學(xué)研究與探析[J].科技視界，2015（31）：180-181

[3]李春娥，等.貝葉斯公式及其應(yīng)用的教學(xué)研究[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2015（02）.

[4]Allen B.Downey.貝葉斯思維：統(tǒng)計(jì)建模的后驗(yàn)分布的Python學(xué)習(xí)法[M].人民郵電出版社，2015.

[5]John K.kruschke.貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法——R和BUGS軟件數(shù)據(jù)分析示例[M].機(jī)械工業(yè)出版社，2015.